2022-2023学年广东省佛山市南海区石门中学高二下学期第一次质量检测数学试题含解析

2022-2023学年广东省佛山市南海区石门中学高二下学期第一次质量检测数学试题

一、单选题

1．已知数列是公差为-2的等差数列，且，则首项（    ）

A．41 B．43 C．-39 D．-43

【答案】A

【分析】利用等差数列的通项公式求解.

【详解】因为数列是公差为-2的等差数列，

所有，解得，故B，C，D错误.

故选：A.

2．已知是等差数列的前n项和，若，，则（    ）

A．15 B．20 C．25 D．－25

【答案】B

【分析】根据等差数列前项和公式求得首项和公差即可求解.

【详解】设公差为，

则有，即，

联立解得，所以，

故选:B.

3．已知等比数列中，，则（    ）

A．8 B．14 C．128 D．256

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质计算出答案.

【详解】由等比数列的性质可知：，

故,

故选：C

4．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.

【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故

设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，

则，所以，，

因为，可得，因此，.

故选：C.

5．用数学归纳法证明“，”，则当时，左端应在的基础上加上（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分别确定和时等式左端的式子，由此可得结果.

【详解】解：当时，等式左端为，

当时，等式左端为，

两式比较可知，增加的项为．

故选：B．

6．已知函数的导函数为,且，则（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】A

【分析】根据导数的概念与瞬时变化率对所求式子化简，即可结合已知得出答案.

【详解】，

故选：A.

7．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案.

【详解】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，

则，

令，则在上恒成立，

故在上单调递增，

又，，

由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得.

故选：B

8．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则这个数列中第2022个数是（    ）

A．3974 B．3976 C．3978 D．3980

【答案】D

【分析】由题意可得，找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第次的最后一个数为，据此即可求解.

【详解】由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，

前次共取了个数，且第次的最后一个数为，

当时，，故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为，

∴时，依次为3970，3972，3974，3976，3978，3980，...，

∴第2022个数为3980.

故选：D.

二、多选题

9．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）

A．数列是递增数列 B．数列不是等差数列

C．，，成等差数列 D．，，成等差数列

【答案】BCD

【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A，B，分别计算出，，和，，，结合等差数列的定义判断选项C，D.

【详解】，

时，，

时，，即，.

，因此数列不是单调递增数列，故A错误；

又时，不满足，

数列不是等差数列，故B正确；

，，，

因此，，成等差数列，故C正确；

，，

．

成等差数列，故D正确.

故选：BCD.

10．已知函数，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．方程有唯一实根

【答案】AC

【分析】根据导数的运算法则，复合函数求导，基本初等函数的导数判断ABC，由数形结合判断D.

【详解】，故，故A正确；

因为，所以，故B错误；

因为，故C正确；

，即，作出与图象，如图

由图象可知，与图象有两个不同的交点，故方程有两个实根，故D错误.

故选：AC

11．悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程，其中为参数．当时，我们可构造出双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数．关于双曲函数，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用题设条件给出的函数，对各选项逐一分析、推理计算即可判断作答.

【详解】因双曲正弦函数和双曲余弦函数，

对于A，，A正确；

对于B，，B不正确；

对于C，显然双曲余弦函数是偶函数，且在递增，，C正确；

对于D，，D不正确.

故选：AC

12．已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数n，则下列说法中正确的有（    ）

A． B．

C．为递减数列 D．

【答案】AC

【分析】的极值点为的变号零点，即为函数与函数图像在交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.

A选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；

BC选项，由图像可判断选项；

D选项，注意到，由图像可得单调性，后可判断选项.

【详解】的极值点为在上的变号零点.

即为函数与函数图像在交点的横坐标.

又注意到时，，时，，

，时，.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.

A选项，注意到时，，，.

结合图像可知当，.

当，.故A正确；

B选项，由图像可知，则，故B错误；

C选项，表示两点与间距离，由图像可知，

随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列.故C正确；

D选项，由A选项分析可知，，

又结合图像可知，当时，，即此时，

得在上单调递增，

则，故D错误.

故选：AC

【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.

三、填空题

13．若函数在处取得极值3，则=______

【答案】6

【分析】根据函数在处取得极值3，得到，且，即可求解．

【详解】，，

又函数在处取得极值3，

则，且，

所以，，．

故答案为：6．

14．记为等差数列的前n项和，已知，，，{}的前n项和为，则=_________.

【答案】

【分析】根据等差数列的求和公式和通项公式代入即可求解.

【详解】因为为等差数列的前n项和且，

所以，

又，

所以，

所以，

，

所以

.

故答案为：.

15．直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】先对求导，再假设直线l与的切点为，斜率为，从而得到关于的方程组，解之即可求得直线l的方程.

【详解】因为，

所以，

不妨设直线l与的切点为，斜率为，

则，解得或或，

当时，直线l为；

当时，直线l为，即；

当时，直线l为，即；

综上：直线l的方程为或或.

故答案为：（答案不唯一）.

四、双空题

16．已知函数恰有两个零点，和一个极大值点，且，，成等比数列，则__________；若的解集为，则的极大值为__________．

【答案】     4     4

【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得是的极小值点，借助导数及函数零点可得的关系即可求出；由不等式的解集求出，再验证即可求出极大值作答.

【详解】因三次函数有一个极大值点，则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于，

又恰有两个零点，，且，因此也是的极小值点，

求导得：，即，是方程的二根，有，即，

显然，则，

整理得，两边平方得：，因成等比数列，即，

于是得，即，而，有，所以；

显然有，，，

因的解集为，则5是方程的根，

即有，整理得：，解得或，

当时，，，不等式，

解得，符合题意，函数的极大值为，

当时，，，不等式，

解得，不符合题意，舍去，所以函数的极大值为.

故答案为：4；4

【点睛】方法点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．

五、解答题

17．已知函数满足.

(1)求的值；

(2)求的图象在处的切线与两坐标轴所围三角形的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据求导的法则和四则运算结合是常数代入即可求解；

（2）根据导数的几何意义以及点斜式方程表示即可求解.

【详解】（1）因为

所以，

取得，

所以，

即.

（2）因为，

所以，

所以，

在处，，

，

所以切线方程为，

所以，

令得，

令得，

所以的图象在处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为.

18．已知数列{}的前n项和为，，给出以下三个条件:①；②{}是等差数列；③.

(1)从三个条件中选取两个，证明另外一个成立；

(2)利用（1）中的条件，求证:数列的前n项和.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)证明过程见解析

【分析】（1）由①②作为条件，求出等差数列 的通项公及前 项和，即可求证③成立；由①③作为条件，根据 ，得出 及 联立，即可求出数列 的通项公式，根据等差数列定义即可证明②成立；由②③作为条件，设等差数列 的公差 ，用 表示等差数列通项公及前 项和，代入，求出等差数列的公差d，进而求出等差数列的通项公式，即可证明①成立；

（2） 由 (1) 求出等差数列通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消求出 进行放缩证明即可.

【详解】（1）将①②作为条件，③作为结论；

设等差数列 的公差为，

则由 得，

，

解得 ，

因为 ，

所以等差数列 的通项公式为 .

所以 ，

所以

所以成立；

将①③作为条件，②作为结论；

联立 解得

所以 ，

所以 常数)，

所以数列 是以首项为 1 ，公差为 1 的等差数列. 所以②成立；

将②③作为条件，①作为结论；

设等差数列的公差为 ，

则 ，

由 ，

得 ，

解得 ，所以等差数列的通项公式为

所以 ，

即得 ，所以①成立；

（2）由（1） 知，

所以 ，

因为数列 的前 项和为 ,

所以

.

当 时， ，

所以 ，

即证数列 的前项和 .

19．数列{}满足，.

(1)求数列{}的通项公式；

(2)若数列{}满足，，求{}的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用取倒数法和等差数列的定义即可求解；（2）利用累乘法和乘公比错位相减即可求解.

【详解】（1），

所以，

两边取倒数得，

整理得，

所以为等差数列，

所以，

所以，

所以.

（2）,

所以，

所以累乘得，

又，

所以，

所以，

，

所以，①

所以，②

两式相减得，

，

所以，

所以.

20．西部某地为了贱行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入，当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，打算从明年(2023年)起每年年初将上年荒山(含上年砍伐的林区面积)的16%植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2023年为第一年，为第n年末林区面积(单位:千平方公里).

(1)确定与的递推关系(即把，用表示)

(2)证明:数列是等比数列，并求；

(3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？

(参考数据:)

【答案】(1).

(2).

(3)经过 5 年, 该地当年末的林区面积首次超过 1.2 千平方公里.

【分析】（1）根据题意找出林区和荒山的转化关系即可求解；（2）通过构造数列即可证明；（3）求解指数不等式即可求解.

【详解】（1）

.

（2），

，

，

所以数列 是等比数列.

解得 .

（3）由（2）知 ，

解得 ,

是递减的指数函数，

当 时 ,

当 时 .

经过 5 年, 该地当年末的林区面积首次超过 1.2 千平方公里.

21．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，讨论函数的零点个数.

【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为

(2)答案见解析

【分析】（1）求导得到，根据导函数的正负得到单调区间.

（2）求导得到，确定函数的单调区间，计算和，得到和，考虑，，，，几种情况，计算零点得到答案.

【详解】（1）当时，，

当时，；当时，；当时，，

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.

（2），

令，得或，由于，

当时，；当时，，当时，.

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.

，

令，得，

当时，，又，

所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点；

当时，，又，

所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和；

令，得，

现说明，即，即显然成立.

因为，故，

当时，，又.

所以存在唯一，唯一，唯一，

使得，此时函数有3个零点，

当时，，又.

所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和2 .

当时，，又.

所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点.

综上所述，当时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点；

当 时，函数有3个零点；

当时，函数有2个零点；

当时，函数有1个零点.

【点睛】关键点睛：本题考查了函数的单调性问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定函数的单调区间，根据函数值分类讨论确定零点个数是解题的关键，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.

22．已知．

(1)若关于x的方程有解，求实数a的最小值；

(2)证明不等式；

(3)类比（2）中不等式的证明方法，尝试证明：（，e为自然对数的底数）

【答案】(1)0；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析．

【分析】（1）由导数求出的值域即得；

（2）由（1）得，分别取得个不等式相加即可证；

（3）在中令，所得不等式相加可证明右边不等式成立，构造新函数，利用导数证明时，，然后同样令，所得不等式利用不等式的性质放缩后相加可证明左边成立．

【详解】（1）定义域是，

由已知，

时，，时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，，时，，

∴的值域是，即的范围是，

∴的最小值是0；

（2）由（1）知时，，即，

分别取得：

，，…，，

这个不等式相加得；

（3）同样在不等式中，分别令，得

，，…，,

相加得，

所以，

设，则，

时，，单调递增，所以，即时，，

分别令，得

，，…，，

相加得，

∴，

综上，．

【点睛】方法点睛：本题考查用导数证明不等式，证明数列不等式的方程是利用导数所证明的函数不等式中让自变量取适当的值得出相应不等式，由不等式性质变形得出结论．难点是构造函数，本题（3）中构造函数就是如此难点所在．