山西省实验中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份山西省实验中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列关系中,正确的是( )
A.B.C.D.
2．若正实数x,y,z,w构成集合A,以A中四个元素为边长的四边形可能是( )
A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形
3．已知集合,,则B的子集的个数是( )
A.16B.8C.7D.4
4．学校举行运动会时,高一(1)班共有28名学生参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,只参加一项比赛的有________人( )
A.3B.9C.19D.14
5．已知集合,,若中有两个元素,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.或D.或
6．已知集合、集合,若,则实数a的取值集合为( ).
A.B.C.D.
7．命题“,”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
8．设集合,,把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为）.若X的容量是奇（偶）数,则称X为的奇（偶）子集,若,则的所有偶子集的容量之和为( )
A.6B.8C.12D.16
二、多项选择题
9．已知,,则( )
A.B.C.D.
10．已知实数a,b,c,其中,,则下列关系中一定成立的是( )
A.B.C.D.
11．下列说法正确的是( ).
A.的一个必要条件是
B.若集合中只有一个元素,则
C.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D.已知集合,则满足条件的集合N的个数为4
12．已知不超过5的实数组成的集合为M,,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知命题,,,则命题P的否定是______________.
14．已知集合,,则__________.
15．设集合,,且M、N都是集合的子集,如果把叫做集合的“长度”,那么集合的“长度”的最小值是___________.
16．已知集合,若集合M有15个真子集,则实数a的取值范围为_____________.
四、解答题
17．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是.
18．已知全集,,,或.
(1)求,;
(2)求.
19．已知,,若,求a的取值范围.
20．已知非空集合,.
（1）若,求;
（2）若“”是“”的充分条件,求实数a的取值范围.
21．已知集合.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并求集合A;
(3)若A中至少有一个元素,求的取值范围.
22．已知，，或.
（1）若命题是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：对于A,因为不是正整数,所以,故A错误;
对于B,因为不是有理数,所以,故B正确;
对于C.,因为0是自然数,所以,故C错误;
对于D,因为不是整数,所以,故D错误.
故选：B.
2．答案：A
解析：由于集合中的元素具有互异性,
所以正实数互不相等.结合平行四边形、菱形、矩形均有相等的边,而梯形的四条边可以不相等,可知以A中四个元素为边长的四边形可能是梯形,
故选：A.
3．答案：A
解析：由题意可知,,所以B的子集的个数是16,
故选：A.
4．答案：C
解析：设只参加田径的人数为x,同时参加田径和球类比赛的人数为y,
只参加球类的人数为z,则由韦恩图得：
,解得,所以只参加一项比赛的有人,
故选：C．
5．答案：C
解析：因为,,且中有两个元素,
所以或,
解得或,
所以实数a的取值范围是或.
故选：C.
6．答案：C
解析：,
,,
当时,有,解得,
当时,有,解得,
当时,有,方程组无解,
当时,有,方程组无解,
综上所述,实数a的取值集合为.
故选:C.
7．答案：D
解析：由,,可得在R上能成立,
因,故得.
由题意知,是选项的范围的真子集即可.
故选：D.
8．答案：D
解析：由题意可知：当时,集合
所有的偶子集为：,,,,
当时,集合所有的偶子集的容量之和为
故选：D.
9．答案：ABC
解析：因为,,根据不等式的性质,则,故A正确;
同理：,故BC正确.
如,,但不成立,故D错误.
故选：ABC.
10．答案：ABD
解析：对于A,,故 A 正确;
对于B,因为,所以,故 B 正确:
对于C,当,,时,,故C错误;
对于D,因为 ,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：CD
解析：对于A,当,时满足,但不成立,
所以不是的充分条件,不是的必要条件,故A错误;
对于B,当时,方程的解为,
此时集合A中只有一个元素,满足题意,
当时,为一元二次方程,
则由集合A中只有一个元素得,故,
所以符合题意的a有两个,或,故B错误;
对于C,一元二次方程有一正一负根,则,
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件,故C正确;
对于D,因为,所以,
又,故集合N的个数为个,故D正确.
故选:CD.
12．答案：ACD
解析：对于A,因为,所以,所以A正确,
对于B,因为,
所以,所以B错误,
对于C,因为,所以,
所以,所以C正确,
对于D,因为,所以,
所以,所以D正确.
故选：ACD.
13．答案：,,
解析：由全称命题的否定可得,命题P的否定：,,.
故答案为：,,.
14．答案：
解析：提示：由,则m是偶数,故;
再由,则x是奇数且不小于-3,即,
故.
故答案为：.
15．答案：
解析：集合,,且M、N都是集合的子集
根据新定义可知：M的长度为,N的长度为,
当集合的长度的最小值时,
M与N应分别在区间的左右两端,
故的长度的最小值是.
故答案为：.
16．答案：
解析：若集合M有15个真子集,则M中有4个元素,又,
可知,即,且区间中有4个整数,
当时,的区间长度为,此时中不可能有4个整数;
当时,,其中含有4,5,6,7共4个整数,符合题意;
当时,的区间长度大于3,
若的区间长度,即,
若是整数,则区间中含有4个整数,
根据可知,则,
此时,其中含有5,6,7,8四个整数,符合题意;
若不是整数,则区间中含有5,6,7,8四个整数,
则必须有且,解得;
若时,,其中含有5,6,7,8,9五个整数,不符合题意;
若时,的区间长度,
此时中有6,7,8,9这四个整数,故,即,
结合,得;
综上所述,或或,
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
17．答案：证明见解析
解析：证明：充分性：因为,所以,
代入方程,得,
即.
所以方程有一个根为1.
必要性：因为方程有一个根为1,
所以满足方程,
所以,即.
故关于x的方程有一个根为1的充要条件是.
18．答案：(1),.
(2)
解析：(1)由,可得,
,
,.
(2),.
19．答案：或.
解析：①若B为空集,则,解得;
②若B为单元素集合,则,解得,
将代入方程,得,解得,
所以,符合要求;
③若B为双元素集合,则,即,
此时,即,解得;
综上所述,或.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,,又,
所以.
（2）若“”是“”的充分条件,即,
因为P是非空集合,所以,即,
所以,解得,
故实数a的取值范围为:.
21．答案：(1)
(2)当时,集合,当时,集合;
(3)
解析：(1)是空集,
且,
,解得,
所以a的取值范围为：;
(2)①当时,集合,
②当时,,
,解得,此时集合,
综上所述,当时,集合,当时,集合;
(3)A中至少有一个元素,则当A中只有一个元素时,或;
当A中有2个元素时,则且,即,解得且;
综上可得,时A中至少有一个元素,即.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为命题是真命题，所以命题p是假命题，即关于x的方程无实数根.
当时，方程无解，符合题意；
当时，，解得.
故实数a的取值范围是.
（2）由（1）知若命题p是真命题，则或.
因为命题p是命题q的必要不充分条件，
所以或或，
则解得，
所以实数m的取值范围是.