山西省实验中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性考试（9月）数学试卷

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高二年级 数学 卷面总分值150分 考试时间120分钟
第一卷（客观题）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知=（2，-1,3），=（-1,4,-2），=（3,2，λ），若=2+，则实数λ的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.已知{，，}为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A.+，+，- B.+2，，+
C.2+，+2，++ D.+，+2，-2
3.已知=（1,x,1），=（y,1,1），=（-2,-2,z），且⊥，∥，则|++|的值为（ ）
A. B.3 C. D.16
4.在空间直角坐标系Oxyz中，点B是点A（1,2,3）在平面Oxz内的射影，则=（ ）
A. B. C. D.
5.在空间直角坐标系Oxyz中，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，若⊥，则（ ）
A.3a+2b=0 B.2a+3b=0 C.ab=-6 D.ab=6
6.如图，在直二面角中，B，C是直线上的两点，点,点，且，，AB=2,BC=3,CD=4,则直线AD与直线BC所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，平行六面体中，AB=4,AD=3,,，，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E,F分别为AD,BC的中点，O是AC中点，∠ABC=120°，则折后平面OEF与平面ABC夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.若空间中O,A,B,C满足，则A,B,C三点共线
B.空间中三个非零向量，若，，则∥
C.对空间任意一点O和不共线三点A,B,C，若,则P,A,B,C共面
D.=（1,1,x），=（3,x,9），若，则与的夹角为锐角
10.如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）
A.
B.存在一点P，使得∥
C.三棱锥的体积为
D.若，则△面积的最小值为
11.已知长方体的棱AB=AD=2,，点P满足,,下列结论正确的是（ ）
A.当时，P到的距离为
B.当时，直线PB与平面ABCD所成角的正切值最大为
C.当时，P到平面的距离最大值为1
D.当时，四棱锥外接球的表面积为
第二卷（主观题）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.，，，若共面，则实数
13.在空间直角坐标系Oxyz中，，，则点B到直线AC的距离为
14.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，M是AC中点，PB=1，则的最小值为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分13分）
如图，在正方体中，AB=2，E,F分别为BD，的中点.
（1）求异面直线与BF所成角的余弦值；
（2）求点到平面BDF的距离.
16. （本小题满分15分）
如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，点D为中点，设.
（1）以为一组基底，表示.
（2）线段上是否存在一点E，使得BD⊥AE？若存在，求出；若不存在，说明理由。
17. （本小题满分15分）
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△ABD和△PBD为正三角形，E为PC的中点.
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）若AB=2，PC=3，求平面PAD与平面BDE夹角的余弦值.
18. （本小题满分17分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP为等边三角形，∠DCB=∠PCB=45°，点M,N分别为DP和AB的中点.
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）作PH⊥BC，垂足为H，求证:PH⊥平面ABCD；
（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值.
19．（本小题满分17分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1,AB=.
（1）若G点为△PBC的重心，求；
（2）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
（3）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD.