河南省信阳市潢川县第二中学2024-2025学年人教版九年级上学期 期中数学模拟卷

这是一份河南省信阳市潢川县第二中学2024-2025学年人教版九年级上学期 期中数学模拟卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根
2.如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
3.若方程没有实数根，则m的值可以是
A. B. 0 C. 1 D.
4.一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（ x﹣2）2＝5 B．（ x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3
5.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（2，1）C．（1，3）D．（2，3）
7.如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°
8.已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2，n)和(4，n)两点，则n的值为（ ）
A．-2B．-4C．2D．4
9．已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则α2+2024α+2β2+2024β+2的值为（ ）
A．-2021B．2021C．-2023D．2023
10.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.计算的结果是________．
12.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，，则的长为______ ．

13.若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________．
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B的运动路径为︵，则图中阴影部分的面积为____________．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．

解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（每小题4分，共12分）
（1）计算：
（2）化简：
（3）解方程：
17.（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)请画出△ABC绕原点旋转180°的△A2B2C2；并写出各点的坐标．
(2)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
18.（8分）定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程2x2-3x+1=0的“对称方程”是-2x2-3x-1=0，请根据上述内容，解决以下问题：
(1)直接写出方程x2-4x+3=0的“对称方程”；
(2)若关于x的方程3x2+m-1x-n=0与-3x2-x=-1互为“对称方程”，求m、n的值及3x2+m-1x-n=0的解．
19.（8分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

（1）求点P的坐标和a的值．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
20.（9分）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为_________时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为_________时，四边形ECOG为正方形．

21.（10分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表：

注：日销售利润=日销售量×（销售单价-成本单价）
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是_______元．当销售单价x=_______元时，日销售利润w最大，最大值是_________元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本．预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3 750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
22.（10分）如图，抛物线与直线相交于点和点B．
求m和b的值；
求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．
23.（10分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
备用图 备用图



九年级上学期期中考试模拟卷答案解析：
1.【答案】A
【解析】
【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解．
【详解】解：
一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
2.【答案】D
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理即可得．
【详解】解：∵，
∴由圆周角定理得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：关于x的方程没有实数根，
，
解得：，
只能为，
故选：D．
4.【答案】A
【解析】
解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【详解】解：由图象开口向下可知，
由对称轴，得．
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
6.【答案】D
．【解析】解：∵AD′=AD=2，
AO=12AB=1，
∴OD′=AD'2-OA2=3，
∵C′D′=2，C′D′∥AB，
∴C（2，3），
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】
【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．
【详解】解：连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
8.【解析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解；
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴＝1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键
9.【答案】A
【解析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，α⋅β=1，α+β=-2023，由一元二次方程根的定义可得α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，即可求解；
【详解】∵ α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，
∴α2+2023α+1=0，
β2+2023β+1=0，
α⋅β=1，α+β=-2023，
∴α2+2024α+2β2+2024β+2
=α2+2023α+1+α+1β2+2023β+1+β+1
=α+1β+1
=α⋅β+α+β+1
=1-2023+1
=-2021
故选A．
【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．
10.【答案】B
【解析】
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
11.【答案】3
【解析】
【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．
，，
的长．
故答案为：．
【点睛】如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心O的位置，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．
【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
14.【答案】π﹣
【解析】解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，
DB′==，
A′B′==2，
∴S阴=﹣1×2÷2﹣（2﹣）×÷2=π﹣．

【点睛】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】
【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，勾股定理求得即可．
【详解】如图，连接，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．
16.【解析】（1）解：原式=
=
=．
（2）解：原式=
=
=1．
（3）解：移项，得配方，得
∴∴
（注：此题还可用公式法，分解因式法求解，请参照给分）
17.【答案】(1)见解析，坐标为：A2(-1,-1)，B2(-4,-2)，C2(-3,-4)；
(2)(2,0)
【解析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，然后利用待定系数法求A'B的解析式，求出A'B与x轴的交点坐标可求点P的坐标．
【详解】（1）∵△ABC绕原点旋转180°得到△A2B2C2，即点A、B、C关于原点的对称点为A2、B2、C2，
又A1,1，B4,2，C3,4，
∴A2-1,-1，B2-4,-2，C2-3,-4，
如图：顺次链接A2、B2、C2，△A2B2C2即为所求；
（2）如图，作点A1,1关于x轴的对应点A'1,-1，连接A'B，点P即为A'B与x轴的交点，此时△PAB的周长=AB+AP+BP=AB+A'B最短，
设A'B的解析式为y=kx+b，过点A'与点B，把坐标代入解析式得：
-1=k+b2=4k+b，
解得k=1b=-2，
A'B的解析式为y=x-2，
当y=0时，x-2=0，
解得x=2．
此时点P坐标为2,0 ．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，待定系数法求直线解析式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
18.【答案】(1)-x2-4x-3=0
(2)m=0，n=1，x1=1+136，x2=1-136
【解析】（1）根据对称方程的定义可得答案；
（2）由题意得m-1=-1，-n+1=0，即可求得m=0，n=1，然后利用公式法解方程3x2-x-1=0即可．
【详解】（1）解：由题意得：方程x2-4x+3=0的“对称方程”是-x2-4x-3=0；
（2）由-3x2-x=-1，移项可得：-3x2-x+1=0，
∵关于x的方程3x2+m-1x-n=0与-3x2-x=-1互为“对称方程”，
∴m-1=-1，-n+1=0，
解得：m=0，n=1，
∴3x2+m-1x-n=0化为3x2-x-1=0，
∴x=-b±b2-4ac2a=1±(-1)2-4×3×(-1)2×3=1±1+126=1±136，
∴x1=1+136，x2=1-136．
【点睛】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．
19.【答案】（1），，
（2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【解析】
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【小问1详解】
解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
【小问2详解】
∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
20.【解析】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B=90°，
而∠2=∠3，
∴∠2+∠B=90°，
而OB=OC，
∴∠4=∠B，
∴∠1=∠2，
∴CE=FE；
（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OEG=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°．

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．

21.【解析】解；（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
，得，
即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600，
当x=115时，y=﹣5×115+600=25，
即m的值是25；
（2）设成本为a元/个，
当x=85时，875=175×（85﹣a），得a=80，
w=（﹣5x+600）（x﹣80）=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5（x﹣100）2+2000，
∴当x=100时，w取得最大值，此时w=2000，
故答案为：80，100，2000；
（3）设科技创新后成本为b元，
当x=90时，
（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，
解得，b≤65，
答：该产品的成本单价应不超过65元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答．

22.【解析】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
将点A的坐标代入直线表达式得：，解得；
故，；
由得，直线和抛物线的表达式为：，，
联立上述两个函数表达式并解得，
即点B的坐标为，
从图象看，不等式 的解集为或；
当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
的距离为3，而AB的距离为3，故此时只有一个交点，即；
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，当 时，抛物线和MN交于抛物线的顶点，即时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上， 或 ．
23.【解析】解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），
当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM=AB=×4=2，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，
∴PD=PQ=×2=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，
当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，
综上所述，P点的横坐标为4或或；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣），
设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，
把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，
∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣，
解方程组得，则M1（，﹣）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

设M2（x，x﹣5），
∵3=，
∴x=，
∴M2（，﹣），
综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
销售单价x（元）
85
95
105
115
日销售量y（个）
175
125
75
m
日销售利润（元）
875
1 875
1 875
875