高考数学压轴题讲义专题2.7欲证不等恒成立，目标调整依形式专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学压轴题讲义专题2.7欲证不等恒成立，目标调整依形式专题练习(原卷版+解析)，共31页。
利用导数解决不等式恒成立问题的策略：
准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
【典例指引】
例1．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，
求实数的取值范围；
（Ⅲ）当且时，试比较的大小．
例2．已知函数.若函数满足下列条件：
①；②对一切实数，不等式恒成立.
(Ⅰ)求函数的表达式；
(Ⅱ)若对，恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅲ)求证：.
例3．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点
（I）求的取值范围；
（II）求证：
例4．已知函数的图象在处的切线过点， .
（1）若，求函数的极值点；
（2）设是函数的两个极值点，若，证明： .（提示）
[来源:学*科*【新题展示】
1．【2019山西晋中1月适应性考试】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：.
2．【2019陕西西安西北工业大学附属第一次适应性训练】已知函数，曲线在点处的切线方程为．
求a，b的值；
2若当时，关于x的不等式恒成立，求k的取值范围．
3．【2019湖北黄冈上学期元月调研】设函数．
求的单调区间；
当时，若对任意的，都有，求实数的取值范围；
证明不等式.
4．【2019福建三明期末质量检测】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：.
网Z*X*X*K]
【同步训练】
1．已知函数与.
（1）若曲线与曲线恰好相切于点，求实数的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：. .
2．函数f（x）=
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，求证：f（x）≥.
3．已知函数其中实数为常数且.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围及所有极值之和；
（III）在（II）的条件下，记分别为函数的极大值点和极小值点，求证：
.
4．设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；[来源:学.科.网]
（3）在（2）的条件下，求证.
（参考知识：若，则有）
5．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当，且时，证明：.
6．已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求证：．
7．已知函数．
（Ⅰ）若函数有零点，其实数的取值范围．
（Ⅱ）证明：当时，．
8．已知函数.
（1）若在区间有最大值，求整数的所有可能取值；
（2）求证：当时，.
9．已知函数.
（1）设，若，求的单调区间；[来源:学+科+网Z+X+X+K]
（2）设，比较与的大小.
10．函数
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，且，求证：
11．已知函数.
（Ⅰ）判断函数的单调性；
（Ⅱ）求证： .
12．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；
(3)设为正实数，且，求证：．
【题型综述】
利用导数解决不等式恒成立问题的策略：
准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
【典例指引】
例1．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，
求实数的取值范围；
（Ⅲ）当且时，试比较的大小．
令，则只要证明在上单调递增，
又∵，
显然函数在上单调递增．
∴，即，
∴在上单调递增，即，
∴当时，有．
例2．已知函数.若函数满足下列条件：
①；②对一切实数，不等式恒成立.
(Ⅰ)求函数的表达式；
(Ⅱ)若对，恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅲ)求证：.
(Ⅲ)证明：因为，所以
要证不等式成立，
即证.
因为，
所以.
所以成立
例3．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点
（I）求的取值范围；
（II）求证：
【答案】(1) ;(2)详见解析.
【思路引导】
(1) 函数，在定义域内有两个不同的极值点， 令即对求导，按照和分类判断单调性及极限，求出函数的极值，确定a的范围;(2)证明， 即证，， ，构造函数求导判断单调性求出函数的最值，即可证明不等式成立.
（II）由题意及（I）可知，即证



例4．已知函数的图象在处的切线过点， .
（1）若，求函数的极值点；
（2）设是函数的两个极值点，若，证明： .（提示）
【思路引导】
（1）求导，则.又，曲线在处的切线过点利用斜率相等，可得，又，可得，则，可得函数的极值点
（2）由题是方程的两个根，则， ，由，可得， ，∴是函数的极大值， 是函数的极小值，∴要证，只需，计算整理可得 ，令，则，设，利用导数讨论函数的性质即可得证

【新题展示】
1．【2019山西晋中1月适应性考试】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：.
【思路引导】
（1）由题意，求得函数的导数， 分类讨论，即可求解函数的单调区间；
（2）由（1）知，当时，的最大值为，从而要证等价于，即，设，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得证.
【解析】
（1）由题意，得，
若，恒成立，在上是增函数；
若，当时，，是增函数； [来源:学§科§网Z§X§X§K]
当时，，是减函数；
综上，时，在上是增函数；
时，在上是增函数，在上是减函数.
2．【2019陕西西安西北工业大学附属第一次适应性训练】已知函数，曲线在点处的切线方程为．
求a，b的值；
2若当时，关于x的不等式恒成立，求k的取值范围．
【思路引导】
（1）求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得切点，由，的方程，可得，的值；
（2）由题意可得恒成立，即有对恒成立，求导并根据函数单调性情况进行分类讨论，最终获得k取值范围.
【解析】
函数，
导数为，
曲线在点处的切线方程为，
可得，，则，
即有，；
2当时，关于x的不等式恒成立，
可得恒成立，
即有对恒成立，
可设，
导数为，
设，，
，
当时，，在递增，可得，
则在递增，，与题设矛盾；
当，，可得，
3．【2019湖北黄冈上学期元月调研】设函数．
求的单调区间；
当时，若对任意的，都有，求实数的取值范围；
证明不等式.
【思路引导】
求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；问题等价于 对恒成立，令，根据函数的单调性求出的取值范围，从而可得结果； 由知对任意的恒成立，令得：，，累加即可证明结论．
【解析】
，即，
，，
原不等式等价于 对恒成立，令，
则对恒成立，
时，，
故所求a的范围为
由知不等式对任意的和恒成立，
则对任意的恒成立，令得：
，
，2，，n，再迭加即可，
得
4．【2019福建三明期末质量检测】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：.
【思路引导】
(1)对函数求导，分情况讨论导函数的正负，进而得到单调性；（2）对函数求导，结合极值点的概念得到，，，，构造函数，对函数求导，得到函数单调性即可得到结果.
【解析】
（2）函数的定义域为，，
∵函数有两个极值点，，且.
∴由（1）知，且，，则，
【同步训练】
1．已知函数与.
（1）若曲线与曲线恰好相切于点，求实数的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：. .
【思路引导】
（1）先求出导函数 由 ，解方程可得；
（2）由 在恒成立的必要条件为得，再利用导数研究函数的单调性及最值，从而证明时，对任意 ，总有；（3）由（2）知：时，令，化简可得，再令 ，多个不等式求和，利用对数的运算法则即可的结论.
试题解析：（1）先求出导函数 由 ，解方程可得.
（2）令，则 ，在恒成立的必要条件为.即，又当时，
，，令，则，即，在递减，即，在恒成立的充分条件为.综上，可得：
（3）设为的前n项和，则，要证原不等式，只需证：，由（2）知：时即：（当且仅当时取等号）.令，则
，即：，即， 令 ，多个不等式求和，从而原不等式得证
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
2．函数f（x）=
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，求证：f（x）≥.
【思路引导】
（Ⅰ）求导整理可得，通过讨论a的取值可得函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a＞0时，故可将问题转化为证≥ 成立即可，构造函数，利用导数可以得到，从而证得原不等式成立。

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减； 在上单调递增，
则．
要证≥，即证≥，
即证≥0．
令，则，
由解得，由解得，
∴在上单调递减； 在上单调递增；
∴，
∴ ≥0成立．
从而≥成立．
3．已知函数其中实数为常数且.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围及所有极值之和；
（III）在（II）的条件下，记分别为函数的极大值点和极小值点，求证：.
【思路引导】
（1）利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间；（2）由（1）可知当时函数有极值，此时 ，再根据根与系数的关系求解；（3）将问题转化为证明当时， 成立的问题，变形得即证，构造函数，利用函数的单调性证明即可。
由或
由
综上所述，
当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为， ，单调递减区间
（III）由（II）知，当，
，.
故原不等式等价于证明当时， ，
即证.
设函数，则
当时， .
函数在区间单调递减，
由知，
∴
.即.
从而原不等式得证.
点睛：本题的解题过程需要注意以下两点：
（1）分类讨论思想方法的运用，对于题目中出现的参数，要根据题意分为不同的情况去处理，在分类中要做到补充不漏；
（2）对于型的不等式的证明，可通过构造函数，利用函数的单调性和最值去处理，解题时要注意定义域和区间端点函数值的运用。
4．设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证.
（参考知识：若，则有）
【思路引导】
（1）当时，求出，由 可得增区间，由可得减区间；（2）求出函数的导数，由，得到函数的单调区间，根据函数的单调性可得，从而确定的范围；（3）由题意得得，根据不等式的性质，利用分析法可以证明.
（3）由题意得得，
欲证即证即证，
即.
∴，得证.
5．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当，且时，证明：.
【答案】(1) 单调递减区间为，单调递增区间为；(2)见解析.
【思路引导】
（1）令，得增区间，，得减区间；（2），需证，变量集中.
6．已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求证：．
【思路引导】
（1）求出，解不等式即可得的单调增区间；（2）等价于，利用导数研究函数的单调性，证明，从而可得结果.

7．已知函数．
（Ⅰ）若函数有零点，其实数的取值范围．
（Ⅱ）证明：当时，．
【思路引导】
（1）求出函数的导数，讨论两种情况，分别研究函数的单调性，求其最值，结合函数的图象和零点定理即可求出的取值范围；（2）问题转化为，令，令，利用导数研究函数的单调性，分类讨论求出函数的最值，即可证明.
试题解析：（1）函数的定义域为.由，得.
①当时， 恒成立，函数在上单调递增，又
，所以函数在定义域上有个零点.
②当时，则时， 时， .所以函数在上单调递减，在上单调递增.当.当，即时，又
8．已知函数.
（1）若在区间有最大值，求整数的所有可能取值；
（2）求证：当时，.
【思路引导】
（1）在区间有最大值，即是在区间有极大值，求出，求出极大值点 ，令 ，从而可得结果；（2）等价于，只需证明即可.
试题解析：（1）f′(x)＝（x2＋x－2）ex，
当x