2024-2025学年云南省普洱市澜沧一中高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省普洱市澜沧一中高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∈Z|−4≤x≤3}，B={x∈N|x+10，a+b≤1，则00且a≠1)的图象恒过定点(2,1)
C. 函数f(x)=x2−2|x|+5的单调递增区间为[−1,0]，[1,+∞)
D. y=(12)−x2−1的最大值为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(2,−1,3)，b=(−4,2,x)，且a⊥b，则x=______．
13.已知向量a与b的夹角为30°，且|a|=1，|2a−b|=1，则|b|=______．
14.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示，则函数解析式为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知点A(2,0,−2)，B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，设a=AB，b=AC．
(1)若|c|=3，且c//BC，求向量c；
(2)已知向量ka+b与b垂直，求实数k的值．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=4，且(a−b)sinA+(b+c)sinB=(4+b)sinC．
(1)求csC；
(2)求△ABC面积的最大值．
17.(本小题15分)
如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE
(1)计算DE的长；
(2)求点O到平面ABC的距离．
18.(本小题17分)
某中学举行电脑知识竞赛，先将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩；
(3)按分层抽样的方法从[70,80)[80，90)[90,100]中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在[70,80)的概率．
19.(本小题17分)
如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，∠ABC=∠BAD=π2，SA=AB=BC=12AD=1．
(1)求证：BD//平面AEG；
(2)求二面角C−SD−E的余弦值；
(3)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为π6？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.B
5.C
6.C
7.B
8.D
9.BCD
10.AC
11.BC
12.103
13. 3
14.y=2sin(2x+π6)+2
15.解：(1)根据题意，空间中三点A(2,0,−2)，B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，
设a=AB，b=AC，
则BC=(3,0,−4)−(1,−1,−2)=(2,1,−2)，
又由|c|=3，且c//BC，
可以设c=mBC=m(2,1,−2)=(2m,m,−2m)，
则有|c|= 4m2+m2+4m2=|3m|=3，
解可得：m=±1，
故c=(2,1,−2)或(−2,−1,2)；
(2)根据题意，a=AB=(−1,−1,0)，b=AC=(1,0,−2)，
则ka+b=k(−1,−1,0)+(1,0,−2)=(1−k,−k,−2)，
若向量ka+b与b互相垂直，则有(ka+b)⋅b=1−k+4=0，
解得k=5；
故k的值是5．
16.解：(1)因为(a−b)sinA+(b+c)sinB=(4+b)sinC，
注意到c=4且结合正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
有(a−b)a+(b+c)b=(c+b)c，整理得a2+b2−c2=ab，
所以由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12；
(2)由(1)可知a2+b2−c2=ab，且注意到c=4，所以有a2+b2−ab=16=c2，
利用基本不等式得16=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab，即ab有最大值16，当且仅当a=b=4时取到，
又由(1)可知csC=12，所以sinC= 1−cs2C= 1−(12)2= 32，
综上所述：S=12absinC≤12×16× 32=4 3，即△ABC面积的最大值为4 3．
17.解：(1)∵空间四边形OABC各边及对角线的长都是1，D、E分别是边OA、BC的中点，
连结AE，OE，BD，CD，
∴BD=CD= 12−(12)2= 32，
∵BE=CE=12，
∴DE= BD2−BE2= 34−14= 22．
(2)过O作OF⊥平面ABC，交AE于F，
∵EF=13，
∴点O到平面ABC的距离OF= OE2−EF2= 34−112= 63．
18.解：(1)[50,60)的频率为0.03×10=0.3，[60,70)的频率为0.04×10=0.4，[70,80)的频率为0.015×10=0.15，[80,09)的频率为0.01×10=0.1，[90,100)的频率为0.005×10=0.05，
由题意可知众数为65，由于第一个矩形的面积为0.3，设中位数为60+x，则0.3+0.04x=0.5，解得x=5，所以中位数为60+5=65；
(2)依题意平均成绩为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67，
所以平均成绩为67；
(3)按照分层抽样的方法，从[70,80)，[80,90)，[90,100)中抽取6名学生，则分别抽取3人，2人，1人；
设这6个人为A，B，C，D，E，F，则从中抽取2人有C62=15种情况，两个人都在[70,80)只有CD一种情况，
故概率值为115．
19.解：(1)证明：连接FG，在△SBD中，F，G分别为SD，SB的中点，
所以FG/​/BD，
又因为FG⊂平面AEG，BD⊄平面AEG，
所以BD/​/平面AEG．
(2)因为SA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
所以SA⊥AB，SA⊥AD，又∠BAD=π2，所以AB⊥AD，
以{AB,AD,AS}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，S(0,0,1)，E(0,2,1)，
G(12,0,12)，CD=(−1,1,0)，SC=(1,1,−1)，
设平面SCD的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CD=0,m⋅SC=0,即−x+y=0,z+y−z=0,
令x=1，得y=1，z=2，
所以平面SCD的一个法向量为m=(1,1,2)，
又平面ESD的一个法向量为AB=(1,0,0)，
所以cs〈m,AB〉=m⋅AB|m||AB|=1×1+1×0+2×0 12+12+22×1= 66，
由图形可知，二面角C−SD−E的余弦值为− 66．
(3)假设存在点H，设GH=λGE=(−12λ,2λ,12λ)，
则BH=BG+λGE=(−12−12λ,2λ,12+12λ)．
由(2)知，平面SCD的一个法向量为m=(1,1,2)，
则sinπ6=|cs〈m,BH〉|=|−12−12λ+2λ+1+λ| 6× 4λ2+12(1+λ)2=12，
即(λ−1)2=0，所以λ=1，
故存在满足题意的点H，此时GH=|GE|=3 22．