新高考数学专题复习专题31运用构造法研究函数的性质专题练习(学生版+解析)

这是一份新高考数学专题复习专题31运用构造法研究函数的性质专题练习(学生版+解析)，共13页。试卷主要包含了题型选讲，构造函数研究函数的零点等问题，构造函数证明不等式等内容，欢迎下载使用。
题型一 、构造函数研究函数的单调性
例1、【2020年高考全国I卷理数】若，则
A．B．
C．D．
变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
题型二、构造函数研究函数的零点等问题
例2、【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
变式1、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（ ）
A．2B．C．0D．1
变式2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞）
C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
题型三、构造函数证明不等式
例3、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝eq \f(a,x)＋lnx(a∈R)．
设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.
例5、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)． 若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k.
二、达标训练
1、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y0B．ln(y−x+1)0D．ln|x−y|2lna＋2.
【解析】 设p＝x1f′(x1)＋x2f′(x2)＝1－eq \f(a,x1)＋1－eq \f(a,x2)＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x1)＋\f(a,x2))).
又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lnx1＋\f(a,x1)＝0，
lnx2＋\f(a,x2)＝0，))则p＝2＋ln(x1x2)．
下面证明x1x2>a2.
不妨设x1f(x2)．(14分)
设函数F(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x)))－f(x)＝eq \f(x,a)－eq \f(a,x)－2lnx＋2lna(x>a)．
所以F′(x)＝eq \f(（x－a）2,ax2)>0，所以F(x)在(a，＋∞)为增函数．
所以F(x2)>F(a)＝0，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x2)))>f(x2)成立．
从而x1x2>a2成立．
所以p＝2＋ln(x1x2)>2lna＋2，即x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2成立．(16分)
例5、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)． 若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k.
【解析】 因为f′(x)＝lnx－k，所以f(x)在(0，ek]上单调递减，在[ek，＋∞)上单调递增．
不妨设0＜x1＜ek＜x2.要证x1x2＜e2k，只要证x2＜eq \f(e2k,x1).
因为f(x)在[ek，＋∞)上单调递增，所以只要证f(x1)＝f(x2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2k,x1)))，即要证(lnx1－k－1)x1＜(k－lnx1－1)eq \f(e2k,x1)
令t＝2(k－lnx1)＞0，只要证(t－2)et＋t＋2＞0.
设H(t)＝(t－2)et＋t＋2，则只要证H(t)＞0对t＞0恒成立．H′(t)＝(t－1)et＋1，H″(t)＝tet＞0对t＞0恒成立．
所以H′(t)在(0，＋∞)上单调递增，H′(t)＞H′(0)＝0.
所以H(t)在(0，＋∞)上单调递增，H(t)＞H(0)＝0.
综上所述，x1x2＜e2k.
二、达标训练
1、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y0B．ln(y−x+1)0D．ln|x−y|