浙江省杭州闻涛中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份浙江省杭州闻涛中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列数学符号中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. ≌D.
2.以下表达式：①；②；③；④；⑤其中不等式有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
3.若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
4.如图，，，添加下列哪一个条件可以推证≌( )
A.
B.
C.
D.
5.对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6.已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为( )
A. B. C. 或D. 或
7.如图，中，D为AB中点，E在AC上，且若，，则BE的长度是( )
A. 5B. C. 6D.
8.将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果.若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为x，则列式正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在中，点P在边BC上不与点B，点C重合，( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
10.如图，中，，，D为线段BC上一动点不与点B，C重合，连接AD，作，DE交线段AC于E，以下四个结论：①；②当D为BC中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，其中正确的结论的是( )
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.根据语句列不等式：x的3倍与2的差小于______.
12.“直角三角形的两锐角互余.”的逆命题是______，它是______命题填“真”或“假”
13.如图，中，DE是AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于E，已知，的周长为12cm，则的周长是______
14.已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为______.
15.如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则______.
16.如图，已知在中，，，，D是AC上的一点，，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为过点D作于点在点P的运动过程中，当t为______时，能使？
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
解不等式组：
；
18.本小题6分
在中，BD是的高线.
用直尺和圆规作出的平分线.
设的平分线交AC于点E，若，，求的大小.
19.本小题8分
已知：，DE和AE分别平分和，BC过点E，且与AB垂直.
求证：
若，求的度数.
20.本小题8分
已知：A，E，F，B在同一条直线上，，，，
求证：
若，求DO的长.
21.本小题8分
如图，在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，于G，
求证：
已知，，求点E到线段BC的距离.
22.本小题8分
已知的三边，，
求证：是直角三角形；
利用第题的结论，写出两组m，n的值，要求三角形的边长均为整数.
23.本小题10分
如图1，已知线段AD、EC相交于点F，连接AE、DC，
求证：；
如图2，连接AC，若CE平分，，，求CD的长.
24.本小题12分
对m、n定义一种新运算“⊗”，规定：均为非零常数，等式右边的运算是通常的四则运算，例如：
已知，
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
若运算“⊗”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“”都成立，试探究a、b应满足的关系.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：
根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题考查了轴对称图形的定义，掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是关键．
2.【答案】B
【解析】解：、、是不等式，和不是不等式，
即不等式有3个，故B正确．
故选：
据不等式的定义进行判断即可．
本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由，得，故本选项不合题意；
B.由，得，故本选项符合题意；
C.由，得，故本选项不合题意；
D.由，得，故本选项不合题意．
故选：
根据不等式的性质逐一判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：，
，
，
又，
添加条件，不能判断≌，故选项A不符合题意；
添加条件，不能判断≌，故选项B不符合题意；
添加条件，可以得到，不能判断≌，故选项C不符合题意；
添加条件，可以得到≌，故选项D符合题意；
故选：
根据题目中的条件，可以得到，，然后即可判断各个选项中添加的条件是否能使得≌，从而可以解答本题．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．
5.【答案】D
【解析】解：A、满足条件，也满足结论，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、不满足条件，也不满足结论，故C选项错误；
D、满足条件，不满足结论，故D选项正确．
故选：
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：①当的角为该等腰三角形的顶角时，
则该等腰三角形的底角为：，
此时该等腰三角形三个内角的度数分别为：，，；
②当的角为该等腰三角形的底角时，
则该等腰三角形的顶角为：，
此时该等腰三角形三个内角的度数分别为：，，；
综上所述：该等腰三角形的底角为或
故选：
分两种情况：①当的角为该等腰三角形的顶角时，可根据三角形的内角和定理求出底角；②当的角为该等腰三角形的底角时，可根据三角形的内角和定理求出顶角，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，理解等腰三角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行角的计算是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半求出AB长，根据勾股定理求出BE即可．
【解答】
解：，
，
，D为AB中点，
，
，
由勾股定理得：
故选
8.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
，
故选：
根据题意，可以得到不等式，从而可以判断哪个选项昂符合题意．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式，注意不足8个暗含着小于8个，同时题干中有每个学生都分到苹果，则最少1个．
9.【答案】B
【解析】分析：
根据直角三角形的性质逐项判定可求解．
解：，
，
，
，
，
只有当时，，故错误；
B.，
，
，
，
，
即，故正确；
C.，，
垂直平分BC，
而不一定等于，故错误；
D.根据，，无法证明，故错误，
故选：
本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①，
，
，，
，
故①正确；
②为BC中点，，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③，
，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，
或为等腰三角形，
，
，
，
，
故③错误，
④，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
故④正确；
故选：
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，根据全等三角形的性质得到
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题知，
“x的3倍与2的差”可表示为：，
所以“x的3倍与2的差小于1”可表示为：
故答案为：
根据先读的先写这一原则，表示出“x的3倍与2的差”，据此可得出不等式．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，熟知先读的先写这一原则是解题的关键．
12.【答案】如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 真
【解析】解：“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，
故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；真．
先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据直角三角形的判定判断即可．
本题主要考查命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】14
【解析】解：因为DE是AB的垂直平分线，
所以，，
所以的周长为：
的周长是
故答案为
由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后将的周长转化为的周长和线段AB的和即可得的周长
本题考查了线段垂直平分线的性质；根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，得到，是正确解答本题的关键．
14.【答案】5或
【解析】【分析】
此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】
解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：；
综上，第三边的长为：5或
故答案为5或
15.【答案】
【解析】解：、、均是等腰直角三角形，
，，，
设，，，，，
，
，
，
故答案为：
设，，，，，由，可得，由此构建关系式，可得结论．
本题考查了勾股定理在几何计算中的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】5或11
【解析】解：①点P在线段BC上时，过点D作于E，如图1所示：
则，
，
平分，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作于E，如图2所示：
同①得：≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使
根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
本题主要考查了勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的直角三角形．
17.【答案】解：，
，
，
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为：
【解析】根据解一元一次不等式组的步骤对所给不等式组进行求解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组及解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：如图，射线BE即为所求．
，，
射线BE为的平分线，
，
是的高线，
，
，

【解析】根据角平分线的作图方法作图即可．
由题意得，，根据角平分线的定义可得，再根据可得答案．
本题考查作图-基本作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】证明：过E作于H，
平分，
，
，，
，
，
，
≌，
，
同理：≌，
，
解：，
，
和AE分别平分和，
，，
，
，
，，

【解析】过E作于H，由AAS判定≌，得到，判定≌，得到，即可证明
由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，求出，由三角形外角的性质推出
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，关键是判定≌，≌；由角平分线定义求出
20.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：≌，
，
，
，
，
，
，

【解析】由“AAS”可证≌，可得，从而得出结论；
由全等三角形的性质可得，可证
本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】证明：连接DE，
是BC边上的高线，
是直角三角形，
是AB边上的中线，
是AB的中点，
即DE是斜边AB上的中线，
，
，
，
，
；
解：作于点F，
，，
，
，，
，
，
，
点E到线段BC的距离为
【解析】连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，由，等量代换得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出；
①作于点F，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再利用勾股定理即可求出
此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：，，，
，
则，
，
是直角三角形；
当，时，三角形的边长为3，4，5；
当，时，三角形的边长为5，12，
【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
根据题的结论即可得到结果．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时注意是两较短边的平方和等于最长边的平方．
23.【答案】证明：如图1，与为对顶角，
，
，，
又，
；
解：如图2，延长AE、CD相交于点B，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
设，
则，
在中，，
在中，，
，
，
解得，
即CD的长为
【解析】首先根据对顶角的定义得到，然后根据三角形内角和求解即可；
先证和全等，得出，，利用勾股定理得出，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
24.【答案】解：①由题意，，，
可得方程组
解得
，
②由题意，，，
不等式组可化为
又上面的不等式组有且只有两个整数解，
由，
又，n为任意数，
不一定等于

【解析】①依据题意，由，，可得，进而计算可以得解；
②依据题意，结合可得，，即，又不等式组有且只有两个整数解，从而可得，进而计算可以得解；
依据题意，由，从而，变形为，又m，n为任意数，故不一定等于0，进而可得，即可得解．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解二元一次方程组、解一元一次不等式，解题时要熟练掌握并能将新定义问题转化为已知问题是关键．