广东省湛江雷州市2024-2025学年数学九年级第一学期开学达标测试试题【含答案】

这是一份广东省湛江雷州市2024-2025学年数学九年级第一学期开学达标测试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，为的平分线，于，，，则点到射线的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2、（4分）如图，在中，点、分别是、的中点，如果，那么的长为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
3、（4分）分式方程有增根，则的值为
A．0和3B．1C．1和D．3
4、（4分）如图，已知一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，且为的中点，则一次函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）运用分式基本性质，等式中缺少的分子为（ ）
A．aB．2aC．3aD．4a
7、（4分）化简的结果是（ ）
A．2B．C．4D．16
8、（4分）已知点（，）在第二象限，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）使分式有意义的x范围是_____．
10、（4分）一个三角形的三边分别是、1、，这个三角形的面积是_____．
11、（4分）若为三角形三边，化简___________．
12、（4分）函数y=2x－3的图象向下平移3个单位，所得新图象的函数表达式是___________．
13、（4分）如图，在中，，，是角平分线，是中线，过点作于点，交于点，连接，则线段的长为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算
（1）分解因式：；
（2）解不等式组．
15、（8分）先化简，再求值：当a=7时，求a+的值．
16、（8分）某市联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元,通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A套餐每月话费为y1(元),B套餐每月话费为y2(元),月通话时间为x分钟.
(1)分别表示出y1与x,y2与x的函数关系式.
(2)月通话时间为多长时,A,B两种套餐收费一样?
(3)什么情况下A套餐更省钱?
17、（10分）为了解学生参加户外活动的情况，和谐中学对学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：
（1）求被抽样调查的学生有多少人？并补全条形统计图；
（2）每天户外活动时间的中位数是 小时？
（3）该校共有1850名学生，请估计该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人？
18、（10分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AB＝5，OA＝4，则菱形ABCD的面积_____．
20、（4分）若则关于x的方程的解是___________.
21、（4分）如图，矩形ABCD中，点 E、F 分别在AB、CD上，EF∥BC，EF交BD于点G.若EG＝5，DF＝2，则图中两块阴影部分的面积之和为______．
22、（4分）如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为______．
23、（4分）如图，已知在矩形中，，，沿着过矩形顶点的一条直线将折叠，使点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为__．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图．已知A、B两点的坐标分别为A(0，)，B(2，0)．直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D(1，a)．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式．
（2）求∠ACO的度数．
25、（10分）为贯彻党的“绿水青山就是金山银山”的理念，我市计划购买甲、乙两种树苗共7000株用于城市绿化，甲种树苗每株24元，一种树苗每株30元相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为、．
若购买这两种树苗共用去180000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
若要使这批树苗的总成活率不低于，则甲种树苗至多购买多少株？
在的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．
26、（12分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得CF=CM，进而可得答案．
【详解】
解：如图，过C作CF⊥AO于F

∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF，
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3，
故选：B．
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2、C
【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【详解】
解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×3=1．
故选C．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记定理是解题的关键．
3、D
【解析】
等式两边同乘以最简公分母后，化简为一元一次方程，因为有增根可能为x1=1或x1=﹣1分别打入一元一次方程后求出m，再验证m取该值时是否有根即可.
【详解】
∵分式方程-1=有增根，
∴x﹣1=0，x+1=0，
∴x1=1，x1=﹣1．
两边同时乘以（x﹣1）（x+1），原方程可化为x（x+1）﹣（x﹣1）（x+1）=m，
整理得，m=x+1，
当x=1时，m=1+1=2；
当x=﹣1时，m=﹣1+1=0，
当m=0，方程无解，
∴m=2．
故选D．
4、B
【解析】
先确定B点坐标，根据A为BC的中点，则点C和点B关于点A中心对称，所以C点的纵坐标为4，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可确定C点坐标，然后把C点坐标代入y=kx-4即可得到k的值，即可得到结论．
【详解】
把x=0代入y=kx−4得y=−4,则B点坐标为(0,−4)，
∵A为BC的中点，
∴C点的纵坐标为4，
把y=4代入y=得x=2，
∴C点坐标为(2,4)，
把C(2,4)代入y=kx−4得2k−4=4，解得k=4，
∴一次函数的表达式为y=4x−4，
故选：B.
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于求出k值
5、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；
【详解】
解：式子在实数范围内有意义，
即： ，
解得：，
故选：D；
本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键.
6、D
【解析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：，
故选择：D.
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
7、A
【解析】
根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】
∵11＝4，
∴4的算术平方根是1，即＝1．
故选：A．
本题考查算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x1＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
8、B
【解析】
根据象限的定义以及性质求出的取值范围即可．
【详解】
∵点（，）在第二象限
∴
解得
故答案为：B．
本题考查了象限的问题，掌握象限的定义以及性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
满足分式有意义的条件：分母不等于零，据此列不等式求出答案.
【详解】
∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：.
此题考查分式有意义的条件：使分式的分母不等于零，熟记使分式有意义的条件是正确解答此题的关键.
10、
【解析】
首先根据勾股定理逆定理可判定此三角形是直角三角形，然后再计算面积即可．
【详解】
解：∵()2+12＝3＝()2，
∴这个三角形是直角三角形，
∴面积为：×1×＝，
故答案为：．
考查了二次根式的应用以及勾股定理逆定理，关键是正确判断出三角形的形状．
11、4
【解析】
根据三角形的三边关系得到m的取值范围，根据取值范围化简二次根式即可得到答案.
【详解】
∵2，m，4是三角形三边，
∴2∴m-2>0，m-6<0，
∴原式==m-2-（m-6）=4，
故答案为：4.
此题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，化简二次根式，根据三角形的三边关系确定绝对值里的数的正负是解题的关键.
12、y=2x-6
【解析】
根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：函数y=2x－3的图像向下平移3个单位，所得新图像的函数表达式是y=2x-6.
故答案为y=2x-6.
本题主要考查一次函数图象的平移，解此题的关键在于熟记“左加右减，上加下减”.
13、1
【解析】
首先根据全等三角形判定的方法，判断出△AFG≌△AFC，即可判断出FG=FC，AG=AC，所以点F是CG的中点；然后根据点E是BC的中点，可得EF是△CBG的中位线，再根据三角形中位线定理，求出线段EF的长为多少即可．
【详解】
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAG=∠FAC，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
在△AFG和△AFC中，
，
∴△AFG≌△AFC，
∴FG=FC，AG=AC=4，
∴F是CG的中点，
又∵点E是BC的中点，
∴EF是△CBG的中位线，
∴.
故答案为：1.
本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）y（x−y）1；（1）−3≤x＜1．
【解析】
（1）直接提取公因式y，再利用公式法分解因式得出答案；
（1）分别解不等式进而得出不等式组的解集．
【详解】
解：（1）x1y−1xy1＋y3
＝y（x1−1xy＋y1）
＝y（x−y）1；
（1），
解①得：x＜1，
解②得：x≥−3，
故不等式组的解集为：−3≤x＜1．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式、不等式组的解法，正确掌握解题方法是解题关键．
15、，13
【解析】
先根据二次根式的性质把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】
原式=
当a=7时，
原式=
本题考查的是二次根式的性质化简求值，熟知二次根式的性质是解答此题的关键．
16、 (1) y1=1.1x+15; y2=1.15x；(2)311；(3) 当月通话时间多于311分钟时,A套餐更省钱.
【解析】
试题分析：（1）根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式即可；（2）根据两种收费相同列出方程，求解即可；（3）根据（2）的计算结果，小于收费相同时的时间选择B套餐，大于收费相同的时间选择A．
试题解析：解：（1）A套餐的收费方式：y1=1．1x+15；
B套餐的收费方式：y2=1．15x；
（2）由1．1x+15=1．15x，得到x=311，
答：当月通话时间是311分钟时，A、B两种套餐收费一样；
（3）当月通话时间多于311分钟时，A套餐更省钱．
考点：一次函数的应用．
17、（1）被调查的学生有500人，补全的条形统计图详见解析；（2）1；（3）该校每天户外活动时间超过1小时的学生有740人．
【解析】
试题分析：（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得被调查学生总数和1.5小时的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据条形统计图可以得到这组数据的中位数；（3）根据条形统计图可以求得校共有1850名学生，该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人．
试题解析：解：（1）由条形统计图和扇形统计图可得，
0.5小时的有100人占被调查总人数的20%，
故被调查的人数有：100÷20%=500，
1小时的人数有：500﹣100﹣200﹣80=120，
即被调查的学生有500人，补全的条形统计图如下图所示，
（2）由（1）可知被调查学生500人，由条形统计图可得，中位数是1小时，
（3）由题意可得，
该校每天户外活动时间超过1小时的学生数为：=740人，
即该校每天户外活动时间超过1小时的学生有740人．
考点：中位数；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
18、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；
（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．
【详解】
（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴CD＝DF；
（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、3
【解析】
根据菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直可计算出该菱形的面积.
【详解】
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
在Rt△AOB中，利用勾股定理求得BO＝1．
∴BD＝6，AC＝2．
∴菱形ABCD面积为×AC×BD＝3．
故答案为3．
本题考查了菱形的性质的灵活运用，熟练运行菱形的性质来求其面积是解决此题的关键.
20、或
【解析】
由，即可得到方程的解．
【详解】
解：
令时，有；
令时，有；
∴，
则关于x的方程的解是：或；
故答案为：或．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解进行解题．
21、1.
【解析】
由矩形的性质可得S△EBG=S△BGN，S△MDG=S△DFG，S△ABD=S△BDC，S△AEG=S四边形AEGM，S△FGC=S四边形GFCN，可得S四边形AEGM=S四边形GFCN，可得S△AEG=S△FGC=5，即可求解．
【详解】
解：如图，过点G作MN⊥AD于M，交BC于N，
∵EG=5，DF=2，
∴S△AEG=×5×2=5
∵AD∥BC，MN⊥AD
∴MN⊥BC，且∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，EF∥BC，
易证：四边形AMGE是矩形，四边形MDFG是矩形，四边形GFCN是矩形，四边形EGNB是矩形
∴S△EBG=S△BGN，S△MDG=S△DFG，S△ABD=S△BDC，S△AEG=S四边形AEGM，S△FGC=S四边形GFCN，
∴S四边形AEGM=S四边形GFCN，
∴S△AEG=S△FGC=5
∴两块阴影部分的面积之和为1．
故答案为：1．
本题考查矩形的性质，证明S△AEG=S△FGC=5是解题的关键．
22、1．
【解析】
解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2，∴BF=BG﹣BF=6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB===1．故答案为1．
点睛：此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．
23、或
【解析】
沿着过矩形顶点的一条直线将∠B折叠，可分为两种情况：（1）过点A的直线折叠，（2）过点C的直线折叠，分别画出图形，根据图形分别求出折痕的长．
【详解】
（1）如图1，沿将折叠，使点的对应点落在矩形的边上的点，
由折叠得：是正方形，此时：，
（2）如图2，沿，将折叠，使点的对应点落在矩形的边上的点，
由折叠得：，
在中，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，解得：，
在中，由勾股定理得：，
折痕长为：或．
考查矩形的性质、轴对称的性质、直角三角形及勾股定理等知识，分类讨论在本题中得以应用，画出相应的图形，依据图形矩形解答．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）y=x+ ，y=﹣；（2）∠ACO=30°；
【解析】
（1）根据A、B两点坐标求得一次函数解析式，再求得D点的具体坐标，从而求得反比例函数的解析式.
（2）联立函数解析式求得C点坐标，过C点作CH⊥x轴于H，证明为等腰三角形，根据特殊直角三角形求得的度数，从而求得的度数.
【详解】
解：(1)设直线AB的解析式为： ，
把A(0，)，B(2，0)分别代入，
得，，
解得 =，b=．
∴直线AB的解析式为：y=x+；
∵点D(1，a)在直线AB上，
∴a=+=，即D点坐标为(1，)，
又∵D点(1，)在反比例函数的图象上，
∴k=1×=﹣，
∴反比例函数的解析式为：y=﹣；
(2)由，解得或，
∴C点坐标为(3，﹣)，过C点作CH⊥x轴于H，如图，
∵OH=3，CH=，
∴OC=，而OA=，
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
又∵OB=2，
∴AB=，
在Rt△AOB中，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法.
25、甲、乙两种树苗各购买5000、2000株；甲种树苗至多购买2800株；最少费用为 元.
【解析】
列方程求解即可；
根据题意，甲乙两种树苗的存货量大于等于树苗总量的列出不等式；
用x表示购买树苗的总费用，根据一次函数增减性讨论最小值．
【详解】
设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗株，
由题意得：
解得，则
答：甲、乙两种树苗各购买5000、2000株；
根据题意得：
解得
则甲种树苗至多购买2800株
设购买树苗的费用为W，
根据题意得：
随x的增大而减小
当时，
本题为一次函数实际应用问题，综合考察一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的增减性．
26、（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【解析】
分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．
详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分