广西合浦县2024-2025学年数学九上开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份广西合浦县2024-2025学年数学九上开学学业质量监测试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，BC=1，CE=2，连接BD，则BD的长为（ ）
A．3B．2C．2D．
2、（4分）如图，将△ABC沿着水平方向向右平移后得到△DEF，若BC=3，CE=2，则平移的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3、（4分）如图，F是菱形ABCD的边AD的中点，AC与BF相交于E，于G，已知，则下列结论：；；：其中正确的结论是
A．B．C．D．
4、（4分） “龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（ ）
A．赛跑中，兔子共休息了50分钟
B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟
C．兔子比乌龟早到达终点10分钟
D．乌龟追上兔子用了20分钟
5、（4分）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列语句正确的是（ ）
A．的平方根是6B．负数有一个平方根
C．的立方根是D．8的立方根是2
7、（4分）若分式方程＝2+有增根，则a的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
8、（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形，则∠AED＝（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S甲2=2，S乙2=1.5，则射击成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙“）．
10、（4分）如图，已知∠BAC=120º，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，则∠ADB=_______；
11、（4分）如图，在中，，点是边的中点，点在边上运动，若平分的周长时，则的长是_______．
12、（4分）计算的结果是______________。
13、（4分）一次函数的图象与轴交于点________；与轴交于点______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）∠BCD是直角吗？说明理由．
15、（8分）四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．求∠BAD的度数；
16、（8分）分解因式：
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y=kx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（1）请直接写出点A的坐标：______；
（2）点P为线段AB上一点，且点P的横坐标为m，现将点P向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得点P′在射线AB上．
①求k的值；
②若点M在y轴上，平面内有一点N，使四边形AMBN是菱形，请求出点N的坐标；
③将直线l1绕着点A顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的解析式．
18、（10分）如图，在四边形中，，点为的中点，，交于点，，求的长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原参加旅游的同学有x人，则根据题意可列方程___________________________ .
20、（4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
21、（4分）如图，于，于，且，，，则_______．
22、（4分）有8个数的平均数是11，还有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是_________．
23、（4分）小明从A地出发匀速走到B地.小明经过（小时）后距离B地（千米）的函数图像如图所示.则A、B两地距离为_________千米.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F．求证：OE=OF．
25、（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F.
（1）求证：AE=BF；
（2）当∠BAG=30°，且AB=2时，求EF-FG的值.
26、（12分）如图，等腰直角三角形OAB的三个定点分别为、、，过A作y轴的垂线.点C在x轴上以每秒的速度从原点出发向右运动，点D在上以每秒的速度同时从点A出发向右运动，当四边形ABCD为平行四边形时C、D同时停止运动，设运动时间为.当C、D停止运动时，将△OAB沿y轴向右翻折得到△，与CD相交于点E，P为x轴上另一动点.
(1)求直线AB的解析式，并求出t的值.
(2)当PE+PD取得最小值时，求的值.
(3)设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为，请用含的代数式表示△PAE的面积.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
作DF⊥CE于F，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．
【详解】
过D作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1，
在直角三角形CDF中，根据勾股定理，得：DF2=CD2-CF2=22-12=3，
在直角三角形BDF中，BF=BC+CF=1+1=2，
根据勾股定理得：BD=，
故选D.
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
2、A
【解析】
根据图形可得：线段BE的长度即是平移的距离，
又BC=3，EC=2，
∴BE=3−2=1.
故选A.
3、A
【解析】
证=,可得易证△AEF≌△AEG(SAS),所以，∠AFE=∠AGE,所以，；由=,可证=，连接BD,易证△ABF≌△BAO,可得，BF=AO,所以，AC=2BF；同理，可证△BOE≌△BGF,可得，OE=EG,所以，CE=CO+OE=BF+EG.
【详解】
因为，四边形ABCD是菱形，
所以，,AB=AD=CD=BC,
所以，=,
所以，
因为,
所以，=,
又因为,
所以，,AG=,
又因为F是菱形ABCD的边AD的中点，
所以，AF=,
所以,AF=AG,
所以，易证△AEF≌△AEG(SAS),
所以，∠AFE=∠AGE,
所以，，
所以，由=,
可证=，
连接BD,
易证△ABF≌△BAO,
所以，BF=AO,
所以，AC=2BF,
同理，可证△BOE≌△BGF,
所以，OE=EG,
所以，CE=CO+OE=BF+EG,
综合上述，正确
故选：A
此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通，难度一般．
4、D
【解析】
分析：根据图象得出相关信息，并对各选项一一进行判断即可.
详解：由图象可知，在赛跑中，兔子共休息了：50-10＝40（分钟），故A选项错误；
乌龟跑500米用了50分钟，平均速度为：（米/分钟），故B选项错误；
兔子是用60分钟到达终点，乌龟是用50分钟到达终点，兔子比乌龟晚到达终点10分钟，故C选项错误；
在比赛20分钟时，乌龟和兔子都距起点200米，即乌龟追上兔子用了20分钟，故D选项正确.
故选D.
点睛：本题考查了从图象中获取信息的能力.正确识别图象、获取信息并进行判断是解题的关键.
5、C
【解析】
根据函数图象过原点，则必须满足（0，0）点在图象上，代入计算看是否等式成立即可.
【详解】
解：要使图象过原点，则必须满足（0，0）在图象上代入计算可得：
A 代入（0，0）可得： ，明显等式不成立，故A的曲线不过原点;
B 为反比例函数肯定不过原点，故B的曲线不过原点;
C代入（0，0）可得： ，明显等式成立，故C的直线线过原点;
D代入（0，0）可得： ，明显等式不成立，故D的直线不过原点;
故选C.
本题主要考查点是否在图象上，如果点在图象上，则必须满足图象所在的解析式.
6、D
【解析】
根据平方根和立方根的定义、性质求解可得．
【详解】
A、62的平方根是±6，此选项错误；
B、负数没有平方根，此选项错误；
C、（-1）2的立方根是1，此选项错误；
D、8的立方根是2，此选项正确；
故选：D．
本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；1的平方根是1；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，1的立方根式1．
7、A
【解析】
分式方程无解有两种可能，一种是转化为的整式方程本身没有解，一种是整式方程的解使分式方程的分母为0.
【详解】
原式可化为，因为分式方程无解，即等式不成立或无意义，当时，方程无意义，代入求得.
理解无解的含义是解题的关键.
8、D
【解析】
由题意可证△ABF≌△ADE，可得∠BAF=∠DAE=15°，可求∠AED=75°．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠C=∠D=∠DAB=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∵AD=AB，AF=AE，
∴△ABF≌△ADE（HL），
∴∠BAF=∠DAE==15°，
∴∠AED=75°，
故选D．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，熟练运用这些性质和判定解决问题是本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、乙
【解析】
解：∵S甲2=2，S乙2=1.5，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的射击成绩较稳定．
故答案为乙．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2=[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
10、60
【解析】
先根据等腰三角形的性质求出∠C的度数，再由线段垂直平分线的性质可知∠C=∠CAD，根据三角形内角与外角的关系即可求解．
【详解】
解：∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠C= ==30°，
∵AC的垂直平分线交BC于D，
∴AD=CD，
∴∠C=∠CAD=30°，
∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=30°+30°=60°．
故答案为60°．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟记知识点是解题的关键．
11、
【解析】
延长CA至M，使AM=AB，连接BM，作AN⊥BM于N，由DE平分△ABC的周长，又CD=DB，得到ME=EC，根据中位线的性质可得DE=BM，再求出BM的长即可得到结论．
【详解】
解：延长CA至M，使AM=AB，连接BM，作AN⊥BM于N，
∵DE平分△ABC的周长，CD=DB，
∴ME=EC，
∴DE=BM，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAM=120°，
∵AM=AB，AN⊥BM，
∴∠BAN=60°，BN=MN，
∴∠ABN=30°，
∴AN=AB=1，∴BN=，
∴BM=2，
∴DE=，
故答案为：．
本题考查了三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，作出辅助线综合运用基本性质进行推理是解题的关键．
12、
【解析】
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：原式
故答案为：
本题考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则
13、
【解析】
分别令x，y为0，即可得出答案．
【详解】
解：∵当时，；当时，
∴一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
故答案为：；．
本题考查的知识点是一次函数与坐标轴的交点坐标，比较简单基础．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）四边形ABCD的面积＝14；（2）是．理由见解析.
【解析】
（1）根据四边形ABCD的面积=S矩形AEFH﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CGD﹣S梯形AHGD即可得出结论；
（2）先根据锐角三角函数的定义判断出∠FBC=∠DCG，再根据直角三角形的性质可得出∠BCF+∠DCG=90°，故可得出结论．
【详解】
（1）
∵四边形ABCD的面积=S矩形AEFH﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CGD﹣S梯形AHGD
=5×51×52×41×2（1+5）×1
=25
=14；
（2）是．理由如下：
∵tan∠FBC，tan∠DCG，∴∠FBC=∠DCG．
∵∠FBC+∠BCF=∠DCG+∠CDG=90°，∴∠BCF+∠DCG=90°，∴∠BCD是直角．
本题考查了分割法求面积和锐角三角函数的定义，熟知直角三角形的性质是解答此题的关键．
15、∠BAD=135°.
【解析】
分析：连接AC，则△ABC是等腰直角三角形，用勾股定理求出AC，再用勾股定理的逆定理判定∠DAC＝90°.
详解：如图，连接AC，
Rt△ABC中，因为AB＝BC，∠ABC＝90°
所以∠BAC＝45°，由勾股定理得AC＝2；
△ACD中，因为AC2＝4，AD2＝1，CD2＝5，
所以AC2＋AD2＝CD2，所以∠DAC＝90°，
所以∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝45°＋90°＝135°.
故答案为135°.
点睛：本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的综合运用，直角三角形中已知两边的长，可用勾股定理求第三边的长，三角形中，已知三边的长，可用勾股定理的逆定理判定它是不是直角.
16、.
【解析】
先提公因式2，再用完全平方公式进行分解即可。
【详解】
解：
．
本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，因式分解时要先提公因式再用公式分解。
17、（1）（0，1）；（2）①k=；②N（-3，）；③直线 l2的解析式为y=x+1．
【解析】
（1）令，求出相应的y值，即可得到A的坐标；
（2）①先设出P的坐标，然后通过点的平移规律得出平移后 的坐标，然后将代入 中即可求出k的值；
②作AB的中垂线与y轴交于M点，连结BM，分别作AM，BM的平行线，相交于点N，则四边形AMBN是菱形, 设M（0，t），然后利用勾股定理求出t的值，从而求出OM的长度，然后利用BN=AM求出BN的长度，即可得到N的坐标；
③先根据题意画出图形，过点B作BC⊥l1，交l2于点C，过点C作CD⊥x轴于D，利用等腰三角形的性质和AAS证明△AOB≌△BDC，得出AO=BD，OB=DC，进一步求出点C的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线l2的解析式．
【详解】
（1）∵y=kx+1与y轴交于点A，
令， ，
∴A（0，1）．
（2）①由题意得：P（m，km+1），
∵将点P向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得点P′，
∴P′（m-3，km），
∵P′（m-3，km）在射线AB上，
∴k（m-3）+1=km，
解得：k=．
②如图，作AB的中垂线与y轴交于M点，连结BM，过点B作AM的平行线，过点A作BM的平行线，两平行线相交于点N，则四边形AMBN是菱形．
，
，
当 时，，解得 ，
∴ ．
设M（0，t），则AM=BM=1-t，
在Rt△BOM中，OB2+OM2=BM2，
即32+t2=（1-t）2，
解得：t=，
∴M（0，），
∴OM=，BN=AM=1-=，
∴N（-3，）．
③如图，过点B作BC⊥l1，交l2于点C，过点C作CD⊥x轴于D．则∠ABC=∠BDC=90°，

∵∠BAC=15°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABO+∠CBD=90°，
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
在和中，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴AO=BD=1，OB=DC=3，
∴OD=OB+BD=3+1=7，
∴C（-7，3），
设直线 l2的解析式为：y=ax+1，
则-7a+1=3，
解得：a=．
∴直线 l2的解析式为：y=x+1．
本题主要考查全等三角形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理，一次函数与几何综合，解题的关键在于合理的添加辅助线，构造出全等三角形．
18、
【解析】
连接BD，作CF⊥AB于F，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD，AE=BE，得出∠DBE=∠DAB=30°，由直角三角形的性质得出BD=AD=2DE=2，AE=BE=DE=3，证出△BCD是直角三角形，∠CBD=90°，得出∠BCF=30°，得出BF=BC=，CF=BF=，求出EF=BE+BF=，在Rt△CEF中，由勾股定理即可得出结果．
【详解】
解：连接，作于，如图所示：
则，点为的中点，，
，
，，
，，
，是直角三角形，
，，
，，，
，
在中，由勾股定理得：；
【点睛】本题考查勾股定理，解题关键在于求得EF=BE+BF.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
分析: 等量关系为：原来人均单价-实际人均单价=3，把相关数值代入即可．
详解: 原来人均单价为，实际人均单价为，
那么所列方程为,
故答案为：
点睛: 考查列分式方程；得到人均单价的关系式是解决本题的关键.
20、
【解析】
由方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围即可.
【详解】
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=16+4a＞0，
解得，.
故答案为：a>-4.
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
21、140°
【解析】
由“”可证Rt△ABD≌Rt△ACD，可得，由三角形外角的性质可求的度数．
【详解】
解：，，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
.
故答案为：.
本题考查了全等三角形的判定和性质，外角的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
22、11.1
【解析】
根据平均数的公式求解即可，8个数的和加12个数的和除以20即可．
【详解】
解：根据平均数的求法：共8+12=20个数，这些数之和为8×11+12×12=232，
故这些数的平均数是=11.1．
故答案为：11.1．
本题考查的是样本平均数的求法，，熟练掌握加权平均数公式是解答本题的关键．
23、20
【解析】
根据图象可知小明从A地出发匀速走到B地需要4小时，走3小时后距离B地5千米，所以小明的速度为5千米/时，据此解答即可．
【详解】
解：根据题意可知小明从A地出发匀速走到B地需要4小时，走3小时后距离B地5千米，所以小明的速度为5千米/时，
所以A、B两地距离为：4×5=20（千米）．
故答案为：20
本题考查了一次函数的应用，观察函数图象结合数量关系，列式计算是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、证明见解析.
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，继而可利用ASA判定△AOE≌△COF，继而证得OE=OF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
25、（1）证明见解析；（2）EF-FG=-1.
【解析】
分析：（1）首先根据角与角之间的等量代换得到∠ABF=∠DAE，结合AB=AD，∠AED=∠BFA，利用AAS证明△ABF≌△DAE，即可得到AE=BF；
（2）首先求出BF和AE的长度，然后在Rt△BFG中求出BG=2FG，利用勾股定理得到BG2=FG2+BF2，进而求出FG的长，于是可得EF﹣FG的值．
详解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°．
又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴∠AED=∠BFA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AE=BF；
（2）∵∠BAG=30°，AB=2，∠BEA=90°，∴BF=AB=1，AF=，∴EF=AF﹣AE=AF﹣BF=﹣1．
∵BF⊥AG，∠ABG=90°，∠BAG=30°，∴∠FBC=30°，∴BG=2FG，由BG2=FG2+BF2，∴4FG2=FG2+1，∴FG=，∴EF﹣FG=﹣1﹣=﹣1．
点睛：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解答本题的关键是根据AAS证明△ABF≌△DAE，此题难度一般．
26、（1）；（2）； (3)①当时，S△PAE=,②当时, S△PAE=.
【解析】
（1）设直线AB为，把B(-3,0)代入，求得k，确定解析式；再设设秒后构成平行四边形，根据题意列出方程，求出t即可；
（2）过E作关于轴对于点,连接EE′交x轴于点P,则此时PE+PD最小.由（1）得到当t=2时，有C（，0），D(,3)，再根据AB∥CD，求出直线CD和AB1的解析式，确定E的坐标；然后再通过乘法公式和线段运算，即可完成解答.
（3）根据（1）可以判断有和两种情况，然后分类讨论即可.
【详解】
（1）解：设直线AB为，把B(-3,0)代入得：
∴
∴
由题意得：
设秒后构成平行四边形，则
解之得：，
（2）如图:过E作关于轴对于点,
连接EE′交x轴于点P,则此时PE+PD最小.
由（1）t=2得：
∴C（，0），D(,3)
∵AB∥CD
∴设CD为
把C（，0）代入得
b1=
∴CD为：
易得为：
∴
解之得：E(,)
∴
(3)①当时
S△PAE=S△PAB1-S△PEB1=
②当时：
S△PAE=S△PAB1-S△PEB1=
本题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分