2022高考数学一轮复习专题42 圆锥曲线中的向量问题（解析卷）

这是一份2022高考数学一轮复习专题42 圆锥曲线中的向量问题（解析卷），共18页。试卷主要包含了题型选讲，求向量数量积的范围，与向量有关的其它应用等内容，欢迎下载使用。

专题42 圆锥曲线中的向量问题
一、题型选讲
题型一 、有向量关系求圆锥曲线的离心率
例1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
由题意可设，，线段中点为，且，
可得为的重心，设，，
由重心坐标公式可得，，，
即有的中点，可得，，
由题意可得点在椭圆内，可得，
由，可得，即有.
故答案为：.
例2、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为______.
【答案】
【解析】因为直线过点，且斜率为
所以直线的方程为：
与双曲线联立消去，得

设
所以
因为，可得
代入上式得
消去并化简整理得：
将代入化简得：
解之得
因此，该双曲线的离心率
故答案为：
例3、（2019届全国100所名校最新高考模拟示范卷）椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为Fc,0，直线x−22y=0与C相交于A、B两点.若AF⋅BF=0，则椭圆C的离心率为______.
【答案】32
【解析】设A22y0,y0，∵AF⋅BF=0，即AF⊥BF，∴OF=OA，则8y02+y02=c2，即9y02=c2①，又8y02a2+y02b2=1，∴y02=a2b28b2+a2②，
由①②得8c4−18a2c2+9a4=0，即8e4−18e2+9=0，e2=34或e2=32（舍去），解得e=32.
故答案为：32.
题型二、求向量数量积的范围
例4、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

（1）求的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．
【解析】（1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则.
所以的周长为.
（2）椭圆的右准线为.
设，
则，

在时取等号.
所以的最小值为.

（3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，
则.
所以直线
设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.
由此得，
则或.
由得，此方程无解；
由得，所以或.
代入直线，对应分别得或.
因此点的坐标为或.
例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.
(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2) ①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；
②求·的取值范围．


【解析】(1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，
当直线PM过椭圆的右焦点F时，
则直线PM的方程为＋＝1，即y＝x－1，
联立解得或(舍)，即M.(2分)
连结BF，则直线BF：＋＝1，即x＋y－＝0，
而BF＝a＝2，点M到直线BF的距离为d＝＝＝.
故S△MBF＝·BF·d＝×2×＝.(4分)
(2) 解法1(点P为主动点) ①设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝＝－，
则直线PM的方程为y＝－x－1，
联立化简得x2＋x＝0，
解得M，(6分)
所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，(8分)
所以k1·k2＝－·m＝－为定值．(10分)
②由①知，＝(－m，3)，＝(－－m，＋2)＝，
所以·＝(－m，3)·＝，(12分)
令m2＋4＝t>4，故·＝＝＝t－＋7，(14分)
因为y＝t－＋7在t∈(4，＋∞)上单调递增，
所以·＝t－＋7>4－＋7＝9，即·的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
解法2(点M为主动点) ①设点M(x0，y0)(x0≠0)，则直线PM的方程为y＝x－1，
令y＝－2，得P.(6分)
所以k1＝，k2＝＝，(8分)
所以k1·k2＝·＝＝＝－(定值)．(10分)
②由①知，＝，
＝，(12分)
所以·＝＋3(y0＋2)＝＋3(y0＋2)＝＋3(y0＋2)＝.(14分)
令t＝y0＋1∈(0，2)，
则·＝＝－t＋＋7，
因为y＝－t＋＋7在t∈(0，2)上单调递减，
所以·＝－t＋＋7>－2＋＋7＝9，即·的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
例6、(2019苏州暑假测试）如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1) 求椭圆C1的离心率；
(2) 若椭圆C1的短轴长为 8，求·的最大值．

【解析】 (1) 由题意得F(c,0)，A(0，b)，则kAF＝－.(2分)
因为在y轴上截距为3－的直线l与AF平行，
所以直线l：y＝－x＋3－，即bx＋cy＋(－3)c＝0.(4分)
因为圆C2的圆心C2(0,3)，半径r＝1，直线l与圆C2相切，所以＝1，即＝1，所以e＝.(6分)
(2) 因为椭圆C1 的短轴长为 8，所以2b＝8，即b＝4.
因为a2＝b2＋c2，＝1，所以a＝c,2c2＝b2＋c2.(8分)
所以c＝b＝4，a＝4，所以椭圆方程是＋＝1.(10分)
设P(x，y)，则
·＝(＋)·(＋)
＝()2＋·(＋)＋·
＝()2＋·
＝x2＋(y－3)2－1
＝32＋(y－3)2－1
＝－y2－6y＋40＝－(y＋3)2＋49，
又y∈[－4,4]，所以当y＝－3时，·的最大值是49.(16分)

题型二、由向量关系求参数的范围
例7、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C.
(1) 若点C的横坐标为－1，求点P的坐标；
(2) 若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且＝λ，求λ的取值范围．

【解析】 由题意得解得所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆M的方程是＋＝1且A(－2，0)，B(2，0)(3分)
解法1(点参数法) (1)设P(x0，y0)，kPA＝，因为l1⊥PA，所以直线AC的方程为y＝－(x＋2)．
同理直线BC的方程为y＝－(x－2)．
联立方程组解得.
又因为点P(x0，y0)在椭圆上，故＋＝1，所以＝＝－y0，
所以点C的坐标为.(6分)
因为点C的横坐标为－1，所以x0＝1.又因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以y0＝，
所以点P的坐标为.(8分)
(2)解法1 设Q(xQ，yQ)，因为＝λ，所以解得
因为点Q在椭圆M上，所以＋＝1.
又y＝3，整理得7x－36(λ－1)x0＋72λ－100＝0，解得x0＝2或x0＝.(14分)
因为P为椭圆M上第一象限内一点 所以0