2023-2024学年浙江省宁波市镇海区仁爱中学八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市镇海区仁爱中学八年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2023，2024）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）不等式x+2＞﹣1的解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＞1C．x＜﹣3D．x＜1
4．（3分）对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2B．a＝0C．a＝D．a＝2
5．（3分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．（3分）已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（ ）
A．17或22B．22C．17D．13
7．（3分）设a＜b，则下面不等式正确的是（ ）
A．a2＜b2B．2﹣a＜2﹣bC．+1＜+1D．3a﹣3＞3b﹣3
8．（3分）如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3），（1，1）、（3，1），规定把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位称为一次变换，如此这样，连续经过2023次变换后，点M的坐标变为（ ）
A．（2024，2）B．（2024，﹣2）C．（2025，2）D．（2025，﹣2）
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边向上作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，点E落在GF上，连结CD，DF．若要求出五边形ACDFE的面积，则只要知道（ ）
A．AB的长B．AC的长
C．△ABC的面积D．△DEF的面积
10．（3分）如图，AD为△ABC的高，点H为AC的垂直平分线与BC的交点，点F为BC上一点，若∠B＝2∠C，且AC＝AB+BF．则的值为（ ）
A．1B．2C．1.5D．3
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）点P（3，﹣4）关于y轴对称所得点P′的坐标为 ．
12．（4分）x与3的差的一半是正数，用不等式表示为 ．
13．（4分）写出“全等三角形的面积相等”的逆命题是 ；这个逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
14．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AB的中点，若AC＝8，则DE的长为 ．
15．（4分）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣2≤x≤4的范围内，则a的取值范围是 ．
16．（4分）如图三条直线l1，l2，l3互相平行，且l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为4，等边△ABC的三个顶点分别在三条平行线上，则等边△ABC的面积为 ．
三.解答题（本大题共8小题，17题8分，18、19题各6分，20、21、22题各8分，23题10分，24题12分，共66分）
17．（8分）（1）解不等式：2x﹣3≤1，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组．
18．（6分）如图，点C是线段BD上一点，AB∥CE，AB＝CD，BC＝CE．求证：∠A＝∠D．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处．
（1）BC＝ ；
（2）求线段CD的长．
20．（8分）△ABC在方格纸中的位置如图所示，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位，
（1）将△ABC向下平移8个单位后得到△A1B1C1，请你在图中画出△A1B1C1；分别写出A1、B1、C1的坐标；
（2）y轴上存在点M，使得MB+MC的值最小，请标出M点的位置，则MB+MC的最小值为 ．
21．（8分）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于120万元，则有哪几种购车方案？
22．（8分）如图，已知点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP＝60°，连接DP，DC，AD＝DP．
（1）求证：△ADC≌△APB；
（2）若PA＝15，PB＝8，PC＝17，求∠APB的度数．
23．（10分）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的仁智线，这个三角形叫做仁智三角形．
（1）如图1，在仁智三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的仁智线，CD＝1，，则∠B的度数为 ；
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连接AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF＝90°，AE交BC于点D，连接EC，EB．当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC的仁智线；
（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝10，BC2＝320．若△BCD是仁智三角形，且AC为仁智线，请同学们把图形补充完整，并求△BCD的面积．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为A（0，5），B（﹣12，0），C（10，0），一动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）△ABC的面积＝ ；
（2）若点P恰好线段AB的垂直平分线上，求此时t的值；
（3）当点P在线段BO上运动时，在y轴的正半轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并求出此时点Q的坐标：若不存在，请说明理由；
（4）连结PA，若△PAB为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
2023-2024学年浙江省宁波市镇海区仁爱中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2023，2024）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据第二象限内点的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵﹣2023＜0，2024＞0，
∴点（﹣2023，2024）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键．
3．（3分）不等式x+2＞﹣1的解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＞1C．x＜﹣3D．x＜1
【分析】根据不等式的性质直接求解即可．
【解答】解：x+2＞﹣1，
解得：x＞﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了求一元一次不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
4．（3分）对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2B．a＝0C．a＝D．a＝2
【分析】反例就是满足条件，但是不满足结论．根据负数的绝对值等于它的相反数，a取任何一个负数都可以．
【解答】解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴任何一个负数都可以，a＝﹣2符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了反例，掌握绝对值的性质是解题的关键，即：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．
5．（3分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
6．（3分）已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（ ）
A．17或22B．22C．17D．13
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．（3分）设a＜b，则下面不等式正确的是（ ）
A．a2＜b2B．2﹣a＜2﹣bC．+1＜+1D．3a﹣3＞3b﹣3
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．当a＝﹣3，b＝﹣2时，符合a＜b，但是此时a2＞b2，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴2﹣a＞2﹣b，故本选项不符合题意；
C．∵a＜b，
∴＜，
∴+1+1，故本选项符合题意；
D．∵a＜b，
∴3a＜3b，
∴3a﹣3＜3b﹣3，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．（3分）如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3），（1，1）、（3，1），规定把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位称为一次变换，如此这样，连续经过2023次变换后，点M的坐标变为（ ）
A．（2024，2）B．（2024，﹣2）C．（2025，2）D．（2025，﹣2）
【分析】先根据中点坐标公式求出M的初始坐标为（2，2），再根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数结合点坐标平移的特点找到M经过变换后点的坐标规律即可得到答案，
【解答】解：∵正方形的顶点A，B，C分别是（1，3），（1，1）、（3，1），
∴正方形的对角线的交点M（2，2），
∵把正方形先沿x轴翻折，再向右平移1个单位为一次变换，
∴第一次变换后M的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），
则第二次变换后M的坐标为（2+2，2），即（4，2），
第三次变换后M的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），
…，
第n三次变换后M的坐标为：当n为奇数时（2+n，﹣2），当n为偶数时（2+n，2），
∴连续经过第2023次时，点M的坐标为（2+2023，﹣2），即（2025，﹣2），
故选：D．
【点评】本题主要考查了点的坐标规律探索，坐标与图形变化—轴对称和平移，正确找到规律是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边向上作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，点E落在GF上，连结CD，DF．若要求出五边形ACDFE的面积，则只要知道（ ）
A．AB的长B．AC的长
C．△ABC的面积D．△DEF的面积
【分析】证明△ABC≌△AEG（SAS），由全等三角形的性质得出S△ABC＝S△AEG，过点D作DH⊥BF于点H，则∠DBH＝∠BAC，∠DHB＝∠ACB＝90°，BD＝BA，证明△ABC≌△BDH（AAS），得出BC＝DH，由三角形面积公式可证出S△DCF＝CF•DH＝BC•AB＝S△ABC，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∵四边形ACFG是正方形，
∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠CAG＝90°，
∴∠CAB＝∠EAG，
在△ABC和△AEG中，
，
∴△ABC≌△AEG（SAS），
∴S△ABC＝S△AEG，
过点D作DH⊥BF于点H，则∠DBH＝∠BAC，∠DHB＝∠ACB＝90°，BD＝BA，
∴△ABC≌△BDH（AAS），
∴BC＝DH，
∴S△DCF＝CF•DH＝BC•AB＝S△ABC，
∴五边形ACDFE的面积＝S△DCF+S正方形ACFG﹣S△AEG＝S正方形ACFG，
故只要知道AC的长即可求出五边形ACDFE的面积．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，证明△ABC≌△AEG是解题的关键．
10．（3分）如图，AD为△ABC的高，点H为AC的垂直平分线与BC的交点，点F为BC上一点，若∠B＝2∠C，且AC＝AB+BF．则的值为（ ）
A．1B．2C．1.5D．3
【分析】先利用垂直平分线得出AH＝CH，进而得出，∠AHB＝2∠C即可得出结论；设出∠ACB＝α，得出∠B＝2α，∠DAF＝α，再判断出△ABF≌△CHG（SAS）得出∠BAF＝∠HCG，∠AFB＝∠G，进而得出∠ACG＝∠G，得出BD＝DH，等量代换即可得出AC﹣FC＝2DF即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AH并延长至G使HG＝BF，
∵点H为AC的垂直平分线与BC的交点，
∴AH＝CH，
∴∠CAH＝∠C，
∴∠AHB＝2∠C，
∵HC＝AB，
∴AB＝AH，
∴∠B＝∠AHB＝2∠C设∠ACB＝α，
∵∠B＝2∠C＝∠AHB＝2α，
∵∠AHB＝∠CHG，
∴∠B＝∠CHG＝2α，
∵2∠DAF＝∠B﹣∠ACB＝2α﹣α＝α，
∴∠DAF＝α，
在△ABF和△CHG中，，
∴△ABF≌△CHG（SAS），
∴∠BAF＝∠HCG，∠AFB＝∠G，
在Rt△ABD中，AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣2α，
∴∠HCG＝∠BAF＝∠BAD+∠DAF＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，
∴∠ACG＝∠ACB+∠HCG＝α+90°﹣α＝90°﹣α，
在△ABF中，∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ACG＝∠G，
∴AC＝AG＝AH+HG＝AB+BF；
CH＝AH＝AB，
∵AH＝AB，AD⊥BC，
∴BD＝DH，
由（2）①知，AC＝AB+BF＝CH+BD+DF
∵FC＝CD﹣DF＝CH+DH﹣DF＝CH+BD﹣DF
∴AC﹣FC＝CH+BD+DF﹣（CH+BD﹣DF）＝2DF，
∴＝＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，找出角之间的关系是解本题的关键．
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）点P（3，﹣4）关于y轴对称所得点P′的坐标为 （﹣3，﹣4） ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数”进行解答即可．
【解答】解：点P（3，﹣4）关于y轴对称的点P′的坐标为（﹣3，﹣4），
故答案为：（﹣3，﹣4）．
【点评】本题考查轴对称与点的坐标变化，正确记忆对称的性质是解题关键．
12．（4分）x与3的差的一半是正数，用不等式表示为 ．
【分析】先将x与3的差的一半表示为，根据正数即是大于0的数，再用不等号连接起来即可．
【解答】解：根据题意得，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出不等式．
13．（4分）写出“全等三角形的面积相等”的逆命题是 面积相等的两个三角形为全等三角形 ；这个逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】根据全等三角形的概念判断即可．
【解答】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题．
故答案为：面积相等的两个三角形为全等三角形，假．
【点评】本题考查了命题的真假性，根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，
14．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AB的中点，若AC＝8，则DE的长为 4 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可得D是BC的中点，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴D是BC的中点，且AD⊥BC，
∵E是AB的中点，
∴DE是Rt△ABD斜边上的中线，
∵AC＝8，
∴．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质．熟练掌握中线性质是关键．
15．（4分）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣2≤x≤4的范围内，则a的取值范围是 a≤﹣5或a≥5 ．
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞a+1，
解不等式②得：x＜a+3，
∴不等式组的解集为a﹣1＜x＜a+3，
∵关于x的不等式组的解集中每一个值均不在﹣2≤x＜4的范围内，
∴a+3≤﹣2或a﹣1≥4，
解得：a≤﹣5或a≥5，
故答案为：a≤﹣5或a≥5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集和已知得出关于a的不等式组是解此题的关键．
16．（4分）如图三条直线l1，l2，l3互相平行，且l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为4，等边△ABC的三个顶点分别在三条平行线上，则等边△ABC的面积为 ．
【分析】．过A，C作AE，CF垂直于l2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交l2于点G，直角三角形的性质先后求得AG＝4，DG＝8，，再求得等边△ABC的边长，进一步计算可得结论．
【解答】解：如图，过A，C作AE，CF垂直于l2，点E，F是垂足，
将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交l2于点G．
由作图可知：∠DBG＝60°，AD＝CF＝4，
在Rt△BDG中，∠BGD＝30°，
在Rt△AEG中，∠EAG＝60°，AE＝2，
∴AG＝4，DG＝8，
在Rt△BDG中，∠BGD＝30°，DG＝8，
∴BG＝2BD，82+DB2＝（2DB）2，
解得，
在Rt△ABD中，，
AB边上的高为，
∴等边△ABC的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
三.解答题（本大题共8小题，17题8分，18、19题各6分，20、21、22题各8分，23题10分，24题12分，共66分）
17．（8分）（1）解不等式：2x﹣3≤1，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组．
【分析】（1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数华晨1即可求解；
（2）首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：（1）2x﹣3≤1，
移项，得2x≤1+3，
合并同类项，得2x≤4，
系数化成1得x≤2．
在数轴上表示如下：
；
（2），
解（1）得：x＞，
解②得：x≤4，
∴不等式组的解集是：＜x≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（6分）如图，点C是线段BD上一点，AB∥CE，AB＝CD，BC＝CE．求证：∠A＝∠D．
【分析】根据AB∥CE得到∠B＝∠ECD，再用SAS证明△ABC≌△DCE，最后根据性质即可求证．
【解答】证明：∵AB∥CE，
∴∠B＝∠ECD，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行线的性质及其应用．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处．
（1）BC＝ 16 ；
（2）求线段CD的长．
【分析】（1）直接利用勾股定理即可求解；
（2）由折叠的性质可得CD＝DE，利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，
∴，
故答案为：16；
（2）∵将△ABC沿AD折叠，
∴CD＝DE，
设CD＝DE＝x，
则，
即12×16＝12x+20x，
解得x＝6，即CD＝6．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解决问题的关键是由折叠的性质可得CD＝DE，利用面积法求解．
20．（8分）△ABC在方格纸中的位置如图所示，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位，
（1）将△ABC向下平移8个单位后得到△A1B1C1，请你在图中画出△A1B1C1；分别写出A1、B1、C1的坐标；
（2）y轴上存在点M，使得MB+MC的值最小，请标出M点的位置，则MB+MC的最小值为 ．
【分析】（1）A、B、C向下平移8个单位后得到A1、B1、C1，连接各点即可，
（2）找C（﹣3，1）关于y轴的对称点D（3，1），连接BD，交y轴于点M，利用两点之间线段最短即可．
【解答】解：（1）A（0，6）、B（﹣6，3）、C（﹣3，1）向下平移8个单位后得到A1（0，﹣2），B1（﹣6，﹣5），C1（﹣3，﹣7）连接各点即可，如图1，
∴△A1B1C1即为所求，A1（0，﹣2），B1（﹣6，﹣5），C1（﹣3，﹣7）；
（2）找C（﹣3，1）关于y轴的对称点D（3，1），连接BD，交y轴于点M，如图2，
∵在网格可知：MC＝MD，
∴MB+MC＝BD，
∴点M即为所求的点，使得MB+MC最小，
此时，
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形．
21．（8分）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于120万元，则有哪几种购车方案？
【分析】（1）设每辆A型车的售价为x万元，B型车的售价为y万元，根据“上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m辆A型车，则购进（6﹣m）辆B型车，根据“A型车不少于2辆，购车费不少于120万元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可求出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购车方案．
【解答】解：（1）设每辆A型车的售价为x万元，B型车的售价为y万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆A型车的售价为18万元，B型车的售价为26万元．
（2）设购进m辆A型车，则购进（6﹣m）辆B型车，
依题意得：，
解得：2≤m≤，
又∵m为正整数，
∴m可以为2，3，4，
∴共有3种购车方案，
方案1：购进2辆A型车，4辆B型车；
方案2：购进3辆A型车，3辆B型车；
方案3：购进4辆A型车，2辆B型车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22．（8分）如图，已知点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP＝60°，连接DP，DC，AD＝DP．
（1）求证：△ADC≌△APB；
（2）若PA＝15，PB＝8，PC＝17，求∠APB的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝AB，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CD＝PB＝5，∠APB＝∠ADC，推出△ADP是等边三角形，得到∠ADP＝60°，PD＝PA＝15，根据勾股定理的逆定理得到∠PDC＝90°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∵∠DAP＝60°，AD＝DP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠PAB＝60°﹣∠PAC，
在△ADC与△APB中，
，
∴△ADC≌△APB（SAS）；
（2）解：∵△ADC≌△APB，
∴CD＝PB＝8，∠APB＝∠ADC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠PAD＝60°，AD＝AP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠ADP＝60°，PD＝PA＝15，
∵PC＝17，
∴CD2+PD2＝PC2，
∴∠PDC＝90°，
∴∠APB＝∠ADC+∠ADP＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．掌握其性质定理是解决此题的关键．
23．（10分）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的仁智线，这个三角形叫做仁智三角形．
（1）如图1，在仁智三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的仁智线，CD＝1，，则∠B的度数为 45° ；
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连接AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF＝90°，AE交BC于点D，连接EC，EB．当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC的仁智线；
（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝10，BC2＝320．若△BCD是仁智三角形，且AC为仁智线，请同学们把图形补充完整，并求△BCD的面积．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）证明DE＝DC，结合定义可得结论；
（3）如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，△BCD，△BCD′是仁智三角形．
【解答】（1）解：∵△ABC是仁智三角形，AD⊥BC，AD≠DC，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABE＝∠ACF＝135°，
∴∠EBD＝90°，
∵∠BDE＝∠DCE+∠DEC，∠BDE＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形，
∵△EDB是直角三角形，
∴△BEC是仁智三角形；
∴ED是△EBC的仁智线；
（3）解：如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．
有两种情形：当CD⊥BD时，△BCD是仁智三角形．
∵AB＝AC＝10，BC2＝320，AH⊥BC，
∴，
∴，
∵S△ABC＝BC•AH＝AB•CD，
∴CD＝8，
∴，
∴S△BCD＝BD•CD＝×（10+6）×8＝64；
当CD′⊥AC时，△BCD′是仁智三角形．
设CD′＝x，DD′＝y，
∴x2＝y2+82，102+x2＝（6+y）2，即102+y2+82＝（6+y）2，
解得：，
S△CBD′＝××8＝．
综上所述，满条件的△BCD的面积为64或．
【点评】本题考查了仁智三角形的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为A（0，5），B（﹣12，0），C（10，0），一动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）△ABC的面积＝ 55 ；
（2）若点P恰好线段AB的垂直平分线上，求此时t的值；
（3）当点P在线段BO上运动时，在y轴的正半轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并求出此时点Q的坐标：若不存在，请说明理由；
（4）连结PA，若△PAB为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）先求出BC的长，再利用面积公式求面积即可；
（2）根据垂直平分线性质和勾股定理求出BP的长，从而求得P点运动时间t；
（3）根据全等三角形的对应边相等关系分为情况，求出点的坐标即可；
（4）由勾股定理得AB＝13根据PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB三种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）∵A（0，5），B（﹣12，0），C（10，0），
∴OA＝5，BC＝22，
∴△ABC的面积为，
故答案为：55；
（2）如图1，
∵点P恰好线段AB的垂直平分线上，
∴BP＝AP，
设BP＝AP＝x，则OP＝12﹣x，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：OP2+OA2＝AP2，
即（12﹣x）2+52＝x2，解得：，
∴此时；
（3）①当△QOP≌△AOC时，OP＝OC＝10，
∴BP＝OB﹣OP＝12﹣10＝2，OQ＝OA＝5，
∴此时t＝1，点Q坐标为（0，5）或（0，﹣5）；
②当△POQ≌△AOC时，OP＝OA＝5，
∴BP＝OB﹣OP＝12﹣5＝5，OQ＝OA＝5，
∴此时，点Q坐标为（0，10）或（0，﹣10）；
综上可知：t＝1，点Q坐标为（0，5）或（0，﹣5）或，点Q坐标为（0，10）或（0，﹣10）；
（4）如图2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
当AP1＝AB时，此时P1（12，0）；
当AP2＝BP2时，由（2）得：，
当BP3＝AB时，此时P3（1，0）；
综上可知：P（12，0）或或（1，0）．
【点评】本题考查了等腰三角形，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，坐标与图形性质等知识点的综合运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用，正确求出符合条件的所有情况．
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