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山西省2023-2024学年朔州市部分学校九年级（上）第二次月考数学试卷 （含解析）
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这是一份山西省2023-2024学年朔州市部分学校九年级（上）第二次月考数学试卷 （含解析），共24页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分.共30分，在每小题给出的四个选项中，
1．下列四个车标图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的异号实数根
C．有两个不相等的同号实数根
D．没有实数根
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，5），且顶点坐标为（2，1），关于该抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．表达式为y＝x2+4x+5
B．图象开口向下
C．图象与x轴有两个交点
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
4．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5
B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5
D．游戏公平
5．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A．＝28B．x（x﹣1）＝28
C．＝28D．x（x﹣3）＝28
6．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝30°，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．25°C．40°D．50°
7．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ）
A．B．3C．2D．3
8．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（ ）
A．2026B．2024C．2022D．2020
9．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，△APQ的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：
①abc＞0，
②当﹣3＜x＜1时，y＞0，
③4a+2b+c＞0，
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．
正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．写出一个一元二次方程，它的根为﹣1和3，这个方程可以是： ．
12．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 ．
13．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°，则图中阴影部分的面积 ．
14．小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是 ．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（16分）解方程
（1）（x+2）2﹣25＝0
（2）x2+4x﹣5＝0
（3）x2﹣5x+6＝0
（4）2x2﹣7x+3＝0．
17．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；
（2）在图2中．
①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；
②请直接写出：点B到AC的距离为 ．
18．“学习强国”平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分．
（1）若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？
（2）若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率．
19．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．
（1）求矩形花坛的宽是多少米；
（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．
20．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求这个二次函数的图象的顶点C的坐标，并指出当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；
（2）求这个二次函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．
21．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边cm，腰AB＝10cm，求弧BC的长．
22．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的部分证明过程：
证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．
如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当△CMN为等腰直角三角形时，点N的坐标为 ．
参考答案
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分.共30分，在每小题给出的四个选项中，
1．下列四个车标图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
该题答案：D．
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的异号实数根
C．有两个不相等的同号实数根
D．没有实数根
解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
设x2﹣2x﹣1＝0的两根为α，β，则αβ＝﹣1，
∴α与β异号，
该题答案：B．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，5），且顶点坐标为（2，1），关于该抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．表达式为y＝x2+4x+5
B．图象开口向下
C．图象与x轴有两个交点
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
解：∵抛物线顶点坐标为（2，1），
∴y＝a（x﹣2）2+1，
将（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1得5＝4a+1，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5，
∴x＜2时，y随x增大而减小，
该题答案：D．
4．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5
B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5
D．游戏公平
解：由题意，列表如下：
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜的有3种结果，乙获胜的有3种结果，
所以甲获胜的概率＝乙获胜的概率＝＝，
该题答案：C．
5．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A．＝28B．x（x﹣1）＝28
C．＝28D．x（x﹣3）＝28
解：设一共邀请了x支球队参加比赛，由题意得，
＝28．
该题答案：C．
6．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝30°，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．25°C．40°D．50°
解：如图，连接OA．
∵AC是切线，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOC＝∠B+∠OAB＝60°，
∴∠B＝∠OAB＝30°．
该题答案：A．
7．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ）
A．B．3C．2D．3
解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OA、OD，
∵AC＝4，BC＝2，
∴AB＝6，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝3，
∴CE＝3﹣2＝1，
设OE＝x，
在Rt△OAE中，OA2＝x2+9，
在Rt△OCE中，OC2＝x2+1，
∵CD⊥OC，
∴CD2＝OD2﹣OC2＝x2+9﹣（x2+1）＝8，
∴CD＝（舍负）．
故选C．
8．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（ ）
A．2026B．2024C．2022D．2020
解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2+a＝3，a+b＝﹣1，
∴b＝﹣a﹣1，
∴a2﹣b+2022
＝a2﹣（﹣a﹣1）+2022
＝a2+a+1+2022
＝3+1+2022
＝2026．
该题答案：A．
9．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，△APQ的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；
②当2＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）
＝﹣x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
该题答案：A．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：
①abc＞0，
②当﹣3＜x＜1时，y＞0，
③4a+2b+c＞0，
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．
正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①由于二次函数y＝ax2+bx+c有最大值，
∴a＜0，开口向下，
∵对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴b＜0，
∵图象经过点（1，0），
∴c＞0，
∴abc＞0，故说法正确；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∵a＜0，开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0，故说法正确；
③当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，故说法错误；
④∵点（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝2，故说法错误．
该题答案：B．
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．写出一个一元二次方程，它的根为﹣1和3，这个方程可以是： ．
解：设方程x2﹣mx+n＝0的两根为﹣1和3，
∴﹣1+3＝m，
﹣1×3＝n，
∴m＝2，n＝﹣3，
∴该方程为x2﹣2x﹣3＝0，
答案：x2﹣2x﹣3＝0．
12．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 ．
解：如图，作出B的对称点B′，连接AB′交y轴于P，
则P就是使△PAB的周长最小时．
∵B、B′关于y轴对称，
∴PB＝PB′，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，
∴此时△PAB的周长最小，
∵B（3，9），
∴B′（﹣3，9），
∵A（1，1），
设直线AB′的直线方程为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣2x+3，
∴P点的坐标为（0，3）．
∴S△PAB＝S△B′BA﹣S△B′BP＝×6×（9﹣1）﹣＝6，
答案：6．
13．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°，则图中阴影部分的面积 ．
解：连接OC，交BD于点E，如图所示，
∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠OBD＝30°，
∴∠OEB＝∠CED＝90°，
∴BE＝DE，
在△OBE和△CDE中，
，
∴△OBE≌△CDE（ASA），
∴，
答案：6π．
14．小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ．
解：∵小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学2页，
∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ＝．
故答案为．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是 ．
解：如图，连接BC，与对称轴交点则为点P，连接AP、AC．
由线段垂直平分线性质，得AP＝BP，
∴CB＝BP+CP＝AP+CP，
∴AC+AP+CP＝AC+BC，
根据“两点之间，线段最短”，得△APC周长的最小，
抛物线y＝﹣x2+x+3中，令y＝0，解得x＝4或x＝﹣2；令x＝0，解得y＝3，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），
∴OA＝2，OB＝4，OC＝3，
在Rt△AOC中，有AC＝＝＝，
在Rt△BOC中，有BC＝＝＝5，
∴△APC的周长的最小值为：+5，
故答案为+5．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（16分）解方程
（1）（x+2）2﹣25＝0
（2）x2+4x﹣5＝0
（3）x2﹣5x+6＝0
（4）2x2﹣7x+3＝0．
解：（1）（x+2）2＝25，
x+2＝±5，
所以x1＝﹣7，x2＝3；
（2）解：（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1；
（3）解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝2，x2＝3；
（4）解：（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝，x2＝3．
17．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；
（2）在图2中．
①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；
②请直接写出：点B到AC的距离为 ．
解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求．
（2）①如图2中，△AB′C′即为所求．
②设AC边上的高为h，•AC•h＝•2•4，
解得h＝2，
解法二：求出AC′边上的高即可．由图象可知，AC′边上的高为2，
故AC边上的高为2．
答案：2．
18．“学习强国”平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分．
（1）若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？
（2）若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率．
解：（1）李老师获得的积分是2分的概率最大，为＝；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中李老师前两局积分之和恰好是4分的结果有5种，
∴李老师前两局积分之和恰好是4分的概率为．
19．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．
（1）求矩形花坛的宽是多少米；
（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．
解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米，
依题意得：50×32﹣4x•（x+15）﹣3×（10÷2）2＝1125，
整理得：x2+15x﹣100＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意，舍去）．
答：矩形花坛的宽是5米．
（2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×（5+15）﹣y]＝（400﹣y）平方米，
依题意得：100y+120（400﹣y）≤42000，
解得：y≥300．
答：至少要安排甲队施工300平方米．
20．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求这个二次函数的图象的顶点C的坐标，并指出当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；
（2）求这个二次函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．
解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口系数，对称轴为直线x＝2，顶点C的坐标为（2，﹣1），
∴当x＞2时，y随x的增大而增大；
（2）令y＝0，即x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）（或点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0））．
∴AB＝3﹣1＝2，
∴S△ABC＝×2×|﹣1|＝1．
21．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边cm，腰AB＝10cm，求弧BC的长．
解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心；
（2）连接BC，OB，OC，OA，BC与OA相交于点D，
∵△ABC是等腰三角形，腰AB＝10cm，
∴AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，
∴BD＝，
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝，
∴∠BAD＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝5，∠BOA＝60°，
∴∠BAC＝2∠BOA＝120°，
∴弧BC的长为．
答：弧BC的长为．
22．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的部分证明过程：
证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．
如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．
解：（1）如图②，∵AD是⊙O直径，
∴∠DEA＝90°．
∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠DAB＝90°．
∴∠CED+∠DEA＝∠CAD+∠DAB，
即∠CEA＝∠CAB，
∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数；
（2）证明：如图③，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC，
∵AF是直径，
∴∠ACF＝90°，
∴∠CFA+∠FAC＝90°，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠FAB＝90°，
∴∠CAB+∠FAC＝90°，
∴∠CAB＝∠CFA，
即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当△CMN为等腰直角三角形时，点N的坐标为 ．
解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入抛物线y＝ax2+bx中，
得，
解得，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；
（2）∵抛物线解析式为y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（1，3），
∴C（3，3），
∴BC＝2，
∴；
（3）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图1，
∴CM＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠HNM+∠HMN＝∠HMN+∠BMC＝90°，
∴∠BMC＝∠HNM，
在△CBM和△MHN中，
，
∴△CBM≌△MHN（AAS），
∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3﹣2＝1，
∴ON＝OH+HN＝2，
∴N（2，0）；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图2，
过点M作DE∥x轴，过点N作NE⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理可证△NEM≌△MDC，
∴NE＝DM＝2，
∴EM＝CD＝5，
∵OH＝1，
∴ON＝NH﹣OH＝5﹣1＝4，
∴N（﹣4，0）；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图3，
过点N作DE∥y轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理得△NEM≌△CDN，
∴ME＝NH＝DN＝3，
∴ON＝3﹣1＝2，
∴N（﹣2，0）；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图3﹣4所示，
过点N作DE∥y轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理得△NEM≌△CDN，
∴ME＝DN＝NH＝3，
∴ON＝1+3＝4，
∴N（4，0）；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当△CMN为等腰直角三角形时N点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．
x
…
﹣4
﹣
﹣
1
…
y
…
﹣
0
…
石
剪
布
石
（石，石）
（石，剪）
（石，布）
剪
（剪，石）
（剪，剪）
（剪，布）
布
（布，石）
（布，剪）
（布，布）
x
…
﹣4
﹣
﹣
1
…
y
…
﹣
0
…
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分.共30分，在每小题给出的四个选项中，
1．下列四个车标图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的异号实数根
C．有两个不相等的同号实数根
D．没有实数根
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，5），且顶点坐标为（2，1），关于该抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．表达式为y＝x2+4x+5
B．图象开口向下
C．图象与x轴有两个交点
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
4．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5
B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5
D．游戏公平
5．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A．＝28B．x（x﹣1）＝28
C．＝28D．x（x﹣3）＝28
6．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝30°，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．25°C．40°D．50°
7．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ）
A．B．3C．2D．3
8．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（ ）
A．2026B．2024C．2022D．2020
9．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，△APQ的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：
①abc＞0，
②当﹣3＜x＜1时，y＞0，
③4a+2b+c＞0，
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．
正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．写出一个一元二次方程，它的根为﹣1和3，这个方程可以是： ．
12．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 ．
13．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°，则图中阴影部分的面积 ．
14．小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是 ．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（16分）解方程
（1）（x+2）2﹣25＝0
（2）x2+4x﹣5＝0
（3）x2﹣5x+6＝0
（4）2x2﹣7x+3＝0．
17．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；
（2）在图2中．
①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；
②请直接写出：点B到AC的距离为 ．
18．“学习强国”平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分．
（1）若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？
（2）若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率．
19．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．
（1）求矩形花坛的宽是多少米；
（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．
20．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求这个二次函数的图象的顶点C的坐标，并指出当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；
（2）求这个二次函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．
21．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边cm，腰AB＝10cm，求弧BC的长．
22．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的部分证明过程：
证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．
如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当△CMN为等腰直角三角形时，点N的坐标为 ．
参考答案
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分.共30分，在每小题给出的四个选项中，
1．下列四个车标图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
该题答案：D．
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的异号实数根
C．有两个不相等的同号实数根
D．没有实数根
解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
设x2﹣2x﹣1＝0的两根为α，β，则αβ＝﹣1，
∴α与β异号，
该题答案：B．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，5），且顶点坐标为（2，1），关于该抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．表达式为y＝x2+4x+5
B．图象开口向下
C．图象与x轴有两个交点
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
解：∵抛物线顶点坐标为（2，1），
∴y＝a（x﹣2）2+1，
将（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1得5＝4a+1，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5，
∴x＜2时，y随x增大而减小，
该题答案：D．
4．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5
B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5
D．游戏公平
解：由题意，列表如下：
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜的有3种结果，乙获胜的有3种结果，
所以甲获胜的概率＝乙获胜的概率＝＝，
该题答案：C．
5．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A．＝28B．x（x﹣1）＝28
C．＝28D．x（x﹣3）＝28
解：设一共邀请了x支球队参加比赛，由题意得，
＝28．
该题答案：C．
6．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝30°，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．25°C．40°D．50°
解：如图，连接OA．
∵AC是切线，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOC＝∠B+∠OAB＝60°，
∴∠B＝∠OAB＝30°．
该题答案：A．
7．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ）
A．B．3C．2D．3
解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OA、OD，
∵AC＝4，BC＝2，
∴AB＝6，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝3，
∴CE＝3﹣2＝1，
设OE＝x，
在Rt△OAE中，OA2＝x2+9，
在Rt△OCE中，OC2＝x2+1，
∵CD⊥OC，
∴CD2＝OD2﹣OC2＝x2+9﹣（x2+1）＝8，
∴CD＝（舍负）．
故选C．
8．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（ ）
A．2026B．2024C．2022D．2020
解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2+a＝3，a+b＝﹣1，
∴b＝﹣a﹣1，
∴a2﹣b+2022
＝a2﹣（﹣a﹣1）+2022
＝a2+a+1+2022
＝3+1+2022
＝2026．
该题答案：A．
9．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，△APQ的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；
②当2＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）
＝﹣x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
该题答案：A．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：
①abc＞0，
②当﹣3＜x＜1时，y＞0，
③4a+2b+c＞0，
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．
正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①由于二次函数y＝ax2+bx+c有最大值，
∴a＜0，开口向下，
∵对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴b＜0，
∵图象经过点（1，0），
∴c＞0，
∴abc＞0，故说法正确；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∵a＜0，开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0，故说法正确；
③当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，故说法错误；
④∵点（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝2，故说法错误．
该题答案：B．
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．写出一个一元二次方程，它的根为﹣1和3，这个方程可以是： ．
解：设方程x2﹣mx+n＝0的两根为﹣1和3，
∴﹣1+3＝m，
﹣1×3＝n，
∴m＝2，n＝﹣3，
∴该方程为x2﹣2x﹣3＝0，
答案：x2﹣2x﹣3＝0．
12．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 ．
解：如图，作出B的对称点B′，连接AB′交y轴于P，
则P就是使△PAB的周长最小时．
∵B、B′关于y轴对称，
∴PB＝PB′，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，
∴此时△PAB的周长最小，
∵B（3，9），
∴B′（﹣3，9），
∵A（1，1），
设直线AB′的直线方程为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣2x+3，
∴P点的坐标为（0，3）．
∴S△PAB＝S△B′BA﹣S△B′BP＝×6×（9﹣1）﹣＝6，
答案：6．
13．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°，则图中阴影部分的面积 ．
解：连接OC，交BD于点E，如图所示，
∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠OBD＝30°，
∴∠OEB＝∠CED＝90°，
∴BE＝DE，
在△OBE和△CDE中，
，
∴△OBE≌△CDE（ASA），
∴，
答案：6π．
14．小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ．
解：∵小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学2页，
∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ＝．
故答案为．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是 ．
解：如图，连接BC，与对称轴交点则为点P，连接AP、AC．
由线段垂直平分线性质，得AP＝BP，
∴CB＝BP+CP＝AP+CP，
∴AC+AP+CP＝AC+BC，
根据“两点之间，线段最短”，得△APC周长的最小，
抛物线y＝﹣x2+x+3中，令y＝0，解得x＝4或x＝﹣2；令x＝0，解得y＝3，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），
∴OA＝2，OB＝4，OC＝3，
在Rt△AOC中，有AC＝＝＝，
在Rt△BOC中，有BC＝＝＝5，
∴△APC的周长的最小值为：+5，
故答案为+5．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（16分）解方程
（1）（x+2）2﹣25＝0
（2）x2+4x﹣5＝0
（3）x2﹣5x+6＝0
（4）2x2﹣7x+3＝0．
解：（1）（x+2）2＝25，
x+2＝±5，
所以x1＝﹣7，x2＝3；
（2）解：（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1；
（3）解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝2，x2＝3；
（4）解：（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝，x2＝3．
17．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；
（2）在图2中．
①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；
②请直接写出：点B到AC的距离为 ．
解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求．
（2）①如图2中，△AB′C′即为所求．
②设AC边上的高为h，•AC•h＝•2•4，
解得h＝2，
解法二：求出AC′边上的高即可．由图象可知，AC′边上的高为2，
故AC边上的高为2．
答案：2．
18．“学习强国”平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分．
（1）若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？
（2）若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率．
解：（1）李老师获得的积分是2分的概率最大，为＝；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中李老师前两局积分之和恰好是4分的结果有5种，
∴李老师前两局积分之和恰好是4分的概率为．
19．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．
（1）求矩形花坛的宽是多少米；
（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．
解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米，
依题意得：50×32﹣4x•（x+15）﹣3×（10÷2）2＝1125，
整理得：x2+15x﹣100＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意，舍去）．
答：矩形花坛的宽是5米．
（2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×（5+15）﹣y]＝（400﹣y）平方米，
依题意得：100y+120（400﹣y）≤42000，
解得：y≥300．
答：至少要安排甲队施工300平方米．
20．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求这个二次函数的图象的顶点C的坐标，并指出当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；
（2）求这个二次函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．
解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口系数，对称轴为直线x＝2，顶点C的坐标为（2，﹣1），
∴当x＞2时，y随x的增大而增大；
（2）令y＝0，即x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）（或点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0））．
∴AB＝3﹣1＝2，
∴S△ABC＝×2×|﹣1|＝1．
21．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边cm，腰AB＝10cm，求弧BC的长．
解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心；
（2）连接BC，OB，OC，OA，BC与OA相交于点D，
∵△ABC是等腰三角形，腰AB＝10cm，
∴AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，
∴BD＝，
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝，
∴∠BAD＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝5，∠BOA＝60°，
∴∠BAC＝2∠BOA＝120°，
∴弧BC的长为．
答：弧BC的长为．
22．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的部分证明过程：
证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．
如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．
解：（1）如图②，∵AD是⊙O直径，
∴∠DEA＝90°．
∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠DAB＝90°．
∴∠CED+∠DEA＝∠CAD+∠DAB，
即∠CEA＝∠CAB，
∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数；
（2）证明：如图③，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC，
∵AF是直径，
∴∠ACF＝90°，
∴∠CFA+∠FAC＝90°，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠FAB＝90°，
∴∠CAB+∠FAC＝90°，
∴∠CAB＝∠CFA，
即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当△CMN为等腰直角三角形时，点N的坐标为 ．
解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入抛物线y＝ax2+bx中，
得，
解得，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；
（2）∵抛物线解析式为y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（1，3），
∴C（3，3），
∴BC＝2，
∴；
（3）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图1，
∴CM＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠HNM+∠HMN＝∠HMN+∠BMC＝90°，
∴∠BMC＝∠HNM，
在△CBM和△MHN中，
，
∴△CBM≌△MHN（AAS），
∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3﹣2＝1，
∴ON＝OH+HN＝2，
∴N（2，0）；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图2，
过点M作DE∥x轴，过点N作NE⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理可证△NEM≌△MDC，
∴NE＝DM＝2，
∴EM＝CD＝5，
∵OH＝1，
∴ON＝NH﹣OH＝5﹣1＝4，
∴N（﹣4，0）；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图3，
过点N作DE∥y轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理得△NEM≌△CDN，
∴ME＝NH＝DN＝3，
∴ON＝3﹣1＝2，
∴N（﹣2，0）；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图3﹣4所示，
过点N作DE∥y轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理得△NEM≌△CDN，
∴ME＝DN＝NH＝3，
∴ON＝1+3＝4，
∴N（4，0）；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当△CMN为等腰直角三角形时N点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．
x
…
﹣4
﹣
﹣
1
…
y
…
﹣
0
…
石
剪
布
石
（石，石）
（石，剪）
（石，布）
剪
（剪，石）
（剪，剪）
（剪，布）
布
（布，石）
（布，剪）
（布，布）
x
…
﹣4
﹣
﹣
1
…
y
…
﹣
0
…
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