广东省佛山市石门中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份广东省佛山市石门中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1、若今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟实验的方法估算概率，用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，利用计算机产生1~5之间的随机数如下：
425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354以此估计这三天中至少有两天下雨的概率为
A.B.C.D.
2、以下关于概率的说法，正确的有
A.一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
B.买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖
C.乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是双方从1~10共10个数中依次各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
D.昨天没有下雨.则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为”是错误的
3、已知是空间的单位正交基底。若向量在基底下的坐标为，则向量的大小为
A.3B.C.9D.6
4、如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则
A.B.1C.D.
5、本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为
A.B.C.D.
6、某班有50名学生，在一次考试中统计得平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩录入有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是
A.70和50B.70和67C.75和50D.75和67
7、甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射击一次，那么等于
A.甲、乙都击中靶心的概率B.甲、乙恰好有一人击中靶心的概率
C.甲、乙至少有一人击中靶心的概率D.甲、乙不全击中靶心的概率
8、从点出发的三条射线，，，其中，，则直线与平面所成角的余弦值是
A.B.C.D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分。
9、已知四边形是平行四边形，，，，则
A点的坐标是B.
C.D.四边形的面积是
10、柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是
A.“取出的鞋不成双”的概率等于
B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于
C.“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于
D.“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于
11、三棱锥中，是平面内一点。下列说法中正确的有
A.若，则
B.若为重心，则
C.若与所成的角为，与平面所成的角为，则
D.若，，则。
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12、记以下第组数据的方差为，比较的大小，结果用“＜”或“=”表示为__________.
第1组：5，5，5，5，5，5，5，5，5第2组：4，4，4，5，5，5，6，6，6
第3组：3，3，4，4，5，6，6，7，7第4组：2，2，2，2，5，8，8，8，8
13、两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则_____.
14、已知集合，是集合的真子集且，如果，，，使得，其中，，则称，是集合的一组有序基底集，记为。已知，且为一组有序基底集，则集合中的元素之和小于4的概率为_____.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分13分）
在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为.记，，.
（1）求与夹角的余弦值.
（2）线段上是否存在点，令，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由.
16、（本题满分14分）
在志愿者选拔面试工作后，随机抽取了100名候选者的面试成绩，将之分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
（1）估计本次面试中候选者面试成绩的平均数和下四分位数；
（2）在样本中用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人.再从这10名面试者中随机抽取两人进行电话访谈，求两名面试者成绩都在第五组的概率.
17、（本题满分17分）
在某信道内传输0，1信号时，每次信号的传输相互独立但传送会存在一定的失误率。据统计，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.
（1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
（2）依次发送1，1，0，判断事件、是否互相独立，并给出证明，其中事件：至少收到一个正确信号；事件：至少收到两个0。
18、（本题满分18分）
如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，.
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
19、（本题满分15分）
在四棱锥中，，，，，，是的中点.
（1）求的长；
（2）设二面角平面角的补角大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.
石门中学2024-2025学年第一学期高二数学一检考试答案
一、单选题：DCAC BBDB
二、多项选择题：9、ABD 10、ABC 11、ABD
12、 13、 14、（12题选自必二P215，13题改编自P49题17）
15、（1）由题意知：，
，
又，
，，
，，
，，
，即与夹角的余弦值为.
（2）当，可设，
，，是共面向量，即存在，，令
即：
由解得：，，.故存在点且.
16、（1）组距为10，设第组的频率为，则，，，
从而有解得：，
各组区间中点值为：50，60，70，80，90。
由直方图得平均数为，
因为，设下四分位数为，则，
则，解得，
由样本估计总体，得面试成绩的平均数为69.5，下四分位数为63.
（2）因为，故从第四组抽取8人，第五组2人.
记第四组8人的编号为1到8，第五组2人编号为9和10，从中取2人得到样本空间
，则
记“两名面试者成绩都在第五组”为事件，则事件，
故.
17、（1）记第次发送时，”发送1且收到1“为，”发送0且收到0“为，故，独立，，，
（1）当发送1，1，1时，记“至少收到2次1”为事件，则
由互斥事件与独立事件的概率计算公式有：
（2）事件与事件不互相独立，证明如下：
，根据事件的相互独立性，
故有；
而
根据事件的相互独立性，故，
显然 根据事件的相互独立性，
故，
因为，所以事件与事件不互相独立.
14题详解：集合的基底集可以为：，，，，，，，，，，，共有11组；再把每组中的两个集合调换位置，此时也是11组，综上可得，共计22组，其中满集合中元素之和小于4的有9组，所以概率为.
18、（1）因为平面平面，交线为，且，所以平面，以为原点，，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系：由题意有：，，，，，
（1），，，设平面的法向量为，
所以有，即，取，
点到平面的距离为.（用等体积法或定义法求点面距，须严格证明线面垂直）
（2），，，
设平面的法向量为，由，同上可求得，
设直线与平面所成角为，则，
故所以直线与平面所成角的余弦值为.
（3），，由题意不妨设，，
所以，
又由（2）可知平面的法向量为，若平面，则，
即，解得，所以当点为的中点时，有平面
（可取中点，则，再令，可得面）
19、（1）取的中点，连接，：
则，且，，所以四边形为平行四边形.
有：.而中，
即的长为；
（2）取中点，中点，连接，.
易得四边形为正方形且，则，
由有，则的平面角为，且平面
以为原点，，为，轴建立空间直角坐标系，故在平面内。由题意得：，，，，
由，，有
，，
设平面法向量为，由，即，取
同理，由，，
取得面一个法向量为，
有，，
平面与平面夹角的余弦值为
，
设，则，，
显然，，而是的增函数，故当时有最大值99，而有最小值为.即平面与平面夹角的余弦值最小值为.