2024-2025学年山西省实验中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山西省实验中学高二（上）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合M={x|lg2x<4}，N={x||x|≥1}，则M∩N=( )
A. {x|x<8}B. {x|1≤x<8}C. {x|x<16}D. {x|1≤x<16}
2.已知复数z1=3+i1−i的实部为a，z2=i(2+i)的虚部为b，则z=a+(b+1)i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知p：−2≤x≤10，q：1−m≤x≤1+m(m>0)，若p的充分不必要条件是q，则实数m的取值范围为( )
A. 04.函数y=lga(x+3)−1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则1m+2n的最小值为( )
A. 6B. 8C. 2 2D. 32
5.小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
6.折纸发源于中国.19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为( )

①EH//FC
②AH⋅BE=0
③EG=EH+EF
④EC⋅EH=EC⋅ED
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.已知函数f(x)=lnx,x>0,−x2−4x−3,x≤0.若函数y=[f(x)]2+mf(x)+1有6个零点，则m的取值范围是( )
A. (−2,103)B. (−2,103]C. (2,103)D. (2,103]
8.如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足AM=3MB，N是AC上的点且满足AN=NC，CM与BN交于P点，且AP=λAB+μAC，则λ+μ=( )
A. 12
B. 23
C. 34
D. 45
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论中正确的是( )
A. g(x)的最小正周期为πB. 直线x=π6是g(x)图象的一条对称轴
C. g(x)在[34π,54π]上单调递增D. g(x)图像关于原点对称
10.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x−3)=f(5−x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x2.设函数g(x)=lg5|x−1|，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=1对称
B. f(x)在区间[3,4]上单调递增
C. f(2021)+f(2022)+f(2023)+f(2024)=2
D. f(x)的图象与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为12
11.如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且BC=2AB=2，现将△ABE沿AE间上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( )
A. 存在点P，使得PE/​/CF
B. 存在点P，使得PE⊥ED
C. 当平面PAE⊥平面AED时，二面角P−EC−A大小的正切值为 2
D. 当平面PAE⊥平面AED时，三棱锥P−AED外接球表面积为4π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,0),b=(1,2)，则向量b在向量a方向上的投影向量为______．
13.已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的方差是______．
14.函数f(x)=3x−3−x3x+3−x+2，若有f(a)+f(a−2)>4，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)lg 5+lg 2+lg3+14lg9−lg 3lg81−lg27；
(2)0.027−13−(−17)−2+(279)12−( 2−1)0．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2b−2acsC=c．
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为 32,D为BC的中点，求AD的最小值．
17.(本小题15分)
某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间(单位：小时)数据分成6组：[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)，[5,6]，(时间均在[0,6]内)，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5．
(1)求m，n的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率．
18.(本小题17分)
已知平面向量a=(sinx,csx)，b=( 3csx,−csx)，c=(1,2csx−1)．
(1)设函数f(x)=2a⋅b，求f(x)的对称轴方程；
(2)设函数g(x)=2a⋅b+a⋅c，求g(x)的最大值．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥平面PAD，AB//DC，E为线段PD的中点，已知PA=AB=AD=CD=2，∠PAD=120°．
(1)证明：直线PB/​/平面ACE；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：M={x|lg2x<4}={x|0则M∩N={x|1≤x<16}．
故选：D．
确定M={x|0本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z1=3+i1−i=3+i1−i⋅1+i1+i=1+2i,z2=i(2+i)=−1+2i，
∴a=1，b=2，∴z=1+3i，
其在复平面内的对应点为(1,3)，位于第一象限．
故选：A．
由复数的除法得到z1，从而得到实部a的值，由复数的乘法得到z2，从而得到虚部b的值，从而得到z，得到对应的点，得到所在象限．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：设A={x|−2≤x≤10}，B={x|1−m≤x≤1+m}，
因为p的充分不必要条件是q，所以B是A的真子集，
所以m>01−m≥−21+m≤10，且等号不同时成立，
解得0所以0故选：A．
将p的充分不必要条件是q转化为两集合的真包含关系，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可．
本题考查了充分必要条件以及集合的包含关系，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵函数y=lga(x+3)−1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，令x+3=1，求得x=−2，y=−1，可得A(−2,−1)．
∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴−2m−n+1=0，即2m+n=1．
∵mn>0，则1m+2n=2m+nm+4m+2nn=4+nm+4mn≥4+2 nm⋅4mn=8，当且仅当n=2m时，取等号，
故1m+2n的最小值为8，
故选：B．
由题意可得定点A(−2,−1)，2m+n=1，把要求的式子化为 4+nm+4mn，利用基本不等式求得结果．
本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4+nm+4mn，是解题的关键，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且P(D)=P(E)=a,P(F)=12，
恰好能答对两道题为事件DEF−+DE−F+D−EF，且DEF−,DE−F,D−EF两两互斥，
所以P(DEF−+DE−F+D−EF)=P(DEF−)+P(DE−F)+P(D−EF)=P(D)P(E)P(F−)+P(D)P(E−)P(F)+P(D−)P(E)P(F)=a×a×(1−12)+a×(1−a)×12+(1−a)×a×12=14，整理得(1−a)2=12，他三道题都答错为事件D−E−F−，
故P(D−E−F−)=P(D−)P(E−)P(F−)=(1−a)2(1−12)=12(1−a)2=14．
故选：C．
记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，并利用D，E，F构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率．
本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由对称性知，EH/​/FG，而FG与FC不重合，故①不成立；
设风车的中心为O，则OH⊥OE，OA⊥OB，OF=−OH，
则AH⋅BE=(OH−OA)⋅(OE−OB)
=OH⋅OE−OH⋅OB−OA⋅OE+OA⋅OB
=OF⋅OB−OA⋅OE=0，故②成立；
由EG=EH+HG=EH+EF，可知③成立；
EC⋅EH=|EC|⋅|EH|cs∠CEH=|EC|⋅|OE|，
EC⋅ED=|EC|⋅|ED|cs∠CED=|EC|⋅|OE|，故④成立．
故选：C．
由对称性知EH/​/FG，则EH与FC不平行，可判定①；设风车的中心为O，由AH⋅BE=(OH−OA)(OE−OB)，结合平面向量数量积的运算法则，展开计算，可判定②；由平面向量的加法法则，可判断③；根据平面向量数量积的几何意义，可判断④．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设t=f(x)，则y=g(t)=t2+mt+1，
作出函数f(x)的大致图象，如图所示，
则函数y=[f(x)]2+mf(x)+1有6个零点等价于g(t)=0在[−3,1)上有两个不同的实根，
则Δ=m2−4>0g(−3)=9−3m+1⩾0 ,g(1)=1+m+1>0−3≤−m2<1解得2故选：D．
设t=f(x)，则y=g(t)=t2+mt+1，作出函数f(x)的大致图象，若满足函数y=[f(x)]2+mf(x)+1有6个零点等价于g(t)=0在[−3,1)上有两个不同的实根，由根的分布可得m的取值范围．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设BP=xBN,CP=yCM,x∈R,y∈R，
由AP=AB+BP=AB+xBN=AB+12x(BC+BA)=AB+12x(AC−AB−AB)=(1−x)AB+12xAC，
又由AP=AC+CP=AC+yCM=AC+y(AM−AC)=(1−y)AC+34yAB，
所以1−x=34y12x=1−y，解得x=45,y=25，可得AP=35AB+15AC，
因为AP=λAB+μAC，所以λ=35,μ=15，所以λ+μ=35+15=45．
故选：D．
设BP=xBN,CP=yCM,x∈R,y∈R，分别得到AP=(1−x)AB+12xAC和AP=(1−y)AC+34yAB，联立方程组，求得AP=35AB+15AC，进而求得λ，μ的值，即可求解．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，平面向量基本定理，是基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由题意知，g(x)=sin[2(x−π6)+π3]=sin2x，
对于A，最小正周期T=2π2=π，即选项A正确；
对于B，g(π6)=sin(2⋅π6)= 32≠±1，即选项B错误；
对于C，令2x∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，k∈Z，则x∈[kπ−π4,kπ+π4]，k∈Z，
取k=1，则g(x)的单调递增区间为[34π,54π]，即选项C正确；
对于D，g(−x)=sin(−2x)=−sin2x=−g(x)，故g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，即选项D正确．
故选：ACD．
由“左加右减”的平移法则知g(x)=sin2x，再根据正弦函数的图象与性质，逐一分析选项，即可．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质，以及函数图象的变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，因为f(x)为偶函数，故f(x−3)=f(5−x)=f(x−5)，
故f(x)=f(x+2)，所以f(−x)=f(x+2)，故f(x)的图象关于直线x=1对称，故A正确．
对于B，由A中分析可得f(x)是周期函数且周期为2，
故当x∈[3,4]时，4−x∈[0,1]，故f(x)=f(x−4)=f(4−x)=(4−x)2，故B错误．
对于C，由f(x)是周期为2的函数2可得：f(2021)+f(2022)+f(2023)+f(2024)=2f(0)+2f(1)=2，故C正确．
对于D，因为g(2−x)=lg5|1−x|=g(x)，故g(x)的图象关于x=1对称，
而g(6)=1，g(−4)=1且x>1时g(x)=lg5(x−1)，此时g(x)在(1,+∞)上为增函数，
故f(x)，g(x)图象如图所示：
由图可得f(x)的图象与g(x)的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10，故D错误．
故选：AC．
根据函数是偶函数及对称性得出函数周期及对称性判断A，根据函数值结合对称性判断C，应用函数对称性结合单调性判断B，数形结合判断f(x)的图象与g(x)的图象所有交点个数再结合对称性判断D．
本题考查函数奇偶性、周期性与单调性的综合应用，考查转化与化归思想、数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF与EC平行且相等，则AE/​/CF，
∵BE与AE相交，
∴PE与CF不可能平行，故A错误；
对于B，由题意，当平面PAE⊥平面AED时，连接ED，取AE的中点Q，连接PQ，作图如下：
在长方形ABCD中，∵E、F分别是BC、AD的中点，且BC=2AB=2，
∴AE= AB2+BE2= 2，ED= CE2+CD2= 2，
∵AD=2= AE2+DE2，
∴DE⊥AE，
∵AP=PE，且Q为AE的中点，
∴PQ⊥AE，
∵平面PAE⊥平面AED，且平面AED⋂平面PAE=AE，
∴PQ⊥平面AED，
∵DE⊂平面AED，
∴PQ⊥DE，
∵AE⋂PQ=Q，且AE，PQ⊂平面PAE，
∴DE⊥平面PAE，
∵PE⊂平面AEP，
∴DE⊥PE，故B正确；
对于C，在选项B的图上，补全长方形AB′CD，点B′为翻折之前的点B，取B′E的中点O，连接QO，OP，作图如下：
显然AB′⊂平面ADE，且AB′⊥CE，
∵Q，O分别是AE，B′E的中点，
∴OQ=12AB′=12，且AB′//OQ，则OQ⊥CE，
由B选项可知PQ⊥平面ADE，
∵CE⊂平面AED，
∴PQ⊥CE，
∵PQ⋂OQ=Q，PQ，OQ⊂平面PQO，
∴CE⊥平面PQO，
∵PO⊂平面PQO，
∴CE⊥PO，
∵O∈CE⊂平面PEC，且P∈平面PEC，
∴PO⊂平面PEC，
故∠POQ为二面角P−EC−A的平面角，
易知△PQO为直角三角形，则tan∠POQ=PQOQ，
在等腰Rt△APE中，PQ=PE⋅sin45°= 22，
则tan∠POQ= 2，故C正确；
对于D，在B选项图上，连接FQ，FP，作图如下：
在长方形ABCD中，易知AF=EF=FD=1，
由选项B可知，PQ⊥平面AED，
∵EQ⊂平面AED，
∴FQ⊥PQ，
由选项C可知，PQ= 22，
同理可得FQ= 22，
在Rt△PQF中，PF= PQ2+FQ2=1，
则F为三棱锥P−AED外接球的球心，
故该外接球的表面积S=4⋅π⋅12=4π，故D正确．
故选：BCD．
对于A，根据平行线的性质，结合长方形的性质，可得答案；
对于B，利用面面垂直性质定理，结合勾股定理，可得线面垂直，根据其性质定理，可得答案；
对于C，根据二面角平面角的定义，利用中位线定理以及三垂线定理，结合锐角三角函数，可得答案；
对于D，利用长方形的几何性质，结合勾股定理，确定外接球的球心与半径，根据其表面积公式，可得答案．
本题考查立体几何知识的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】(1,0)
【解析】解：由向量a=(1,0),b=(1,2)，可得|a|=1,a⋅b=1，
则向量b在向量a方向上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=(1,0)．
故答案为：(1,0)．
根据题意，利用向量的数量积和向量的投影向量的计算公式，准确计算，即可求解．
本题考查平面向量的坐标运算，投影向量的求法，属于基础题．
13.【答案】148
【解析】解：设男生成绩样本平均数为x−=71，方差为sx2=187.75，女生成绩样本平均数y−=73.5，方差为sy2=119，总样本的平均数为z−，方差为s2，
所以z−=40100x−+60100y−=72.5，
s2=40100[sx2+(x−−z−)2]+60100[sy2+(y−−z−)2]=40100[187.75+(71−72.5)2]+60100[119+(73.5−72.5)2]=148．
即总样本的平均数和方差分别为72.5和148．
故答案为：148．
先分别求出男生及女生的平均数，再应用分层抽样的方差公式计算方差即可．
本题主要考查了分层随机抽样的平均数和方差公式，属于基础题．
14.【答案】(1,+∞)
【解析】解：根据题意，f(x)=3x−3−x3x+3−x+2，设g(x)=f(x)−2=3x−3−x3x+3−x，
对于g(x)，其定义域为R，有g(−x)=−3x−3−x3x+3−x=−g(x)，函数g(x)为奇函数，
g(x)=3x−3−x3x+3−x=9x−19x+1=1−29x+1，则g(x)在R上为增函数，
若有f(a)+f(a−2)>4，即f(a)−2>−f(a−2)+2，即g(a)>−g(a−2)=g(2−a)，
则有a>2−a，解可得a>1，即a的取值范围为(1,+∞)；
故答案为：(1,+∞)．
根据题意，(x)=f(x)−2=3x−3−x3x+3−x，分析g(x)的奇偶性和单调性，可得原不等式等价于a>2−a，解可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
15.【答案】解：(1)原式=12lg5+12lg2+lg3+12lg3−12lg3lg8127=12lg10+lg3lg3=32．
(2)0.027−13−(−17)−2+(279)12−( 2−1)0=0．3−1−49+53−1=−45．
【解析】(1)应用对数运算律计算化简求值；
(2)应用指数运算律计算化简求值．
本题主要考查指数、对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由2b−2acsC=c，根据正弦定理得2sinB−2sinAcsC=sinC，
因为sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
所以2sinAcsC+2csAsinC−2sinAcsC=sinC，整理得2sinCcsA=sinC，
因为C∈(0,π)，sinC≠0，所以2csA=1，csA=12，结合A∈(0,π)，可得A=π3；
(2)因为△ABC的面积S=12bcsinA=12bcsinπ3= 34bc= 32，解得bc=2，
由D为BC的中点，得AD=AB+AC2，
所以|AD|=|AB+AC2|= |AB|2+|AC|2+2AB⋅AC2= c2+b2+2bc⋅csπ32= c2+b2+22≥ 2bc+22= 62，
当且仅当b=c时，等号成立，可知当b=c= 2时，AD的最小值为 62．
【解析】(1)利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，然后根据三角恒等变换公式化简，求出csA=12，进而可得答案；
(2)根据三角形面积公式列式求出bc，然后根据|AD|=|AB+AC2|将|AD|表示为b、c的式子，再利用基本不等式算出AD长的最小值．
本题主要考查正弦定理、三角恒等变换公式及其应用、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由于0.05+0.15+m+n+0.11+0.04=1，则m+n=0.65，
且0.05+0.15+m+(3.5−3)×n=0.7，则m+0.5n=0.5，
于是m=0.35n=0.3，
那么平均值为0.05×12+0.15×32+0.35×52+0.3×72+0.11×92+0.04×112=2.89，
(2)由于第二组和第四组的频率之比为：，
则分层抽样抽取的6个人中，来自第二组共有2个人，第四组共有4个人，
设两个人来自于不同组为事件A，
∵基本事件总数为C62=15，，
事件A包含的基本事件数为C21⋅C41=8，
∴p(A)=815．
【解析】(1)利用频率分布直方图的基本性质，百分位数，平均数的定义即可求解．
(2)求出基本事件总数和事件A包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式求解即可．
本题主要考查了频率分布直方图的基本性质，百分位数，平均数的基本概念和求法，以及分层抽样的性质，古典概型的概率问题，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意知，f(x)=2a⋅b=2 3sinxcsx−2cs2x，
= 3sin2x−cs2x−1=2sin(2x−π6)−1
由2x−π6=π2+kπ，k∈Z，得x=π3+kπ2，k∈Z，
即f(x)的对称轴为x=π3+kπ2，k∈Z；
(2)由题意知，g(x)=2 3sinxcsx−2cs2x+sinx−csx+2cs2x=2 3sinxcsx+sinx−csx，
设t=sinx−csx，则t= 2sin(x−π4)∈[− 2, 2]，
由t2=(sinx−csx)2=1−2sinxcsx，得sinxcsx=12(1−t2)，
所以y=2 3sinxcsx+sinx−csx= 3(1−t2)+t=− 3t2+t+ 3，
又函数y=− 3t2+t+ 3是一条开口向下、对称轴为t= 36的抛物线，
且在(− 2, 36)上单调递增，在( 36, 2)上单调递减，
所以ymax=− 3×( 36)2+ 36+ 3=13 312．
【解析】(1)首先根据数量积的坐标表示公式，再根据二倍角和辅助角公式化解函数，最后代入对称轴公式，即可求解；
(2)首先根据数量积公式得到函数g(x)的解析式，再利用换元t=sinx−csx，结合同角三角函数基本关系式的应用，将函数g(x)转化为关于t的二次函数，根据定义域上的单调性，即可求解函数的最值．
本题考查三角函数的性质及平面向量数量积的运算，属中档题．
19.【答案】解：(1)证明：如图，连接BD交AC与点F，
则F为BD中点，又E为线段PD的中点，
∴EF/​/PB，
又PB⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，
∴PB/​/平面ACE；
(2)设B到平面PCD的距离为d，
又AB/​/平面PCD，
∴B到平面PCD的距离等于A到平面PCD的距离，
由题意易知A到平面PCD的距离为AE=12AP=1，
∴d=AE=1，又PB=2 2，
设PB与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=dPB=12 2= 24，
∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 24．
【解析】(1)连接BD交AC与点F，则F为BD中点，又E为线段PD的中点，从而得EF/​/PB，再根据线面平行的判定定理即可证明；
(2)将B到平面PCD的距离转化为A到平面PCD的距离，再根据线面角的定义，解三角形即可求解．
本题考查面面平行的判定定理，转化动点求点面距，线面角的求解，属中档题．