山东省青岛市城阳区、崂山区2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷（有解析）

这是一份山东省青岛市城阳区、崂山区2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷（有解析），共27页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．C．D．5
2．（3分）若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝2∠CB．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝1，b＝2，c＝3D．a＝1，，
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，6
C．5，12，13D．0.3，0.4，0.5
5．（3分）下列各点在一次函数y＝3x﹣2的图象上的是（ ）
A．（2，3）B．（0，2）C．（﹣2，0）D．（3，7）
6．（3分）如图，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4πB．3πC．2πD．π
7．（3分）已知点（﹣3，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较
8．（3分）若，则的值为（ ）
A．﹣5B．15C．25D．5
9．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为（ ）
A．10尺B．12尺C．13尺D．14尺
10．（3分）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数，且mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝ （结果精确到1）．
12．（3分）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．若长方体的长、宽、高分别为5，2，3，则图①中截面的面积为 ．
13．（3分）一次函数y＝﹣2x+5的图象不经过第 象限．
14．（3分）如图，已知OA＝OB．则点A所表示的数是 ．
15．（3分）如图，将直线OA向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 ．
16．（3分）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕1圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．
三.解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（16分）计算：
（1）；
（2）（）；
（3）；
（4）（）（）．
18．（5分）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求3a+2b﹣c的平方根．
19．（6分）如图，猴山的坐标为（0，4），孔雀园的坐标为（3，2）．
（1）车站的坐标为 ；
（2）现有一个厕所C的位置记为（m，0），且与猴山的距离为5，则m的值为 ．
20．（6分）根据表格解答下列问题：
（1）176.89的平方根是 ；
（2）＝ ；
（3）若，则满足条件的整数n的值是 ．
21．（6分）在平面直角坐标系中描出下列各点，并将这些点依次用线段连接：A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）．
（1）观察得到的图形，它位于第 象限；
（2）将上面各点的纵坐标不变，横坐标分别乘﹣1，按同样的方法将所得各点连接起来（画出符合题意的图形），所得图形与原图形的位置关系是 ；
（3）△ABC的高线BH的长为 ．（请直接写出答案，结果化成最简形式）
22．（8分）自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款＝（每次收入﹣800）×20%；…，如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预缴税款（2000﹣800）×20%＝240（元）．
（1）当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入x（元）之间的关系式；
（2）某人某次取得劳务报酬2400元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？
（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税560元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？
23．（8分）如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为（15，9），过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，点E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．
（1）请你直接写出点A的坐标；
（2）求FC，AE的长；
（3）求四边形EOFD的面积．
24．（8分）提出问题：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者——海伦．一天，一位将军专程拜访他，请教一个百思不得其解的问题：如图1，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去军营B开会，怎样走才能使路程最短？据说海伦略加思索就解决了它．这个问题被称为“将军饮马”的问题．你知道海伦是怎样解决这个问题的吗？
研究方法：第一步作其中一定点的对称点，第二步连接对称点和另一定点，第三步找与河（对称轴）的交点．如图2，此时AC+B'C最短，由轴对称的性质可得B'C＝BC，所以AC+BC最短．如图3，在直线上任取点C′，AC+B'C＜B'C'+AC'的理由是： ；
方法应用：对称变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解决有关最值问题时是我们常用的思维方法，请你利用所学知识解决下列问题：
（1）如图4，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，则EM+MC的最小值是 ；（请直接写出答案）
（2）如图5，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点B（2，1），点P在x轴上运动，当PA+PB的值最小时，点P的坐标是 ；（请直接写出答案）
（3）如图6，AD⊥l于点D，BC⊥l于点C，且AD＝2，AB＝BC＝4，当点P在直线l上运动时，PA+PB的最小值是 ．（请直接写出答案）
25．（9分）如图，一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣1，2），D（0，1），与x轴相交于点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）已知在x轴上有点E，满足△AEC是等腰三角形，请你直接写出所有符合条件的点E的坐标．
2023-2024学年山东省青岛市城阳区、崂山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．C．D．5
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：A．是分数，属于有理数，故A选项不符合题意；
B．是无理数，故B选项符合题意；
C．，是整数，属于有理数，故C选项不符合题意；
D．5是整数，属于有理数，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了无理数，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
2．（3分）若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝2∠CB．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝1，b＝2，c＝3D．a＝1，，
【分析】根据三角形内角和定理可判断A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断C、D是否是直角三角形．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B＝2∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，
∴△ABC不是直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝×180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；
C、∵a＝1，b＝2，c＝3，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形；
D、∵a＝1，b＝，c＝，
∴a2+b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质对A、C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
【解答】解：A． ＝2，所以A选项不符合题意；
B． ÷＝＝，所以B选项不符合题意；
C． ＝3，所以C选项符合题意；
D． 与不能合并，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
4．（3分）下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，6
C．5，12，13D．0.3，0.4，0.5
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】解：A、12+22≠32，故不是勾股数，不符合题意；
B、32+42≠62，故不是勾股数，不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；
D、0.3，0.4，0.5都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
5．（3分）下列各点在一次函数y＝3x﹣2的图象上的是（ ）
A．（2，3）B．（0，2）C．（﹣2，0）D．（3，7）
【分析】把x＝2，0，﹣2，3代入y＝3x﹣2，计算出对应的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断各点是否在直线y＝3x﹣2上．
【解答】解：当x＝2时，y＝3x﹣2＝3×2﹣2＝4；
当x＝0时，y＝3x﹣2＝3×0﹣2＝﹣2；
当x＝﹣2时，y＝3x﹣2＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8；
当x＝3时，y＝3x﹣2＝3×3﹣2＝7；
所以点（3，7）在直线y＝3x﹣2上．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
6．（3分）如图，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4πB．3πC．2πD．π
【分析】利用勾股定理和圆的面积公式解答．
【解答】解：根据题意知：AC2+BC2＝AB2＝16．
图中阴影部分的面积＝π×（AC）2+π×（BC）2+π×（AB）2
＝π（AC2+BC2+AB2）
＝π×（16+16）
＝4π．
故选：A．
【点评】本题主要是考查勾股定理的应用，比较简单，解题的关键是将图中阴影部分的面积转化为π（AC2+BC2+AB2）的形式．
7．（3分）已知点（﹣3，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较
【分析】直接把点（﹣3，y1），（2，y2）代入直线y＝﹣x+2，求出y1，y2的值，并比较其大小即可．
【解答】解：∵点（﹣3，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，
∴y1＝﹣×（﹣3）+2＝+2＝，y2＝﹣×2+2＝1．
∵＞1，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8．（3分）若，则的值为（ ）
A．﹣5B．15C．25D．5
【分析】先运用非负数的性质求得x，y的值，再代入求解．
【解答】解：由题意得，
x﹣5＝0，y+25＝0，
解得x＝5，y＝﹣25，
∴
＝
＝
＝﹣5，
故选：A．
【点评】此题考查了运用非负数的性质和立方根进行求解的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算．
9．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为（ ）
A．10尺B．12尺C．13尺D．14尺
【分析】设这根芦苇的长度为x尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程求解即可得出结果．
【解答】解：设这根芦苇的长度为x尺，
由题意知，AB＝（x﹣1）尺，BC＝x尺，AC＝5尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2+AC2＝BC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴这根芦苇的长度为13尺，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，数据勾股定理是解题的关键．
10．（3分）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数，且mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论一致，故本选项正确；
B、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不正确；
C、由一次函数的图象可知，m＞0，n＞0，故mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论不一致，故本选项不正确；
D、由一次函数的图象可知，m＞0，n＜0，故n＞0，mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝ 6 （结果精确到1）．
【分析】根据63＝216，73＝343，可得答案．
【解答】解：＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了估算无理数，利用了立方运算．
12．（3分）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．若长方体的长、宽、高分别为5，2，3，则图①中截面的面积为 ．
【分析】截面是一个矩形，已知长方体的长宽高，就可以根据勾股定理求出AC的长，就可以求出矩形ACDE的面积．
【解答】解：图①中的截面即矩形ACDE的面积，
∵△ABC为直角三角形，
由勾股定理得：AC＝＝，
∴面积为：AC×CD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了用一个平面截几何体的截面面积，勾股定理，解题关键是找到截面的形状．
13．（3分）一次函数y＝﹣2x+5的图象不经过第 三 象限．
【分析】根据一次函数的解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+5，k＝﹣2＜0，b＝5＞0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，知道当k＜0，b＞0时，一次函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
14．（3分）如图，已知OA＝OB．则点A所表示的数是 ．
【分析】由勾股定理求出OB的长，从而确定OA的长，再求A点表示的数即可．
【解答】解：由题可知，BO＝＝，
∵OA＝OB，
∴OA＝，
∴A点表示的数是，
故答案为：．
【点评】本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，直角三角形勾股定理是解题的关键．
15．（3分）如图，将直线OA向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 y＝﹣2x+2 ．
【分析】待定系数法求出直线OA的解析式，再根据平移的规律即可确定平移后一次函数表达式．
【解答】解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），
将点A（﹣2，4）代入解析式，
得﹣2k＝4，
解得k＝﹣2，
∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，
根据平移的规律，可得平移后的一次函数表达式为y＝﹣2x+2，
故答案为：y＝﹣2x+2．
【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换，涉及待定系数法求解析式，平移规律，熟练掌握平移规律是解题的关键．
16．（3分）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕1圈到达点B，那么所用细线最短需要 10 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要 2 cm．
【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，可知所用细线最短长度．
【解答】解：将长方体展开，连接AB，
根据两点之间线段最短，AB＝＝10（cm）；
如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，
相当于直角三角形的两条直角边分别是8×2＝16和6，
根据勾股定理可知所用细线最短需要：
＝2（cm）．
故答案为：10；2．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
三.解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（16分）计算：
（1）；
（2）（）；
（3）；
（4）（）（）．
【分析】（1）利用二次根式的乘法，除法法则进行计算，即可解答；
（2）利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答；
（3）利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答；
（4）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝
＝2；
（2）（）
＝÷﹣÷
＝﹣
＝4﹣
＝；
（3）
＝
＝﹣
＝﹣；
（4）（）（）
＝3﹣4+
＝﹣1+
＝﹣1+2
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（5分）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求3a+2b﹣c的平方根．
【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后估算出的大小，可求得c的值，接下来，求得a+2b﹣c的值，最后求它的平方根即可．
【解答】解：由题意得：，
∴a＝5，b＝2．
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4．
∴c＝3．
∴3a+2b﹣c＝16．
∴a+2b﹣c的平方根是±4．
【点评】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算无理数的大小，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键．
19．（6分）如图，猴山的坐标为（0，4），孔雀园的坐标为（3，2）．
（1）车站的坐标为 （4，0） ；
（2）现有一个厕所C的位置记为（m，0），且与猴山的距离为5，则m的值为 3 ．
【分析】（1）根据猴山的坐标确定坐标原点，然后根据坐标原点画出平面直角坐标系，观察就能得出答案．
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，
由平面直角坐标系可以得出车站的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）；
（2）∵厕所C的位置记为（m，0），
∴厕所C在x轴上，
∵猴山的坐标为（0，4），
∴根据勾股定理得m＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了坐标确定位置，解题关键是根据已知条件，画出平面直角坐标系．
20．（6分）根据表格解答下列问题：
（1）176.89的平方根是 ±13.3 ；
（2）＝ ﹣137 ；
（3）若，则满足条件的整数n的值是 175或176 ．
【分析】（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案；
（2）将转化为×10，再根据表格中的对应值得出的值即可；
（3）根据，结合表格中对应值可得n的取值范围，再确定整数n即可．
【解答】解：（1）由表格中的数据的对应值可知，
∵（±13.3）2＝176.89，
∴176.89的平方根为±＝±13.3．
故答案为：±13.3；
（2）∵1372＝11769，
∵﹣＝﹣×10＝﹣137，
故答案为：﹣137；
（3）由表格中的对应值可知，
当，时，174.27＜n＜176.89，
∴整数n的值为175，176，
答：满足条件的整数n的值为175或176．
故答案为：175或176．
【点评】本题考查平方根、估算无理数的大小，理解平方根的定义是正确解答的关键．
21．（6分）在平面直角坐标系中描出下列各点，并将这些点依次用线段连接：A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）．
（1）观察得到的图形，它位于第 一、四 象限；
（2）将上面各点的纵坐标不变，横坐标分别乘﹣1，按同样的方法将所得各点连接起来（画出符合题意的图形），所得图形与原图形的位置关系是 关于y轴成轴对称图形 ；
（3）△ABC的高线BH的长为 ．（请直接写出答案，结果化成最简形式）
【分析】（1）由图形可得出答案；
（2）根据点的坐标画出图形，即可得出所得图形与原图形的位置关系；
（3）利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）观察得到的图形，它位于第一、四象限，
故答案为：一、四；
（2）如图所示，△A'B'C'即为所求，所得图形与原图形的位置关系是关于y轴成轴对称图形，
故答案为：关于y轴成轴对称图形；
（3），AC＝，
∴＝5，
∴BH＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟记轴对称变换的性质是解题的关键．
22．（8分）自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款＝（每次收入﹣800）×20%；…，如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预缴税款（2000﹣800）×20%＝240（元）．
（1）当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入x（元）之间的关系式；
（2）某人某次取得劳务报酬2400元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？
（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税560元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？
【分析】（1）根据预扣预缴税款＝（每次收入﹣800）×20%得：y＝（x﹣800）×20%＝x﹣160（800＜x≤4000）；
（2）当x＝2400时，求出y值即可；
（3）当y＝560时，求出x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（x﹣800）×20%＝x﹣160（800＜x≤4000）；
（2）当x＝2400时，y＝×2400﹣160＝320，
∴他这笔所得应预扣预缴税款320元；
（3）当y＝560时，560＝x﹣160，
解得x＝3600，
∴此人这次取得的劳务报酬是3600元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23．（8分）如图，平面直角坐标系中，点D的坐标为（15，9），过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，点E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．
（1）请你直接写出点A的坐标；
（2）求FC，AE的长；
（3）求四边形EOFD的面积．
【分析】（1）证明四边形AOCD是矩形，再结合D的坐标即可得出结果；
（2）根据折叠的性质得出DF的长，再根据勾股定理求出CF的长，即可得出OF的长，设AE＝x，在Rt△OEF中根据勾股定理得出等式求解得出AE的长即可；
（3）根据折叠的性质可知，四边形EOFD的面积＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED，再根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）∵DA⊥y轴，DC⊥x轴，∠AOC＝90°，
∴四边形AOCD是矩形，
∵D的坐标为（15，9），
∴AD＝OC＝15，CD＝AO＝9，
∴A（0，9）；
（2）∵将△AED沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．
∴DF＝AD＝15，
∴CF＝＝12，
∴OF＝OC﹣CF＝15﹣12＝3，
设AE＝x，则EF＝x，OE＝9﹣x，
在Rt△OEF中，由勾股定理得，
OE2+OF2＝EF2，
即（9﹣x）2+32＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5；
（3）由（2）知AE＝5，
∴OE＝9﹣5＝4，
由折叠的性质可知，S△AED＝S△DFE，
∴四边形EOFD的面积＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．
24．（8分）提出问题：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者——海伦．一天，一位将军专程拜访他，请教一个百思不得其解的问题：如图1，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去军营B开会，怎样走才能使路程最短？据说海伦略加思索就解决了它．这个问题被称为“将军饮马”的问题．你知道海伦是怎样解决这个问题的吗？
研究方法：第一步作其中一定点的对称点，第二步连接对称点和另一定点，第三步找与河（对称轴）的交点．如图2，此时AC+B'C最短，由轴对称的性质可得B'C＝BC，所以AC+BC最短．如图3，在直线上任取点C′，AC+B'C＜B'C'+AC'的理由是： 两点之间，线段最短 ；
方法应用：对称变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解决有关最值问题时是我们常用的思维方法，请你利用所学知识解决下列问题：
（1）如图4，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，则EM+MC的最小值是 3 ；（请直接写出答案）
（2）如图5，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点B（2，1），点P在x轴上运动，当PA+PB的值最小时，点P的坐标是 （1，0） ；（请直接写出答案）
（3）如图6，AD⊥l于点D，BC⊥l于点C，且AD＝2，AB＝BC＝4，当点P在直线l上运动时，PA+PB的最小值是 4 ．（请直接写出答案）
【分析】研究方法：由点C是AB′与直线l的交点，得AC+B′C＝AB′，因为两点之间，线段最短，所以AB′＜B'C'+AC'，则AC+B′C＜B'C'+AC'，于是得到问题的答案；
（1）由等边三角形的性质得CE＝AE＝AC＝3，BE⊥AE，可求得BE＝＝3，由AD⊥BC，BD＝CD，可知点B与点C关于直线AD对称，所以EM+MC＝EM+MB＝BE，此时EM+MC的值最小，EM+MC的最小值是3，于是得到问题的答案；
（2）取点A关于x轴的对称点H，连接BH交x轴于点P，连接AP，则PA＝PH，所以PA+PB＝PH+PB＝BH，此时PA+PB的值最小，连接AB、AH，则AB＝AH＝2，可证明OP＝AH＝1，则P（1，0），于是得到问题的答案；
（3）延长AD到点M，使MD＝AD＝2，连接BM交直线l于点P，连接AP，则点M为点A关于直线l的对称点，PA＝PM，所以PA+PB＝PM+PB＝BM，此时PA+PB的值最小，作AQ⊥BC于点Q，MN⊥BC交BC的延长线于点N，由AD⊥l于点D，BC⊥l于点C，证明AD∥BC，则CQ＝AD＝2，CN＝MD＝2，所以BQ＝2，BN＝6，则MN＝AQ＝＝2，所以BM＝＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：研究方法：如图3，∵点C是AB′与直线l的交点，
∴AC+B′C＝AB′，
∵两点之间，线段最短，
∴AB′＜B'C'+AC'，
∴AC+B′C＜B'C'+AC'，
故答案为：两点之间，线段最短．
（1）如图4，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AC＝AB＝6，
∵E是AC的中点，
∴CE＝AE＝AC＝3，BE⊥AE，
∴∠BEC＝90°，
∴BE＝＝＝3，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B与点C关于直线AD对称，MC＝MB，
∴EM+MC＝EM+MB＝BE，此时EM+MC的值最小，
∴EM+MC的最小值是3，
故答案为：3．
（2）如图5，取点A关于x轴的对称点H，连接BH交x轴于点P，连接AP，
∵x轴垂直平分AH，
∴PA＝PH，
∴PA+PB＝PH+PB＝BH，此时PA+PB的值最小，
连接AB、AH，
∵A（0，1），点B（2，1），
∴AB＝AH＝2，
∴∠AHB＝∠ABH＝45°，
∴∠PAH＝∠PHA＝45°，
∴∠APH＝90°，
∵OA＝OH，
∴OP＝AH＝1，
∴P（1，0），
故答案为：（1，0）．
（3）如图6，延长AD到点M，使MD＝AD＝2，连接BM交直线l于点P，连接AP，
∵AD⊥l于点D，
∴l垂直平分AM，
∴点M为点A关于直线l的对称点，PA＝PM，
∴PA+PB＝PM+PB＝BM，此时PA+PB的值最小，
作AQ⊥BC于点Q，MN⊥BC交BC的延长线于点N，则AQ∥MN∥l，则∠AQB＝∠N＝90°，
∵AD⊥l于点D，BC⊥l于点C，AB＝BC＝4，
∴AD∥BC，CQ＝AD＝2，CN＝MD＝2，
∴BQ＝BC﹣CQ＝4﹣2＝2，BN＝BC+CN＝4+2＝6，
∴AQ＝＝＝2，
∴MN＝AQ＝2，
∴BM＝＝＝4，
∴PA+PB的最小值是4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查图形与坐标、轴对称的性质、两点之间线段最短、等腰直角三角形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
25．（9分）如图，一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣1，2），D（0，1），与x轴相交于点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）已知在x轴上有点E，满足△AEC是等腰三角形，请你直接写出所有符合条件的点E的坐标．
【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣1，2），D（0，1），即可求得该函数的解析式；
（2）根据（1）中的结果，可以求得该函数与x轴和y轴的交点，然后即可计算出一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）根据题意，画出点E所在的位置，然后再写出所有符合条件的点E的坐标即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣1，2），D（0，1），
∴，
解得，
即一次函数的表达式是y＝﹣x+1；
（2）由（1）知：y＝﹣x+1，
∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝1；
∴定D的坐标为（0，1），点C的坐标为（1，0），
∴OC＝1，OD＝1，
∴一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是＝＝；
（3）∵点A（﹣1，2），C（1，0），AB⊥x轴，
∴AB＝2，BC＝1﹣（﹣1）＝2，
∴AC＝＝2，
如图所示，
当AE1＝AC时，E1的坐标为（﹣3，0）；
当CA＝CE2时，E2的坐标为（﹣2+1，0）；
当AE3＝CE3时，E3的坐标为（﹣1，0）；
当CA＝CE4时，E4的坐标为（2+1，0）；
由上可得，E1的坐标为（﹣3，0），E2的坐标为（﹣2+1，0），E3的坐标为（﹣1，0），E4的坐标为（2+1，0）．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/15 16:57:19；用户：丁力；邮箱：13792818820；学号：7498873x
13
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
13.9
14
x2
169
171.61
174.24
176.89
179.56
182.25
184.96
187.69
190.44
193.21
196
x
13
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
13.9
14
x2
169
171.61
174.24
176.89
179.56
182.25
184.96
187.69
190.44
193.21
196