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2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院八年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）杭州第19届亚运会，又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．下列亚运会图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）三角形的两边长分别为3，8，则第三边长可能是（ ）
A．4B．5C．10D．12
3．（3分）把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（ ）
A．（1，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，1）
4．（3分）下列说法：下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．在同一个三角形中，等边对等角
C．内错角相等
D．等腰三角形的两个底角相等
5．（3分）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．﹣2a＞﹣2bC．2a+1＜2b+1D．m2a＞m2b
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BD＝3，则AC的长为（ ）
A．6B．C．9D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′．若点A′位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（ ）
A．m＞0，n＜0B．m＞1，n＜2C．m＞1，n＜0D．m＞﹣2，n＜﹣4
8．（3分）如图，AC+DE+FG＝4，CD+EF+BG＝6，∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝90°，则AB的长为（ ）
A．5B．10C．4D．2
9．（3分）运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否＞18“为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A．xB．C．D．x＜6
10．（3分）如图，点E、F为矩形ABCD边AD、AB上的一点，连接EB，EC、FD，FC，EB与DF、CF分别交于点P和点M，EC与DF交于点N，四边形AEPF的面积为S1，△DEN的面积为S2，△BFM的面积为S3，图中阴影部分的面积是（ ）
A．S1+S2+S3B．S1+S2﹣S3C．S1+S2D．S1+S2+2S3
二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式﹣x+3＞0的最大整数解是 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m﹣1）与点B（﹣2，3）关于x轴对称，则m的值是 ．
13．（4分）点A（a，b）在直线y＝2x+3上，则2a﹣b的值为 ．
14．（4分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 ．
15．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连接AC′，当△ADC′是以AD为腰的等腰三角形时，则BD＝ ．
16．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（4，0）．点C是y轴上一点，满足∠CAB＝45°，点E（m，n）在射线AC上（不与点A重合），在y轴上存在一点D使得DE＝DB，若m•n＝2，求＝ ．
三.解答题（共6小题，共66分）
17．（6分）（1）解不等式：1﹣（x﹣1）＜3（x+1）；
（2）解不等式组：．
18．（6分）已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1；当x＝﹣2时，y＝﹣14，求：
（1）这个一次函数的表达式．
（2）当y＝﹣7时，自变量x的值．
（3）﹣1≤y＜1时，自变量x的取值范围．
19．（8分）按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 ．
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）计算△A1B1C1的面积．
20．（8分）已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M
（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC＝BM+CM．
21．（8分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ay+x，ax+y），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点P（1，4）的“2级关联点”Q（2×4+1，1×2+4），即Q（9，6）．
（1）已知点A（2，﹣1）的“3级关联点”为B，求点B的坐标；
（2）已知点P（x，y）关于“2级关联点”为（0，3），求P的坐标；
（3）点（2m，m﹣1）关于“﹣4级关联点”在第三象限，求m的范围．
22．（8分）自推出亚运会纪念品以来，亚运会纪念品迅速成为紧俏商品．某经销店承诺对所有商品明码标价，绝不哄抬物价．如下表所示是该店甲、乙两种亚运会纪念品的进价和售价：
该店有一批用3800元购进的甲、乙两种亚运会纪念品库存，预计全部销售后可获毛利润共400元．【毛利润＝（售价﹣进价）销售量】
（1）该店库存的甲、乙两种亚运会纪念品分别为多少个？
（2）根据预售情况，该店计划增加甲种亚运会纪念品的购进量，减少乙种亚运会纪念品的购进量．已知甲种亚运会纪念品增加的数量是乙种亚运会纪念品减少的数量的3倍，进货价不变．设毛利润为y，乙种亚运会纪念品减少的数量为x．
①求y关于x的关系式；
②若用于购进这两种亚运会纪念品的总资金不超过4000元，可使全部销售后获得的毛利润最大，求出最大毛利润．
2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）杭州第19届亚运会，又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．下列亚运会图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）三角形的两边长分别为3，8，则第三边长可能是（ ）
A．4B．5C．10D．12
【分析】首先设该三角形第三边的长为x，再根据三角形三边之间的关系得5＜x＜11，据此可得出答案．
【解答】解：该三角形第三边的长为x，
根据三角形三边之间的关系得：8﹣3＜x＜8+3，
即5＜x＜11．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解答此题的关键．
3．（3分）把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（ ）
A．（1，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，1）
【分析】根据点的平移：左减右加，上加下减解答可得．
【解答】解：把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（2﹣3，﹣3），即（﹣1，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
4．（3分）下列说法：下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．在同一个三角形中，等边对等角
C．内错角相等
D．等腰三角形的两个底角相等
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定定理、等腰三角形的判定、内错角的概念判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、在同一个三角形中，等边对等角，逆命题是在同一个三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意；
C、内错角相等，逆命题是相等的角是内错角，是假命题，符合题意；
D、等腰三角形的两个底角相等，逆命题是两个内角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（3分）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．﹣2a＞﹣2bC．2a+1＜2b+1D．m2a＞m2b
【分析】根据不等式的基本性质即可进行解答．
【解答】解：A、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意；
C、∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴2a+1＜2b+1；故C成立，不符合题意；
D、∵a＜b，m2≥0，
∴m2a≤m2b，故D不成立，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BD＝3，则AC的长为（ ）
A．6B．C．9D．
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质可得AC＝2BC，∠ACB＝60°，再利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，从而可得∠A＝∠ACD＝30°，进而可得∠DCB＝30°，然后在Rt△DCB中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC＝3，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝2BC，∠ACB＝90°﹣∠A＝60°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
在Rt△DCB中，BD＝，
∴BC＝BD＝3，
∴AC＝2BC＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′．若点A′位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（ ）
A．m＞0，n＜0B．m＞1，n＜2C．m＞1，n＜0D．m＞﹣2，n＜﹣4
【分析】构建不等式组解决问题．
【解答】解：由题意，，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是构建不等式组解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，AC+DE+FG＝4，CD+EF+BG＝6，∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝90°，则AB的长为（ ）
A．5B．10C．4D．2
【分析】将DE，FG平移到AC延长线上，CD，EF平移到BG的延长线上，再利用勾股定理求AB的长即可．
【解答】解：如图，将DE，FG平移到AC延长线上，CD，EF平移到BG的延长线上，
由平移的性质可知∠G＝90°，AH＝4，BH＝6，
由勾股定理得AB＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平移的性质，勾股定理等知识，运用平移构造直角三角形是解题的关键．
9．（3分）运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否＞18“为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A．xB．C．D．x＜6
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：由题意得，
解不等式①得x≤8，
解不等式②得，x＞，
则x的取值范围是＜x≤8．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
10．（3分）如图，点E、F为矩形ABCD边AD、AB上的一点，连接EB，EC、FD，FC，EB与DF、CF分别交于点P和点M，EC与DF交于点N，四边形AEPF的面积为S1，△DEN的面积为S2，△BFM的面积为S3，图中阴影部分的面积是（ ）
A．S1+S2+S3B．S1+S2﹣S3C．S1+S2D．S1+S2+2S3
【分析】根据△ABE的面积+△CDE的面积＝矩形ABCD面积的一半，△FCD＝矩形ABCD面积的一半即可得出答案．
【解答】解：设AD＝a，CD＝b，S△FPM＝x，S△NCD＝y，阴影部分的面积为S，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝b，
∵S△ABE＝AE•AB＝AE•b，S△CDE＝DE•CD＝DE•b，
∴S△ABE+S△CDE＝b（AE+DE）＝ab，
∴S1+x+S3+S2+y＝ab，
即s1+s2+s3＝ab﹣（x+y），
∵S△FCD＝CD•AD＝ab，
∴x+S+y＝ab，
即S＝ab﹣（x+y），
∴S＝S1+S2+S3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积等，准确识图，找出图形之间的面积关系是解决问题的关键．
二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式﹣x+3＞0的最大整数解是 x＝2 ．
【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解即可．
【解答】解：不等式﹣x+3＞0的解集是x＜3，
所以不等式的最大整数解是x＝2．
故答案为x＝2．
【点评】正确解不等式，求出解集是解诀本题的关键．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m﹣1）与点B（﹣2，3）关于x轴对称，则m的值是 ﹣2 ．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m的值．
【解答】解：∵点A（﹣2，m﹣1）与点B（﹣2，3）关于x轴对称，
∴m﹣1＝﹣3，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点是解题的关键．
13．（4分）点A（a，b）在直线y＝2x+3上，则2a﹣b的值为 ﹣3 ．
【分析】将点A（a，b）代入y＝2x+3之中即可得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）在直线y＝2x+3上，
∴b＝2a+3，
∴2a﹣b＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上的点，解决问题的关键是理解一次函数图象上的点满足一次函数的表达式，满足一次函数表达式的点都在一次函数的图象上．
14．（4分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 a≤ ．
【分析】先解出每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组无解，即可得到a的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜4a，
解不等式②，得：x＞1，
∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴4a≤1，
解得a≤，
故答案为：a≤．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
15．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连接AC′，当△ADC′是以AD为腰的等腰三角形时，则BD＝ 或 ．
【分析】根据AD＝DC'和AD＝AC'两种情况展开讨论，当AD＝DC'，设BD＝x可得DC＝4﹣x，根据折叠的性质得AD＝DC＝4﹣x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当AD＝AC'，可得B'是DC'的中点，设BD＝x，DC＝4﹣x，可得，根据折叠的性质得BD＝DB'，建立方程解方程即可得到答案．
【解答】解：当AD＝DC'时，设BD＝x，
得DC＝4﹣x，
∵DC'＝DC，
∴AD＝DC＝4﹣x，
在Rt△ABC中AB2+BD2＝AD2，
∴9+x2＝（4﹣x）2，
∴x＝；
当AD＝AC'时，
∵AB'⊥DC'，
∴B'是DC'的中点，
∵DC'＝DC，
∴DB′＝0.5DC，
设BD＝x，则DC＝4﹣x，
∴，
∵BD＝DB'，
∴，
∴x＝，
∴当BD＝或BD＝时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
故答案为：或．
【点评】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，根据题意建立方程．
16．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（4，0）．点C是y轴上一点，满足∠CAB＝45°，点E（m，n）在射线AC上（不与点A重合），在y轴上存在一点D使得DE＝DB，若m•n＝2，求＝ 10或6 ．
【分析】根据题意易得C（0，4）或（0，﹣4），分两种情况：当点C的坐标为（0，4）时，利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝x+4，则n＝m+4，进而可得（n﹣m）2＝n2﹣2mn+m2＝16，于是m2+n2＝20，由＝＝，代入求解即可；当点C的坐标为（0，﹣4）时，同第一种情况求解即可．
【解答】解：如图，
∵A（﹣4，0），B（4，0），
∴OA＝OB＝4，
∵点C是y轴上一点，
∴∠COA＝90°，
∵∠CAB＝45°，
∴△COA为等腰直角三角形，
∴OA＝OC＝4，
∴C（0，4）或（0，﹣4），
当点C的坐标为（0，4）时，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
∵点E（m，n）在射线AC上，
∴n＝m+4，
∴n﹣m＝4，
∴（n﹣m）2＝n2﹣2mn+m2＝16，
∵m•n＝2，
∴n2﹣4+m2＝16，
即m2+n2＝20，
∴＝＝＝＝10；
当点C的坐标为（0，﹣4）时，
同理求得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣4，
∵点E（m，n）在射线AC上，
∴n＝﹣m﹣4，
∴n+m＝﹣4，
∴（n+m）2＝n2+2mn+m2＝16，
∵m•n＝2，
∴n2+4+m2＝16，
即m2+n2＝12，
∴＝＝＝＝6．
综上，＝10或6．
故答案为：10或6．
【点评】本题主要考查坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、求代数式的值，学会利用分类讨论和整体思想解决问题是解题关键．
三.解答题（共6小题，共66分）
17．（6分）（1）解不等式：1﹣（x﹣1）＜3（x+1）；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法可以解答本题；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：1﹣（x﹣1）＜3（x+1）；
去括号，得：1﹣x+1＜3x+3，
移项及合并同类项，得：﹣4x＜1，
系数化为1，得：x＞﹣；
（2），
解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x≤3，
∴原不等式组的解集为1＜x≤3．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18．（6分）已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1；当x＝﹣2时，y＝﹣14，求：
（1）这个一次函数的表达式．
（2）当y＝﹣7时，自变量x的值．
（3）﹣1≤y＜1时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数的定义可设y＝kx+b，然后把两组对应值代入得到关于k和b的方程组，再解方程组求出k和b即可；
（2）把y＝﹣7代入（1）中的解析式中即可得到对应的自变量x的值；
（3）先计算出y＝﹣1和y＝1对应的自变量x的值，然后根据一次函数的性质确定x自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
根据题意得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝3x﹣8；
（2）当y＝﹣7时，则﹣7＝3x﹣8，
解得x＝；
（3）当y＝﹣1时，则﹣1＝3x﹣8，解得x＝，
当y＝1时，则1＝3x﹣8，解得x＝3，
∵k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴﹣1≤y＜1时，自变量x的取值范围是≤x＜3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式；也考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征．
19．（8分）按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 （﹣4，2） ．
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）计算△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据点A的位置写出坐标即可．
（2）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）利用分割法求面积即可．
【解答】解：（1）如图，A（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求作．
（3）＝3×4﹣×1×3﹣×2×3﹣×1×4＝5.5．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，正确作出图形是解题的关键．
20．（8分）已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M
（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC＝BM+CM．
【分析】（1）如图作DN⊥AC于N．根据角平分线的性质定理可得DM＝DN＝2，由此即可解决问题；
（2）由Rt△CDM≌Rt△CDN，推出CN＝CM，由Rt△ADN≌Rt△BDM，推出AN＝BM，由此即可解决问题；
【解答】（1）解：如图作DN⊥AC于N．
∵DC平分∠ACP，DM⊥CP，DN⊥CA，
∴DM＝DN＝2，
∴S△ADC＝•AC•DN＝×6×2＝6．
（2）∵CD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），
∴CN＝CM，
∵AD＝BD，DN＝DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），
∴AN＝BM，
∴AC＝AN+CN＝BM+CM
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ay+x，ax+y），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点P（1，4）的“2级关联点”Q（2×4+1，1×2+4），即Q（9，6）．
（1）已知点A（2，﹣1）的“3级关联点”为B，求点B的坐标；
（2）已知点P（x，y）关于“2级关联点”为（0，3），求P的坐标；
（3）点（2m，m﹣1）关于“﹣4级关联点”在第三象限，求m的范围．
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；
（2）根据关联点的定义，结合点的坐标列方程组即可得出结论；
（3）根据关联点的定义和点（2m，m﹣1）关于“﹣4级关联点”在第三象限，即可得出关于m的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解（1）∵点A（2，﹣1）的“3级关联点”为B，故点B的坐标为（3×（﹣1）+2，3×2﹣1）
∴B的坐标（﹣1，5）；
（2）点P（x，y）关于“2级关联点”为（0，3），
∴，
解得，
∵P（2，﹣1）；
（3）点（2m，m﹣1）关于“﹣4级关联点”为（﹣4（m﹣1）+2m，（﹣4）×2m+m﹣1），
∵“﹣4级关联点”在第三象限，
∴
解得：m＞2．
【点评】本题考查点的坐标，“关联点”的定义，解不等式组，解二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（8分）自推出亚运会纪念品以来，亚运会纪念品迅速成为紧俏商品．某经销店承诺对所有商品明码标价，绝不哄抬物价．如下表所示是该店甲、乙两种亚运会纪念品的进价和售价：
该店有一批用3800元购进的甲、乙两种亚运会纪念品库存，预计全部销售后可获毛利润共400元．【毛利润＝（售价﹣进价）销售量】
（1）该店库存的甲、乙两种亚运会纪念品分别为多少个？
（2）根据预售情况，该店计划增加甲种亚运会纪念品的购进量，减少乙种亚运会纪念品的购进量．已知甲种亚运会纪念品增加的数量是乙种亚运会纪念品减少的数量的3倍，进货价不变．设毛利润为y，乙种亚运会纪念品减少的数量为x．
①求y关于x的关系式；
②若用于购进这两种亚运会纪念品的总资金不超过4000元，可使全部销售后获得的毛利润最大，求出最大毛利润．
【分析】（1）该店库存的甲种亚运会纪念品有x个，乙种亚运会纪念品有y个，根据题意列出x，y的二元一次方程组即可；
（2）先求出m的取值范围，然后再根据函数关系式，由函数的性质求函数最值．
【解答】解：（1）设该店库存的甲种亚运会纪念品有x个，乙种亚运会纪念品有y个，
由题意，得：，
解得，
答：该店库存的甲种亚运会纪念品有20个，乙种甲种亚运会纪念品有30个；
（2）①根据题意得40 （ 20+3m）+100 （ 30﹣m ）≤4000，
解得：m≤10，
∴y关于x的关系式为y＝（ 45﹣40）（ 20+3x）+（ 110﹣100）（ 30﹣x）＝5x+400（x≥0且x为整数），
②∵y＝5x+400，5＞0，
∴y随着x的增大而增大，
∴当x＝10时，y取得最大值，此时y＝450，20+3x＝50，30﹣10＝20，
答：购进这两种亚运会纪念品的总资金不超过4000元，可使全部销售后获得的毛利润最大，最大毛利润是450元．
【点评】本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，关键是根据毛利润等于两种亚运会纪念品的利润之和列出函数关系式，
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甲
乙
进件（元/个）
40
100
售价（元/个）
45
110
商品价格
甲
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1．（3分）杭州第19届亚运会，又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．下列亚运会图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）三角形的两边长分别为3，8，则第三边长可能是（ ）
A．4B．5C．10D．12
3．（3分）把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（ ）
A．（1，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，1）
4．（3分）下列说法：下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．在同一个三角形中，等边对等角
C．内错角相等
D．等腰三角形的两个底角相等
5．（3分）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．﹣2a＞﹣2bC．2a+1＜2b+1D．m2a＞m2b
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BD＝3，则AC的长为（ ）
A．6B．C．9D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′．若点A′位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（ ）
A．m＞0，n＜0B．m＞1，n＜2C．m＞1，n＜0D．m＞﹣2，n＜﹣4
8．（3分）如图，AC+DE+FG＝4，CD+EF+BG＝6，∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝90°，则AB的长为（ ）
A．5B．10C．4D．2
9．（3分）运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否＞18“为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A．xB．C．D．x＜6
10．（3分）如图，点E、F为矩形ABCD边AD、AB上的一点，连接EB，EC、FD，FC，EB与DF、CF分别交于点P和点M，EC与DF交于点N，四边形AEPF的面积为S1，△DEN的面积为S2，△BFM的面积为S3，图中阴影部分的面积是（ ）
A．S1+S2+S3B．S1+S2﹣S3C．S1+S2D．S1+S2+2S3
二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式﹣x+3＞0的最大整数解是 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m﹣1）与点B（﹣2，3）关于x轴对称，则m的值是 ．
13．（4分）点A（a，b）在直线y＝2x+3上，则2a﹣b的值为 ．
14．（4分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 ．
15．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连接AC′，当△ADC′是以AD为腰的等腰三角形时，则BD＝ ．
16．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（4，0）．点C是y轴上一点，满足∠CAB＝45°，点E（m，n）在射线AC上（不与点A重合），在y轴上存在一点D使得DE＝DB，若m•n＝2，求＝ ．
三.解答题（共6小题，共66分）
17．（6分）（1）解不等式：1﹣（x﹣1）＜3（x+1）；
（2）解不等式组：．
18．（6分）已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1；当x＝﹣2时，y＝﹣14，求：
（1）这个一次函数的表达式．
（2）当y＝﹣7时，自变量x的值．
（3）﹣1≤y＜1时，自变量x的取值范围．
19．（8分）按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 ．
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）计算△A1B1C1的面积．
20．（8分）已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M
（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC＝BM+CM．
21．（8分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ay+x，ax+y），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点P（1，4）的“2级关联点”Q（2×4+1，1×2+4），即Q（9，6）．
（1）已知点A（2，﹣1）的“3级关联点”为B，求点B的坐标；
（2）已知点P（x，y）关于“2级关联点”为（0，3），求P的坐标；
（3）点（2m，m﹣1）关于“﹣4级关联点”在第三象限，求m的范围．
22．（8分）自推出亚运会纪念品以来，亚运会纪念品迅速成为紧俏商品．某经销店承诺对所有商品明码标价，绝不哄抬物价．如下表所示是该店甲、乙两种亚运会纪念品的进价和售价：
该店有一批用3800元购进的甲、乙两种亚运会纪念品库存，预计全部销售后可获毛利润共400元．【毛利润＝（售价﹣进价）销售量】
（1）该店库存的甲、乙两种亚运会纪念品分别为多少个？
（2）根据预售情况，该店计划增加甲种亚运会纪念品的购进量，减少乙种亚运会纪念品的购进量．已知甲种亚运会纪念品增加的数量是乙种亚运会纪念品减少的数量的3倍，进货价不变．设毛利润为y，乙种亚运会纪念品减少的数量为x．
①求y关于x的关系式；
②若用于购进这两种亚运会纪念品的总资金不超过4000元，可使全部销售后获得的毛利润最大，求出最大毛利润．
2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）杭州第19届亚运会，又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．下列亚运会图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）三角形的两边长分别为3，8，则第三边长可能是（ ）
A．4B．5C．10D．12
【分析】首先设该三角形第三边的长为x，再根据三角形三边之间的关系得5＜x＜11，据此可得出答案．
【解答】解：该三角形第三边的长为x，
根据三角形三边之间的关系得：8﹣3＜x＜8+3，
即5＜x＜11．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解答此题的关键．
3．（3分）把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（ ）
A．（1，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，1）
【分析】根据点的平移：左减右加，上加下减解答可得．
【解答】解：把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（2﹣3，﹣3），即（﹣1，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
4．（3分）下列说法：下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．在同一个三角形中，等边对等角
C．内错角相等
D．等腰三角形的两个底角相等
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定定理、等腰三角形的判定、内错角的概念判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、在同一个三角形中，等边对等角，逆命题是在同一个三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意；
C、内错角相等，逆命题是相等的角是内错角，是假命题，符合题意；
D、等腰三角形的两个底角相等，逆命题是两个内角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（3分）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．﹣2a＞﹣2bC．2a+1＜2b+1D．m2a＞m2b
【分析】根据不等式的基本性质即可进行解答．
【解答】解：A、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意；
C、∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴2a+1＜2b+1；故C成立，不符合题意；
D、∵a＜b，m2≥0，
∴m2a≤m2b，故D不成立，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BD＝3，则AC的长为（ ）
A．6B．C．9D．
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质可得AC＝2BC，∠ACB＝60°，再利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，从而可得∠A＝∠ACD＝30°，进而可得∠DCB＝30°，然后在Rt△DCB中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC＝3，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝2BC，∠ACB＝90°﹣∠A＝60°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
在Rt△DCB中，BD＝，
∴BC＝BD＝3，
∴AC＝2BC＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′．若点A′位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（ ）
A．m＞0，n＜0B．m＞1，n＜2C．m＞1，n＜0D．m＞﹣2，n＜﹣4
【分析】构建不等式组解决问题．
【解答】解：由题意，，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是构建不等式组解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，AC+DE+FG＝4，CD+EF+BG＝6，∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝90°，则AB的长为（ ）
A．5B．10C．4D．2
【分析】将DE，FG平移到AC延长线上，CD，EF平移到BG的延长线上，再利用勾股定理求AB的长即可．
【解答】解：如图，将DE，FG平移到AC延长线上，CD，EF平移到BG的延长线上，
由平移的性质可知∠G＝90°，AH＝4，BH＝6，
由勾股定理得AB＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平移的性质，勾股定理等知识，运用平移构造直角三角形是解题的关键．
9．（3分）运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否＞18“为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A．xB．C．D．x＜6
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：由题意得，
解不等式①得x≤8，
解不等式②得，x＞，
则x的取值范围是＜x≤8．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
10．（3分）如图，点E、F为矩形ABCD边AD、AB上的一点，连接EB，EC、FD，FC，EB与DF、CF分别交于点P和点M，EC与DF交于点N，四边形AEPF的面积为S1，△DEN的面积为S2，△BFM的面积为S3，图中阴影部分的面积是（ ）
A．S1+S2+S3B．S1+S2﹣S3C．S1+S2D．S1+S2+2S3
【分析】根据△ABE的面积+△CDE的面积＝矩形ABCD面积的一半，△FCD＝矩形ABCD面积的一半即可得出答案．
【解答】解：设AD＝a，CD＝b，S△FPM＝x，S△NCD＝y，阴影部分的面积为S，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝b，
∵S△ABE＝AE•AB＝AE•b，S△CDE＝DE•CD＝DE•b，
∴S△ABE+S△CDE＝b（AE+DE）＝ab，
∴S1+x+S3+S2+y＝ab，
即s1+s2+s3＝ab﹣（x+y），
∵S△FCD＝CD•AD＝ab，
∴x+S+y＝ab，
即S＝ab﹣（x+y），
∴S＝S1+S2+S3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积等，准确识图，找出图形之间的面积关系是解决问题的关键．
二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式﹣x+3＞0的最大整数解是 x＝2 ．
【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解即可．
【解答】解：不等式﹣x+3＞0的解集是x＜3，
所以不等式的最大整数解是x＝2．
故答案为x＝2．
【点评】正确解不等式，求出解集是解诀本题的关键．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m﹣1）与点B（﹣2，3）关于x轴对称，则m的值是 ﹣2 ．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m的值．
【解答】解：∵点A（﹣2，m﹣1）与点B（﹣2，3）关于x轴对称，
∴m﹣1＝﹣3，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点是解题的关键．
13．（4分）点A（a，b）在直线y＝2x+3上，则2a﹣b的值为 ﹣3 ．
【分析】将点A（a，b）代入y＝2x+3之中即可得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）在直线y＝2x+3上，
∴b＝2a+3，
∴2a﹣b＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上的点，解决问题的关键是理解一次函数图象上的点满足一次函数的表达式，满足一次函数表达式的点都在一次函数的图象上．
14．（4分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 a≤ ．
【分析】先解出每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组无解，即可得到a的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜4a，
解不等式②，得：x＞1，
∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴4a≤1，
解得a≤，
故答案为：a≤．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
15．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连接AC′，当△ADC′是以AD为腰的等腰三角形时，则BD＝ 或 ．
【分析】根据AD＝DC'和AD＝AC'两种情况展开讨论，当AD＝DC'，设BD＝x可得DC＝4﹣x，根据折叠的性质得AD＝DC＝4﹣x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当AD＝AC'，可得B'是DC'的中点，设BD＝x，DC＝4﹣x，可得，根据折叠的性质得BD＝DB'，建立方程解方程即可得到答案．
【解答】解：当AD＝DC'时，设BD＝x，
得DC＝4﹣x，
∵DC'＝DC，
∴AD＝DC＝4﹣x，
在Rt△ABC中AB2+BD2＝AD2，
∴9+x2＝（4﹣x）2，
∴x＝；
当AD＝AC'时，
∵AB'⊥DC'，
∴B'是DC'的中点，
∵DC'＝DC，
∴DB′＝0.5DC，
设BD＝x，则DC＝4﹣x，
∴，
∵BD＝DB'，
∴，
∴x＝，
∴当BD＝或BD＝时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
故答案为：或．
【点评】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，根据题意建立方程．
16．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（4，0）．点C是y轴上一点，满足∠CAB＝45°，点E（m，n）在射线AC上（不与点A重合），在y轴上存在一点D使得DE＝DB，若m•n＝2，求＝ 10或6 ．
【分析】根据题意易得C（0，4）或（0，﹣4），分两种情况：当点C的坐标为（0，4）时，利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝x+4，则n＝m+4，进而可得（n﹣m）2＝n2﹣2mn+m2＝16，于是m2+n2＝20，由＝＝，代入求解即可；当点C的坐标为（0，﹣4）时，同第一种情况求解即可．
【解答】解：如图，
∵A（﹣4，0），B（4，0），
∴OA＝OB＝4，
∵点C是y轴上一点，
∴∠COA＝90°，
∵∠CAB＝45°，
∴△COA为等腰直角三角形，
∴OA＝OC＝4，
∴C（0，4）或（0，﹣4），
当点C的坐标为（0，4）时，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
∵点E（m，n）在射线AC上，
∴n＝m+4，
∴n﹣m＝4，
∴（n﹣m）2＝n2﹣2mn+m2＝16，
∵m•n＝2，
∴n2﹣4+m2＝16，
即m2+n2＝20，
∴＝＝＝＝10；
当点C的坐标为（0，﹣4）时，
同理求得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣4，
∵点E（m，n）在射线AC上，
∴n＝﹣m﹣4，
∴n+m＝﹣4，
∴（n+m）2＝n2+2mn+m2＝16，
∵m•n＝2，
∴n2+4+m2＝16，
即m2+n2＝12，
∴＝＝＝＝6．
综上，＝10或6．
故答案为：10或6．
【点评】本题主要考查坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、求代数式的值，学会利用分类讨论和整体思想解决问题是解题关键．
三.解答题（共6小题，共66分）
17．（6分）（1）解不等式：1﹣（x﹣1）＜3（x+1）；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法可以解答本题；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：1﹣（x﹣1）＜3（x+1）；
去括号，得：1﹣x+1＜3x+3，
移项及合并同类项，得：﹣4x＜1，
系数化为1，得：x＞﹣；
（2），
解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x≤3，
∴原不等式组的解集为1＜x≤3．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18．（6分）已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1；当x＝﹣2时，y＝﹣14，求：
（1）这个一次函数的表达式．
（2）当y＝﹣7时，自变量x的值．
（3）﹣1≤y＜1时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数的定义可设y＝kx+b，然后把两组对应值代入得到关于k和b的方程组，再解方程组求出k和b即可；
（2）把y＝﹣7代入（1）中的解析式中即可得到对应的自变量x的值；
（3）先计算出y＝﹣1和y＝1对应的自变量x的值，然后根据一次函数的性质确定x自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
根据题意得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝3x﹣8；
（2）当y＝﹣7时，则﹣7＝3x﹣8，
解得x＝；
（3）当y＝﹣1时，则﹣1＝3x﹣8，解得x＝，
当y＝1时，则1＝3x﹣8，解得x＝3，
∵k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴﹣1≤y＜1时，自变量x的取值范围是≤x＜3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式；也考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征．
19．（8分）按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 （﹣4，2） ．
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）计算△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据点A的位置写出坐标即可．
（2）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）利用分割法求面积即可．
【解答】解：（1）如图，A（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求作．
（3）＝3×4﹣×1×3﹣×2×3﹣×1×4＝5.5．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，正确作出图形是解题的关键．
20．（8分）已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M
（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC＝BM+CM．
【分析】（1）如图作DN⊥AC于N．根据角平分线的性质定理可得DM＝DN＝2，由此即可解决问题；
（2）由Rt△CDM≌Rt△CDN，推出CN＝CM，由Rt△ADN≌Rt△BDM，推出AN＝BM，由此即可解决问题；
【解答】（1）解：如图作DN⊥AC于N．
∵DC平分∠ACP，DM⊥CP，DN⊥CA，
∴DM＝DN＝2，
∴S△ADC＝•AC•DN＝×6×2＝6．
（2）∵CD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），
∴CN＝CM，
∵AD＝BD，DN＝DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），
∴AN＝BM，
∴AC＝AN+CN＝BM+CM
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ay+x，ax+y），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点P（1，4）的“2级关联点”Q（2×4+1，1×2+4），即Q（9，6）．
（1）已知点A（2，﹣1）的“3级关联点”为B，求点B的坐标；
（2）已知点P（x，y）关于“2级关联点”为（0，3），求P的坐标；
（3）点（2m，m﹣1）关于“﹣4级关联点”在第三象限，求m的范围．
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；
（2）根据关联点的定义，结合点的坐标列方程组即可得出结论；
（3）根据关联点的定义和点（2m，m﹣1）关于“﹣4级关联点”在第三象限，即可得出关于m的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解（1）∵点A（2，﹣1）的“3级关联点”为B，故点B的坐标为（3×（﹣1）+2，3×2﹣1）
∴B的坐标（﹣1，5）；
（2）点P（x，y）关于“2级关联点”为（0，3），
∴，
解得，
∵P（2，﹣1）；
（3）点（2m，m﹣1）关于“﹣4级关联点”为（﹣4（m﹣1）+2m，（﹣4）×2m+m﹣1），
∵“﹣4级关联点”在第三象限，
∴
解得：m＞2．
【点评】本题考查点的坐标，“关联点”的定义，解不等式组，解二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（8分）自推出亚运会纪念品以来，亚运会纪念品迅速成为紧俏商品．某经销店承诺对所有商品明码标价，绝不哄抬物价．如下表所示是该店甲、乙两种亚运会纪念品的进价和售价：
该店有一批用3800元购进的甲、乙两种亚运会纪念品库存，预计全部销售后可获毛利润共400元．【毛利润＝（售价﹣进价）销售量】
（1）该店库存的甲、乙两种亚运会纪念品分别为多少个？
（2）根据预售情况，该店计划增加甲种亚运会纪念品的购进量，减少乙种亚运会纪念品的购进量．已知甲种亚运会纪念品增加的数量是乙种亚运会纪念品减少的数量的3倍，进货价不变．设毛利润为y，乙种亚运会纪念品减少的数量为x．
①求y关于x的关系式；
②若用于购进这两种亚运会纪念品的总资金不超过4000元，可使全部销售后获得的毛利润最大，求出最大毛利润．
【分析】（1）该店库存的甲种亚运会纪念品有x个，乙种亚运会纪念品有y个，根据题意列出x，y的二元一次方程组即可；
（2）先求出m的取值范围，然后再根据函数关系式，由函数的性质求函数最值．
【解答】解：（1）设该店库存的甲种亚运会纪念品有x个，乙种亚运会纪念品有y个，
由题意，得：，
解得，
答：该店库存的甲种亚运会纪念品有20个，乙种甲种亚运会纪念品有30个；
（2）①根据题意得40 （ 20+3m）+100 （ 30﹣m ）≤4000，
解得：m≤10，
∴y关于x的关系式为y＝（ 45﹣40）（ 20+3x）+（ 110﹣100）（ 30﹣x）＝5x+400（x≥0且x为整数），
②∵y＝5x+400，5＞0，
∴y随着x的增大而增大，
∴当x＝10时，y取得最大值，此时y＝450，20+3x＝50，30﹣10＝20，
答：购进这两种亚运会纪念品的总资金不超过4000元，可使全部销售后获得的毛利润最大，最大毛利润是450元．
【点评】本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，关键是根据毛利润等于两种亚运会纪念品的利润之和列出函数关系式，
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