广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

石门高级中学2023-2024学年度第一学期高二级数学科

第一次统测试题

（全卷共4页，供高二年级1--20班使用）  命题人：任顺选

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

2.若，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知向量，满足，，，则（    ）

A.2   B.-2   C.1   D.-1

4.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（    ）

A. 与是异面直线      B. 平面

C. ，为异面直线，且  D. 平面

5.已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）：

甲组：27，28，39，40，，50；乙组：24，，34，43，48，52；

若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则等于（    ）

A.    B.    C.    D.

6.为了解疫情防控延迟开学期间全市中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向全市各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图.经分析统计图表，采用“直播+录播”方式进行线上教学的学校占比约为（    ）

A.22.5%   B.27.5%   C.32.5%   D.37.5%

7.在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的有（    ）

A.设，是两个虚数，若和均为实数，则，是共轭复数

B.设，是两个虚数，若，则与互为共轭复数

C.设，是两个虚数，若与是共轭复数，则和均是实数

D.设，是两个虚数，若，则与互为共轭复数

10.已知、、为空间中三条不同的直线；、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（    ）

A.若，，则

B.若，，，则

C.若，，分别与、所成的角相等，则

D.若，，，若，则、、交于同一点

11.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3.从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积小于6”，则（    ）

A.事件发生的概率为   B.事件发生的概率为

C.事件，是互斥事件   D.事件，相互独立

12.对于任意非零向量，，以下说法错误的有（    ）

A.已知向量，，若，则为钝角

B.若，则

C.若空间四个点，，，，，则，，三点共线

D.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知力，，满足，且，则_________.

14.已知，，则在上的投影向量为_________（用坐标表示）.

15.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层随机抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为__________.

16.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，，平面，，则三棱锥的体积为_________.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.（本小题12.0分）

已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求面积.

18.（本小题12.0分）

已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域.

19.（本小题12.0分

如图，在四棱锥，四边形正方形，平面.，，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

20.（本小题12.0分）

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）求样本成绩的第75百分位数；

（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.

21.（本小题12.0分）

进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各超答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.

（1）求和的值；

（2）试求两人共答对3道题的概率.

22.（本小题12.0分）

在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点.

（I）求证：；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为60°.若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

石门高级中学2023-2024学年度第一学期高二级数学科

第一次统测试题答案

（全卷共4页，供高二年级1—20班使用）  命题人：任顺选

一、单选题

1.B  2.D  3.A  4.C  5.A  6.B  7.B  8.C

二、多选题

9.ABC  10.BD  11.ABC  12.ABD

三、填空题

13.   14.   15.700  16.3

四、解答题

17.解：（1）∵，，

由正弦定理得，

.

∵，∴，

又，所以.

（2）由余弦定理得，

即，，

所以.

18.解：（1）因为，

令，

解得，

则的单调递增区间是 ；

（2）由（1）可得.

因为，所以，

所以，

所以，

即在区间内的值域为.

19.【答案】解：（1）证明：连接交于点，连接，

∵底面为正方形，∴为中点，

∵点是的中点，∴，

∵平面，平面，∴平面.

（2）解：因为平面，平面，

所以，又为正方形，又，平面，

所以平面，平面，所以，

又点是的中点，，，

所以，

，，，

所以，

设点到平面的距离为，则，

即，即，解得，

即点到平面的距离为.

20.【答案】解：（1）∵每组小矩形的面积之和为1，

∴，∴.

（2）成绩落在内的频率为，

落在内的频率为，

设第75百分位数为，由，

得，故第75百分位数为84.

（3）由图可知，成绩在的市民人数为100×0.1=10，

成绩在的市民人数为100×0.2=20，故.

设成绩在中10人的分数分别为；

成绩在中20人的分数分别为，

，，

即，，

∴

，

所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37.

21.【答案】解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题]，则，，

设{（甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人恰有一人答对第一题），则，，

∵二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，

∴与相互独立，与相互互斥，

∴，

，

由题意得：，

解得或，

∵，∴，.

（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，

由题意得：

，，

，，

设{甲乙二人共答对3道题}，则，

∴，

∴甲乙两人共答对3道题的概率为.

22.【答案】（I）证明：∵，是的中点∴，

又平面，平面，则.

∵，平面，∴平面，

∵平面，∴，

（Ⅱ）以为原点，分别以，为，轴，如图建立坐标系，

，，，，，

，，，，

设平面的一个法向量，

则，即，

取，，，所以.

设平面的一个法向量，

则，即，

取，，，所以，

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）假设在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为60°，

设且，，

∴，

∴，，；

若直线与平面所成的角为60°，

则，

解得：，所以符合条件的点存在，为棱的中点.