浙江省杭州市上城区钱学森学校2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

这是一份浙江省杭州市上城区钱学森学校2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图，四个图标中是轴对称图形的是
A．B．C．D．
2．（3分）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是
A．，，B．，，C．，，D．，，
3．（3分）如果，那么下列不等式中，不成立的是
A．B．C．D．
4．（3分）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是
A．B．C．D．
5．（3分）点在第二象限，距离轴3个单位长度，距离轴5个单位长度，则点的坐标为
A．B．C．D．
6．（3分）能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的反例是
A．B．C．D．
7．（3分）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为
A．1米B．米C．2米D．4米
8．（3分）如图，已知点，，则线段上任意一点的坐标可表示为
A．，B．，C．，D．，
9．（3分）满足关于的不等式组恰有二个整数解，的取值范围为
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在△中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则△的面积为
A．4B．C．2D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）命题“对顶角相等”的逆命题是 ．
12．（4分）点在第三象限，则的取值范围 ．
13．（4分）如图，在中，，于点，平分交于点．若，则的度数为 ．
14．（4分）若等腰三角形的一个外角是，则其底角为 ．
15．（4分）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
16．（4分）如图，在△中，，，分别是，上的点，，，且，则 ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解下列一元一次不等式（组．
（1）；
（2）（把解在数轴上表示出来）．
18．（8分）已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：．
19．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
（1）在平面直角坐标系中画出；
（2）画出与关于轴对称的△的图形；
（3）的面积是 ；
（4）若点是轴上一动点，则的最小值是 ．
20．（10分）如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点（不与、重合）．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（10分）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，．
（1）求证：．
（2）已知，，求面积．
22．（12分）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元辆，型车的利润为元辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表：
（1）求，的值；
（2）若第三周售出，两种规格自行车共25辆，其中型车的销售量大于型车的售量，且不超过型车销售量的1.5倍，该专卖店售出型、型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
23．（12分）如图，已知和均为等腰直角三角形，，点为的中点，过点与平行的直线交射线于点．
（1）当，，三点在同一直线上时（如图，求证：为的中点；
（2）将图1中的绕点旋转，当，，三点在同一直线上时（如图，求证：为等腰直角三角形；
（3）将图1中绕点旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
2023-2024学年浙江省杭州市上城区钱学森学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）如图，四个图标中是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答．
【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，符合题意；
、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是
A．，，B．，，C．，，D．，，
【分析】不能搭成三角形的3根小木棒满足两条较小的边的和小于或等于最大的边．
【解答】解：、，能构成三角形，不合题意；
、，能构成三角形，不合题意；
、，能构成三角形，不合题意；
、，不能构成三角形，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（3分）如果，那么下列不等式中，不成立的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质对选项逐个判断即可．
【解答】解：
，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，正确，不符合题意；
，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，正确，不符合题意；
，不等号两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，错误，符合题意；
，正确，不符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质．
4．（3分）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是
A．B．C．D．
【分析】由作图可知，，，根据证明三角形全等即可解决问题，
【解答】解：由作图可知，，，
△，
．
故选：．
【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
5．（3分）点在第二象限，距离轴3个单位长度，距离轴5个单位长度，则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．
【解答】解：点在第二象限，
点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
点距离轴3个单位长度，距离轴5个单位长度，
点的坐标为．
故选：．
【点评】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
6．（3分）能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的反例是
A．B．C．D．
【分析】根据题意、乘方的意义举例即可．
【解答】解：当时，，
，
故选：．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确举出反例是解题的关键．
7．（3分）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为
A．1米B．米C．2米D．4米
【分析】作，根据勾股定理求得的长，可得的长度．
【解答】解：过点作于点，
根据题意得：，，
由勾股定理可得，
，
，
此时木马上升的高度为1米，
故选：．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
8．（3分）如图，已知点，，则线段上任意一点的坐标可表示为
A．，B．，C．，D．，
【分析】根据、两点纵坐标相等，可确定与轴平行，即可求解．
【解答】解：点的坐标为，点的坐标为，、两点纵坐标都为1，
轴，
线段上任意一点的坐标可表示为，．
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，关键是掌握平行于轴的直线上的点纵坐标相等．
9．（3分）满足关于的不等式组恰有二个整数解，的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】根据解不等式组的方法可以求出不等式组的解集，又因为关于的不等式组恰有二个整数解，从而可以得到的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组恰有2个整数解，
不等式组的整数解为2、1，
，
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，会解一元一次不等式组．
10．（3分）如图，在△中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则△的面积为
A．4B．C．2D．
【分析】延长交于，过作于，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由此，由等腰三角形的性质推出，得到△的面积，由勾股定理求出，得到，求出，由三角形面积公式得到，求出，求出△的面积，于是得到△的面积．
【解答】解：延长交于，过作于，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
△的面积，
，，，
，
，
，
△的面积，
，
，
△的面积，
△的面积．
故选：．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线定义，关键是由等腰三角形的性质推出，得到△的面积，由三角形的面积公式求出的长．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）命题“对顶角相等”的逆命题是 相等的角为对顶角 ．
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为：相等的角为对顶角．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
12．（4分）点在第三象限，则的取值范围 ．
【分析】根据点的坐标得出不等式和，求出组成的不等式组的解集即可．
【解答】解：点在第三象限，
且，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了点的坐标和解一元一次不等式组的应用，能得出关于的不等式组是解此题的关键．
13．（4分）如图，在中，，于点，平分交于点．若，则的度数为 ．
【分析】利用垂直的定义得到，再根据三角形内角和计算出，接着利用角平分线的定义得到，然后计算即可．
【解答】解：，
，
，
平分，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了三角形高、角平分线．
14．（4分）若等腰三角形的一个外角是，则其底角为 或 ．
【分析】分这个外角为底角的外角和顶角的外角，分别求解即可．
【解答】解：
当外角为底角的外角时，则其底角为：；
当外角为顶角的外角时，则其顶角为：，则其底角为：，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握等腰三角形的两底角相等和三角形三个内角的和为是解题的关键．
15．（4分）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【分析】将看作已知数，求出方程组的解表示出与，代入已知不等式即可求出的范围．
【解答】解：，
解：①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，将看作已知数解二元一次方程组，得出用表示的方程组的解，是解题的关键．
16．（4分）如图，在△中，，，分别是，上的点，，，且，则 8 ．
【分析】在上取一点，使，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，过点作于点，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在上取一点，使，
，
，
，
△△，
，
过点作于点，
，
，
△就是等腰三角形，
，，
，
，
在△中，由勾股定理可得，
在△中，由勾股定理可得，，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等，全等三角形的判定和性质，解题的关键正确的作出辅助线．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解下列一元一次不等式（组．
（1）；
（2）（把解在数轴上表示出来）．
【分析】（1）依据解不等式的基本步骤依次去括号、移项、合并同类项即可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
（2）解不等式，
得，
解不等式，
得，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：．
【分析】此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
【解答】证明：作于，
（已知），
（三线合一），
又（已知），
（三线合一），
，即（等式的性质）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；做题中用到了等量减等量差相等得到答案．
19．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
（1）在平面直角坐标系中画出；
（2）画出与关于轴对称的△的图形；
（3）的面积是 4 ；
（4）若点是轴上一动点，则的最小值是 ．
【分析】（1）根据点的坐标，可得出点、、的位置，从而画出；
（2）根据轴对称的性质，可画出△；
（3）利用所在的矩形面积减去周围三个直角三角形面积即可；
（4）连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求，
（2）如图所示，△即为所求；
（3），
故答案为：4；
（4）由图形可知，的最小值即为的长，
的最小值，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，准确画出图形是解题的关键．
20．（10分）如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点（不与、重合）．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可判断．
（2）只要证明，，，根据勾股定理即可计算．
【解答】（1）证明：，和都是等腰直角三角形，，
，，，，
在和中，
，
．
（2）解：，
，，
，
．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，发现是今天的突破口，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，．
（1）求证：．
（2）已知，，求面积．
【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论；
（2）作于，根据题意求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接，
在中，点是的中点，
，
，
，，
．
（2）解：作于，
，，
，
，，
，
，
的面积，
面积．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
22．（12分）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元辆，型车的利润为元辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表：
（1）求，的值；
（2）若第三周售出，两种规格自行车共25辆，其中型车的销售量大于型车的售量，且不超过型车销售量的1.5倍，该专卖店售出型、型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据前两周两种自行车的销售数量及销售总利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值；
（2）设第三周售出种规格自行车辆，则售出种规格自行车辆，根据“型车的销售量大于型车的售量，且不超过型车销售量的1.5倍”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各销售方案，再利用总利润每辆的利润销售数量，可分别求出各方案获得的总利润，比较后可得出：该专卖店售出型车10辆、型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：．
答：的值为80，的值为120．
（2）设第三周售出种规格自行车辆，则售出种规格自行车辆，
依题意得：，
解得：，
为整数，
可以为10，11，12．
当时，，此时利润（元；
当时，，此时利润（元；
当时，，此时利润（元．
，
该专卖店售出型车10辆、型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（12分）如图，已知和均为等腰直角三角形，，点为的中点，过点与平行的直线交射线于点．
（1）当，，三点在同一直线上时（如图，求证：为的中点；
（2）将图1中的绕点旋转，当，，三点在同一直线上时（如图，求证：为等腰直角三角形；
（3）将图1中绕点旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由和点为的中点可以证到，从而证到为的中点．
（2）易证，，从而可以证到，进而可以证到，，则有为等腰直角三角形．
（3）延长交于点，易得，根据四边形内角和，可得，从而可以证到，进而可以证到，，则有为等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：如图1，
，
，．
点为的中点，
．
在和中，
．
．
．
为的中点．
（2）证明：如图2，
和均为等腰直角三角形，
，，．
，
．
，
．
．
，，三点在同一直线上，
．
．
（已证），
．
，
．
在和中，
．
，．
．
为等腰直角三角形．
（3）仍为等腰直角三角形．
证明：如图3，延长交于点，
，为中点，
易得，
．
，
．
，
，
在四边形中，
在和中，
．
，．
．
为等腰直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题．
型车销售量（辆
型车销售量（辆
总利润（元
第一周
10
12
2240
第二周
20
15
3400
型车销售量（辆
型车销售量（辆
总利润（元
第一周
10
12
2240
第二周
20
15
3400