2024-2025学年福建省莆田二十五中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省莆田二十五中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.将一元二次方程5x2−1=4x化为一般形式，其中一次项系数是( )
A. 5B. −4C. 4D. −1
2.用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是( )
A. (x+4)2=−7B. (x+4)2=−9C. (x+4)2=7D. (x+4)2=25
3.下列函数是二次函数的是( )
A. y=x+13B. y=3(x−1)2C. y=ax2+bx+cD. y=1x2+3x
4.一元二次方程x2+8x−2=0配方后可变形为( )
A. (x−4)2=18B. (x−4)2=14C. (x−8)2=64D. (x+4)2=18
5.已知x=1是一元二次方程(m−2)x2+4x−m2=0的一个根，则m的值为( )
A. 1B. −1或2C. −1D. 0
6.已知一元二次方程x2−3x+2=0的两个根为x1、x2，则1x1+1x2的值为( )
A. −3B. −23C. 1D. 32
7.若关于x的方程kx2−x+3=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k⩽12B. k⩽112C. k⩽12且k≠0D. k⩽112且k≠0
8.抛物线y=13x2经过点A(−2,y1)，B(−32,y2)，C(1,y3)，则y1，y2和y3的大小关系为( )
A. y19.关于抛物线y=−2x2，下列说法正确的有( )
①与抛物线y=a2x2顶点相同，开口方向相反；
②当x>2时，y随x的增大而减小；
③当−1④若(m,p)，(n,p)是该抛物线上两点，则m+n=0．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.函数y=ax−2(a>0)与y=ax2(a>0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若二次函数y=ax2的图象过点(1,−2)，则a的值是 ．
12.一个等边三角形边长的数值是方程x2−3x−10=0的根，那么这个三角形的周长为______．
13.如果m是方程x2−2x−6=0的一个根，那么代数式2m2−4m−7的值为______．
14.将一元二次方程x(x−1)=−1化成ax2+bx+c=0(a>0)的形式，则a+b+c=______．
15.已知y=(k+2)xk2+k−4是二次函数，且当x>0时，y随x增大而增大，则k= ______．
16.若x1，x2是方程x2−4x−2020=0的两个实数根，则代数式x12−2x1+2x2的值等于 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
用指定方法解下列一元二次方程：
(1)x2−4x=2(配方法)；
(2)2x2−5x+1=0(公式法)．
18.(本小题8分)
已知x=−1是方程x2+mx−5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．
19.(本小题8分)
已知a，b，c分别是三角形的三边，且关于x的方程(a+b)x2+2cx+(a−b)=0有两个相等的实数根，试判断该三角形的形状，说明理由．
20.(本小题8分)
如图，用长为45m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是21m)，围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2).
(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)如果要围成面积为162m2的花圃，AB的长为多少米？
21.(本小题8分)
已知关于x的方程x2+(2m+1)x+m(m+1)=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=1，求m的值．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.若点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两点同时出发.(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm2？
(2)△PBQ的面积能否为10cm2？若能，求出点移动的时间；若不能，请说明理由．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线，交抛物线于E，F两点．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)当四边形CDFE为正方形时，求线段CD的长．
24.(本小题12分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax2图象交于点A(1,m)和B(−2,4)，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
(1)a= ______，b= ______，k= ______；
(2)求△AOB的面积；
(3)点P是抛物线上一点，且△POD的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．
25.(本小题14分)
阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+m2的值．
解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2= ______，x1x2= ______．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，求1s−1t的值．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.D
5.C
6.D
7.B
8.D
9.C
10.A
11.−2
12.15
13.5
14.1
15.2
16.2028
17.解：(1)x2−4x=2，
x2−4x+4=6，
(x−2)2=6，
x−2=± 6，
解得x1=2+ 6，x2=2− 6；
(2)2x2−5x+1=0，
a=2，b=−5，c=1，
Δ=b2−4ac=(−5)2−4×2×1=17，
∴x=5± 172×2，
解得x1=5+ 174，x2=5− 174．
18.解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的一元二次方程x2+mx−5=0的一个根是−1，
∴x=−1满足关于x的一元二次方程x2+mx−5=0，
∴(−1)2−m−5=0，
解得m=−4；
又由韦达定理知−1×x2=−5，
解得x2=5．
即方程的另一根是5．
19.解：∵关于x的方程(a+b)x2+2cx+(a−b)=0有两个相等的实数根，
∴△=(2c)2−4(a2−b2)=0，即4(c2−a2+b2)=0，
∴c2−a2+b2=0，即a2=c2+b2，
∵a、b、c是△ABC的三边，
∴此三角形是直角三角形．
20.解：(1)由AB=x，得BC=(45−3x)m，
则S=(45−3x)x=45x−3x2，
∵0∴0<45−3x≤21，
∴8≤x<15，
∴y与x的函数关系式为S=−3x2+45x(8≤x<15)；
(2)若S=162，则−3x2+45x=162，
解得：x1=6，x2=9，
∵8≤x<15，
所以x=9，
即当AB的长为9米时，花圃的面积为162平方米．
21.解：(1)∵x2+(2m+1)x+m(m+1)=0，
∴Δ=(2m+1)2−4m(m+1)=4m2+4m+1−4m2−4m=1>0，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)∵方程有两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=−(2m+1)，x1x2=m(m+1)，
∵x12+x22=13，
∴(x1+x2)2−2x1x2=13，
∴(2m+1)2−2m(m+1)=13，
整理得，m2+m−6=0，
解得：m=2或m=−3．
22.解：(1)设ts后，△PBQ的面积为8cm2，
则PB=(6−t)cm，BQ=2tcm，
∵∠B=90°，
∴S△PBQ=12(6−t)⋅2t=8，
解得t1=2，t2=4，
∴2s或4s时，△PBQ的面积为8cm2；
(2)不能，理由如下：设y秒时，△PBQ的面积为10cm2，
S△PBQ=12(6−y)⋅2y=10，
即 y2−6y+10=0，
∴Δ=b2−4ac=(−6)2−4×10=−4<0，
∴原方程无实数根，即△PBQ的面积不能是10cm2．
23.解：(1)将点A(2,4)代入抛物线y=ax2中，得4=4a，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2；
(2)设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，

当四边形CDFE为正方形时，设CD=CE=2x，则CM=x=NE，NO=MO−MN=4−2x，
∴E点坐标为(x,4−2x)，代入抛物线y=x2中，
得到：4−2x=x2，
解得x1=−1+ 5，x2=−1− 5(负值舍去)，
∴CD=2x=2 5−2．
24.(1)1，2，−1；
(2)由(1)可知一次函数关系式y=−x+2，
当x=0时，y=2，
则一次函数y=−x+2与y轴交点坐标为C(0,2)，
∵OC=2，点A横坐标为xA=1，点B的横坐标为−2，
∴S△AOC=12⋅OC⋅|xA|=12×2×1=1，S△BOC=12⋅OC⋅|xB|=12×2×2=2
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=1+2=3，
∴△AOB的面积为3；
(3)由题意D(2,0)，设P(m,n)，
∵△POD的面积与△AOB的面积相等，
∴12×2×n=3，
∴n=3，
∴m2=3，
∴m=± 3，
∴P(− 3,3)或( 3,3)．
25.(1)32，−12；
(2)∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m，n，
∴m+n=32，mn=−12，
∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=(32)2−2×(−12)−12=−132；
(3)∵实数s，t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根，
∴s+t=32，st=−12．
∵(t−s)2=(t+s)2−4st=(32)2−4×(−12)=174，
∴t−s=± 172，
∴1s−1t=t−sst=± 172−12=+− 17，
∴1s−1t的值为− 17或 17．