2021新高考新题型——数学多选题专项练习（4）

这是一份2021新高考新题型——数学多选题专项练习（4），共22页。试卷主要包含了多选题等内容，欢迎下载使用。
一、多选题
1． 我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则直线
A．存在，使得直线上无整点
B．存在，使得直线上恰有一个整点
C．存在，使得直线上恰有两个整点
D．存在，使得直线上有无数个整点
2． 已知实数，满足，，，，且，，，，则
A．存在实数，，使得
B．存在，使得
C．任意符合条件的实数，都有
D．，，，中至少有两个大于1
3． 已知函数，其中表示不大于的最大整数，下列关于函数的性质，描述正确的是
A．是增函数B．是周期函数
C．的值域为，D．是偶函数
4． 正方体截面的形状有可能为
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
5． 已知集合，，，，，，则
A．B．C．D．
6． 设全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，则
A．，B．
C．，1，3，D．集合的真子集个数为8
7． 定义“正对数”： 若，，则下列结论中正确的是
A．B．
C．D．
E．
8． 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，的任一点，则下列结论中正确的是
A．B．
C．平面D．平面平面
E．平面平面
9． 下面说法中错误的是
A．经过定点，的直线都可以用方程表示
B．经过定点，的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
E．经过任意两个不同的点，，，的直线都可以用方程表示
10． 已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，则有
A．渐近线方程为B．渐近线方程为
C．D．
11． 设有一组圆，下列四个命题正确的是
A．存在，使圆与轴相切
B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
12． 一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，、分别为、的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有
A．直线与直线异面B．直线与直线异面
C．直线平面D．直线平面
13． 已知函数，则下列说法正确的是
A．
B．的图象关于对称
C．若，则
D．若，则
14． 已知函数，，则、满足
A．，B．（3），（3）
C．D．
15． 现有一段长度为的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对符合条件时的最多小段数为，则
A．（7）B．（7）C．D．
16． 已知，，，为平面上两两不重合的四点，且，则
A．当且仅当时，在的外部
B．当且仅当时，
C．当且仅当时，为的重心
D．当且仅当时，，，三点共线
17． 下列说法，正确的有
A．函数的零点只有1个且属于区间
B．若关于的不等式恒成立，则
C．函数的图象与函数的图象有3个不同的交点
D．函数的最小值是1
18． 已知，，，且，则的最值情况为
A．最大值为3B．最小值为C．最大值为D．最小值为
19． 在数列中，，若为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为
A．不可能为0
B．等差数列一定是“等差比数列”
C．等比数列一定是“等差比数列”
D．“等差比数列”中可以有无数项为0
2021新高考新题型——数学多选题专项练习（4）
答案解析
一、多选题
1． 我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则直线
A．存在，使得直线上无整点
B．存在，使得直线上恰有一个整点
C．存在，使得直线上恰有两个整点
D．存在，使得直线上有无数个整点
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，当，时，直线的方程为，直线上无整点，正确；
对于，当，时，直线的方程为，直线上恰有一个整点，正确；
对于，假设直线上恰有两个整点为，和，，则有，
此时直线存在第三个整点：，，错误；
对于，当，时，直线的方程为，直线上有无数个整点；
则正确；
故选：．
2． 已知实数，满足，，，，且，，，，则
A．存在实数，，使得
B．存在，使得
C．任意符合条件的实数，都有
D．，，，中至少有两个大于1
【解析】解：设，．则有，，
则，，，．
所以任意符合条件的，都有．正解，错误．
若，则，则，错误．
因为，，所以，，所以，，故，且，正确．
故选：．
3． 已知函数，其中表示不大于的最大整数，下列关于函数的性质，描述正确的是
A．是增函数B．是周期函数
C．的值域为，D．是偶函数
【解析】解：当时，，此时．
当时，，此时．
当时，，此时．
当时，，此时．
当时，，此时．
当时，，此时．
由此可得函数，，故正确；
函数为非奇非偶函数，故，错误；
函数是周期为1的周期函数，故正确；
函数在区间，上为增函数，但整个定义域为不具备单调性，故错；
故选：．
4． 正方体截面的形状有可能为
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
【解析】解：画出截面图形如图：
可以画出正三角形但不是直角三角形（如图；
可以画出正方形（如图
经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形（如图；
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形（如图；
故选：．
5． 已知集合，，，，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：已知集合，，，，，，
若属于，则：；
、均为整数，也属于，所以是的子集；
若属于，则：（a）；
、均为整数，也属于，所以是的子集；
所以：，
故选：．
6． 设全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，则
A．，B．
C．，1，3，D．集合的真子集个数为8
【解析】解：全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，
，，故正确，
，，故错误，
，1，3，，故正确，
集合的真子集个数为，故错误
故选：．
7． 定义“正对数”： 若，，则下列结论中正确的是
A．B．
C．D．
E．
【解析】解：对于，由定义，当时，，故，又，
故有；
当时，，故，又时，所以此时亦有．
由上判断知正确；
对于，此命题不成立，可令，，则，由定义，，
所以；由此知错误；
对于，当时，，此时 ，
当时，，此时命题成立；
当时，，此时，故命题成立；
同理可验证当时，成立；
当时，同理可验证是正确的，故正确；
对于，若，时，左，右端，显然成立；
若，则，成立，故错误，正确．
故选：．
8． 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，的任一点，则下列结论中正确的是
A．B．
C．平面D．平面平面
E．平面平面
【解析】解：由题意，，若，则平面，可得，与矛盾，故、错误；
，又底面，，则平面，则，故、正确；
平面平面，若平面平面，而平面平面，则平面，可得，与矛盾，故错误．
故选：．
9． 下面说法中错误的是
A．经过定点，的直线都可以用方程表示
B．经过定点，的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
E．经过任意两个不同的点，，，的直线都可以用方程表示
【解析】解：当直线的斜率不存在时，经过定点，的直线方程为，不能写成的形式，故错误．
当直线的斜率等于零时，经过定点，的直线方程为，不能写成 的形式，故错误．
当直线的斜率不存在时，经过定点的直线都方程为，不能用方程表示，故错误．
不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为的形式，故错误．
经过任意两个不同的点，，，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，
能用方程表示；
当直线的斜率不存在时，，，方程为，能用方程表示，故正确，
故选：．
10． 已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，则有
A．渐近线方程为B．渐近线方程为
C．D．
【解析】解：由题意可得，可设，，，
则，，，
圆的圆心为，，半径为，
双曲线的渐近线方程为，即，
圆心到渐近线的距离为，
弦长，
可得三角形为等边三角形，
即有．
故选：．
11． 设有一组圆，下列四个命题正确的是
A．存在，使圆与轴相切
B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【解析】解：对于：存在，使圆与轴相切有正整数解或，故正确；
对于：因为圆心恒在直线上，故正确；
对于：当取无穷大的正数时，半径也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故不正确；
对于：将代入得，即，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故正确．
故选：．
12． 一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，、分别为、的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有
A．直线与直线异面B．直线与直线异面
C．直线平面D．直线平面
【解析】解：如图，把几何体恢复原状，显然，异面，可知正确；
，，
，
平面，可知正确；
易知为等腰梯形，可知，错误．
故选：．
13． 已知函数，则下列说法正确的是
A．
B．的图象关于对称
C．若，则
D．若，则
【解析】解：，
对，故错误；
对：当时，，故关于对称，故正确；
对在上不单调，，不一定，故错误；
对在上单调递增，在上单调递减，当，
由的图象知，故正确．
故选：．
14． 已知函数，，则、满足
A．，B．（3），（3）
C．D．
【解析】解：，．故正确，
为增函数，则（3），成立，，（3），故正确，
，故正确，
．，故错误，
故选：．
15． 现有一段长度为的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对符合条件时的最多小段数为，则
A．（7）B．（7）C．D．
【解析】解：当时，最多可锯成3段：，（7），故正确，不正确；
当时，最多能锯6段，具体如下：．
下证大于6段是不可能成立的：
若可锯成7段，设为，，，（其中，
显然，若，则，而，矛盾，因此或，
当时，只能是，退一步必出现，或，
8与4共同出现在等式中，由题意知这是不可能的，矛盾
同理，当时，情况为，或，或，
针对以上情形采取还原的方法都可得出矛盾，
综上，时最多能锯成6段，即，故正确，不正确．
故选：．
16． 已知，，，为平面上两两不重合的四点，且，则
A．当且仅当时，在的外部
B．当且仅当时，
C．当且仅当时，为的重心
D．当且仅当时，，，三点共线
【解析】解：对于，如图1，若，，只有一个为负时，不妨设，，，
则有与同向．则在的外部，
若，，均为负时，不妨取，
可得，显然为的重心，则在的内部，
综上，错．
对于．时，不妨取，，．分别作，，．
则点为的重心．，
，
，
，正确．
对于．当且仅当时，且，
为的重心，正确．
对于．时，且，，化为：，可得，，三点共线．
综上可得：都正确．
故选：．
17． 下列说法，正确的有
A．函数的零点只有1个且属于区间
B．若关于的不等式恒成立，则
C．函数的图象与函数的图象有3个不同的交点
D．函数的最小值是1
【解析】解：①对于选项，由函数在为增函数，又（1）（2），即函数的零点只有1个且属于区间，即正确，
②对于选项，关于的不等式恒成立，则时，满足题意，，解得：，综上可得：，，即错误，
③对于选项，设，则，即在上为增函数，又，即只有一个零点，即函数的图象与函数的图象有1个不同的交点，即错误，
④对于选项，设，因为，，所以，，所以，，，所以（1），即正确，
综合①②③④得：
正确的有，，
故选：．
18． 已知，，，且，则的最值情况为
A．最大值为3B．最小值为C．最大值为D．最小值为
【解析】解：，，，且，
可得，时，，，取得最小值，即取得最小值；
当，，，可得取得最大值，
由，，，，
即有函数在，为凸函数，
由为区间上的凸函数，可得
，
可得，
即有的最大值为．
故选：．
19． 在数列中，，若为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为
A．不可能为0
B．等差数列一定是“等差比数列”
C．等比数列一定是“等差比数列”
D．“等差比数列”中可以有无数项为0
【解析】解：对于，不可能为0正确；
对于，时，为等差数列，但不是等差比数列；
对于，若等比数列，则，所以为等差比数列；
对于，数列0，1，0，1，0，1，，0，1．是等差比数列，且有无数项为0，
故选：．