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西省运城市运康中学校 2024-—2025学年上学期第二次月考九年级数学测试卷
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这是一份西省运城市运康中学校 2024-—2025学年上学期第二次月考九年级数学测试卷，共14页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题30分）
一、选择题（共30分）
1．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
3．如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（ ）
A．B．C．D．1
4．若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．1B．
C．1或D．
5．如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．②B．③C．④D．⑤
6．某工厂2022年全年某产品的产量为234万吨，预计2024年全年该产品的产量为345万吨，设2022年至2024年该产品的年平均增长率为x，根据题意列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（ ）
A．12B．18C．6D．2
8．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表：
根据试验结果，若需要保证的发芽数为2500粒，则以下四个数与需试验的种子数最接近的粒数为（ ）
A．2500B．2700C．2800D．3000
9．如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点是的黄金分割点，，若，则长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，矩形中，已知，F为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③当时，则；④的最小值为10．其中正确的结论个数是（）
A．1B．2C．3D．4
第II卷（非选择题90分）
二、填空题（共15分）
11．已知，求 ．
12．对于实数a，b，定义运算“”：．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
13．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为
14．如图，中，P为上的点，请你添加一个条件： ，使和相似．
15．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点落在点处，折痕为CF．若矩形与原矩形相似，，则CD的长为 ．
三、解答题（共75分）
16．（本题8分）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且a、b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．
17．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，B-2,0，．
(1)以原点O为位似中心，画出的位似三角形，使它与的相似比为；
(2)与其位似三角形的面积比为______．
18．（本题8分）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动．
(1)若从中随机选取1本开展共读活动，抽到《西游记》的概率是____；
(2)若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是多少？（用树状图或列表的方法分析过程，并求出结果）
19．（本题8分）如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)求证：．
20．（本题9分）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．
(1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
21．（本题10分）阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）
∵
∴
∴代数式的最小值为；
（2）
∵
∴
∴代数式的最大值为7．
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式的最小值为______；
（2）已知；，请比较与的大小，并说明理由；
【拓展提高】
（3）薛城区某学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积．
22．（本题12分）【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？
23．（本题14分）（1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH；
（2）如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；
（3）如图3，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；
附加题：根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明，若不能，说明理由．
解：①
②
③
④
，⑤
试验种子数粒
5
50
100
200
500
1000
2000
3000
发芽频数m
4
45
92
188
476
951
1900
2850
发芽频率
0.80
0.90
0.92
0.94
0.952
0.951
0.95
0.95
参考答案：
11．
12．或3
13．
14．或或，（答案不唯一）
15．
16．（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根
理由：，
∵，
∴，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长，
∴，
∵该一元二次方程的两根为a，b，
∴有两个相等的实数根，
∴，解得，
∴这个一元二次方程为，
∴，
解得．
∴这个矩形对角线的长是4．
17．（1）解：如图，即为所求．
（2）解：∵与的相似比为，
∴与的面积比为．
故答案为：
18．(1)
(2)
19．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
20．（1）解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）．
答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．
（2）解：设此时每件T恤衫降价x元，
由题意得，，
整理得，
解得或．
又∵优惠最大，
∴．
∴此时售价为（元）．
答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元．
21．解：（1）由题意，，
又对于任意的都有，
．
代数式的最小值为．
故答案为：．
（2），理由如下：
，
又对于任意的都有，
．
．
（3）由题意，设，长方形的面积为，
．
当时，即时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为．
答：当长方形的长和宽均为时，长方形的面积最大为．
22．解：问题一：由反射特点可知，
又∵，
∴，
∴
∵，，
即：，
∴．
问题二：
由反射特点可知，，
∵
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，解得，
∴，
解得；
问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差；
（2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．
23．（1）如图1，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，
则FM=GN=AD=BC，且GN⊥FM，设它们的垂足为Q，设EF、GN交于R
∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM．
∵∠GNH=∠FME=90°，FM=GN，
∴△GNH≌△FME．
∴EF=GH．
（2）如图2，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°
∴∠ADC+∠MQN=180°．
∴∠MQN=∠A=∠GOF．
∵∠ORG=∠QRF，
∴∠HGN=∠EFM．
∵∠A=∠C，AB=BC，
∴FM=AB•sinA=BC•sinC=GN．
∵∠FEM=∠GNH=90°，
∴△GNH≌△FME．
∴EF=GH．
（3）如图3，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM．
∵∠GNH=∠FME=90°，
∴△GNH∽△FME．
∴．
∵GN=AD，FM=AB,AD=mAB，
∴.
附加题：
已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．
证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°，
∴∠MDN+∠MQN=180°．
∴∠MQN=∠A=∠GOF．
∵∠ORG=∠QRF，
∴∠HGN=∠EFM．
∵∠FME=∠GNH=90°，
∴△GNH∽△FME．
∴=m．
即GH=mEF．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
A
A
A
B
B
C
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题30分）
一、选择题（共30分）
1．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
3．如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（ ）
A．B．C．D．1
4．若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．1B．
C．1或D．
5．如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．②B．③C．④D．⑤
6．某工厂2022年全年某产品的产量为234万吨，预计2024年全年该产品的产量为345万吨，设2022年至2024年该产品的年平均增长率为x，根据题意列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（ ）
A．12B．18C．6D．2
8．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表：
根据试验结果，若需要保证的发芽数为2500粒，则以下四个数与需试验的种子数最接近的粒数为（ ）
A．2500B．2700C．2800D．3000
9．如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点是的黄金分割点，，若，则长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，矩形中，已知，F为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③当时，则；④的最小值为10．其中正确的结论个数是（）
A．1B．2C．3D．4
第II卷（非选择题90分）
二、填空题（共15分）
11．已知，求 ．
12．对于实数a，b，定义运算“”：．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
13．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为
14．如图，中，P为上的点，请你添加一个条件： ，使和相似．
15．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点落在点处，折痕为CF．若矩形与原矩形相似，，则CD的长为 ．
三、解答题（共75分）
16．（本题8分）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且a、b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．
17．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，B-2,0，．
(1)以原点O为位似中心，画出的位似三角形，使它与的相似比为；
(2)与其位似三角形的面积比为______．
18．（本题8分）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动．
(1)若从中随机选取1本开展共读活动，抽到《西游记》的概率是____；
(2)若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是多少？（用树状图或列表的方法分析过程，并求出结果）
19．（本题8分）如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)求证：．
20．（本题9分）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．
(1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
21．（本题10分）阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）
∵
∴
∴代数式的最小值为；
（2）
∵
∴
∴代数式的最大值为7．
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式的最小值为______；
（2）已知；，请比较与的大小，并说明理由；
【拓展提高】
（3）薛城区某学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积．
22．（本题12分）【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？
23．（本题14分）（1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH；
（2）如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；
（3）如图3，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；
附加题：根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明，若不能，说明理由．
解：①
②
③
④
，⑤
试验种子数粒
5
50
100
200
500
1000
2000
3000
发芽频数m
4
45
92
188
476
951
1900
2850
发芽频率
0.80
0.90
0.92
0.94
0.952
0.951
0.95
0.95
参考答案：
11．
12．或3
13．
14．或或，（答案不唯一）
15．
16．（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根
理由：，
∵，
∴，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长，
∴，
∵该一元二次方程的两根为a，b，
∴有两个相等的实数根，
∴，解得，
∴这个一元二次方程为，
∴，
解得．
∴这个矩形对角线的长是4．
17．（1）解：如图，即为所求．
（2）解：∵与的相似比为，
∴与的面积比为．
故答案为：
18．(1)
(2)
19．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
20．（1）解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）．
答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．
（2）解：设此时每件T恤衫降价x元，
由题意得，，
整理得，
解得或．
又∵优惠最大，
∴．
∴此时售价为（元）．
答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元．
21．解：（1）由题意，，
又对于任意的都有，
．
代数式的最小值为．
故答案为：．
（2），理由如下：
，
又对于任意的都有，
．
．
（3）由题意，设，长方形的面积为，
．
当时，即时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为．
答：当长方形的长和宽均为时，长方形的面积最大为．
22．解：问题一：由反射特点可知，
又∵，
∴，
∴
∵，，
即：，
∴．
问题二：
由反射特点可知，，
∵
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，解得，
∴，
解得；
问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差；
（2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．
23．（1）如图1，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，
则FM=GN=AD=BC，且GN⊥FM，设它们的垂足为Q，设EF、GN交于R
∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM．
∵∠GNH=∠FME=90°，FM=GN，
∴△GNH≌△FME．
∴EF=GH．
（2）如图2，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°
∴∠ADC+∠MQN=180°．
∴∠MQN=∠A=∠GOF．
∵∠ORG=∠QRF，
∴∠HGN=∠EFM．
∵∠A=∠C，AB=BC，
∴FM=AB•sinA=BC•sinC=GN．
∵∠FEM=∠GNH=90°，
∴△GNH≌△FME．
∴EF=GH．
（3）如图3，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM．
∵∠GNH=∠FME=90°，
∴△GNH∽△FME．
∴．
∵GN=AD，FM=AB,AD=mAB，
∴.
附加题：
已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．
证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°，
∴∠MDN+∠MQN=180°．
∴∠MQN=∠A=∠GOF．
∵∠ORG=∠QRF，
∴∠HGN=∠EFM．
∵∠FME=∠GNH=90°，
∴△GNH∽△FME．
∴=m．
即GH=mEF．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
A
A
A
B
B
C
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