陕西省西安市周至县第六中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

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这是一份陕西省西安市周至县第六中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单进题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单进题（每题6分，共40分）
1．向量，若，则（）
A． B． C． D．
2．己知空间向量，若与垂直，则等于（）
A． B． C． D．
3．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（）
A． B． C． D．
4．空间向量在上的投影向量为（）
A． B． C． D．
5．在四棱柱中，设，则（）
A． B． C． D．
6．己知向量，若，则实数（）
A． B． C． D．
7．如图所示的三棱锥中，令，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（）
A． B． C． D．
8．己知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（）
A．10 B．3 C． D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．己知点P是所在平面外一点，若，下列结论正确的有（）
A． B． C． D．
10．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．下列命题中，正确的是（）
A，两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线l的方向向量，平面的法向是，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，则
D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共16分）
12．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为________．
13．己知空间向量，若，则实数_______．
14．如图，已知正方体的棱长为1，E为棱CD的中点，则点到平面的距离为________．
四、解答题
15．（本题13分）己知空间三点，设．
（1）若与互相垂直，求实数k的值；
（2）若，求：．
16，（本题15分）已知向量．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
17．（本题15分）在正四棱柱中，，E为棱中点．
（1）证明平面；
（2）求二面角的正弦值．
18．（本题17分）如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，D，E分别为AB，的中点．
（I）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求直线AC与平面所成角的正弦值．
19．（本题17分）如图，在三枝柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，．
（1）求AB的长；
（2）若二面角的正切值为，求的值．
周至六中学2024-2025学年度第一学期第一次月考高二数学
参考答案
12． 13． 14．
15．（1）或（2）或
【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；
（2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案．
【详解】（1），
故，
，
因为互相垂直，所以，
解得或；
（2），
设，则且，
解得或，
故或；
16．（1）（2）（3）
【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解．
【详解】（1）；
（2），
则；
（3），则．
17．（1）证明见解析（2）
【分析】（1）利用正四棱柱的性质，得到侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，结合，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
【详解】（1）因为是正四棱柱，所以侧面，
而平面，所以
又平面，所以平面；
（2）如图建立空间直角坐标系，则，设，则，
所以，
因为，所以，解得或（舍去），
所以，
则，
设是平面BEC的法向量，
所以取，
设是平面的法向量，
所以取，
设二面角为，则,
所以二面角的正弦值为．
18．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【分析】（1）作出辅助线，得到，证明出线面平行；
（2）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而得到线面垂直，，结合（1）可得；
（3）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到线面角的正弦值．
【详解】（1）连接，
在中，因为D，E分别为AB，的中点，所以
又平面平面，以平面．
（2）因为直三棱柱中，为侧棱，
所以平面ABC，
因为平面ABC，
所以，
又为直角，
所以
又平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
由（1），所以．
（3）建立空间直角坐标系，
则，
因此．
设平面的法向量为，
，即
令，则，于是，
设直线AC与平面所成角为．
所以．
19．（1）（2）
【分析】（1）证明平面，则有，由，求得；
（2）以C为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角的余弦值，可求出的值．
【详解】（1）三棱柱中，平面ABC，则平面ABC，
平面ABC，所以．
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
而，故，故．
（2）由平面ABC，，
以C为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
故，因为，故．
易知是平面的法向量．
因为．
设是平面的法向量、所以
即，取，得，
所以，
因为二面角的正切值为，故余弦值为，
则，解得．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
A
C
C
A
A
C
AC
AD
BC