2025高考数学一轮复习-3.3导数与函数的极值、最值-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-3.3导数与函数的极值、最值-专项训练【含答案】，共4页。试卷主要包含了设函数f=2x+ln x,则等内容，欢迎下载使用。

基 础 巩固练
1.如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为( )

A.1B.2C.3D.4
2.设函数f(x)=2x+ln x,则( )
A.x=12为f(x)的极大值点
B.x=12为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
3.若x=1是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极大值为( )
A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1
4.当x=1时,函数f(x)=aln x+b+1x取得极小值4,则a+b=( )
A.7B.8C.9D.10
5.函数f(x)=x2ex+1在x∈[-1,3]上的最小值为( )
A.1B.9e-4C.0D.4e-3
6.已知函数f(x)=xex-a和g(x)=lnxx+b有相同的极大值,则a+b=( )
A.2B.0C.-3D.-1
7.已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内切于底面半径为1,高为2的圆锥,当正四棱柱的体积最大时,该正四棱柱的底面边长为( )
A.223B.23C.2D.22
8.(多选题)已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,下列结论中正确的有( )
A.01e
C.f(x0)+2x0<0D.f(x0)+2x0>0
9.已知函数f(x)=ln x-ax存在最大值0,则a=.
10.已知函数f(x)=2xln x,g(x)=-x2+ax-3.对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
综 合 提升练
11.已知f(x)是定义域为R的偶函数,若当x≤0时,f(x)=(x+1)3ex+1,则函数f(x)的极值点的个数是( )
A.5B.4C.3D.2
12.(多选题)已知函数f(x)=(x-2)ex-ax2+2ax-2a,若f(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1A.a=e2B.a=e4
C.a=e2D.a=2e3
13.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感,曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若f'(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f'(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=|f″(x)|{1+[f'(x)]2}32,则曲线f(x)=x在(1,1)处的曲率为 ;正弦曲线g(x)=sin x(x∈R)曲率的平方K2的最大值为 .
14.(2023南通检测)已知函数f(x)=ax-ln x-ax.
(1)若x>1,f(x)>0,求实数a的取值范围.
(2)设x1,x2是函数f(x)的两个极值点,证明:|f(x1)-f(x2)|<1-4a2a.
创 新 应用练
15．(1)证明:当0(2)已知函数f(x)=cs ax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.
参考答案
1.A 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.AD 9.1e
10.解 由题可知,当x∈(0,+∞)时,f(x)≥g(x)恒成立,即2xln x≥-x2+ax-3在x∈(0,+∞)上恒成立,得a≤2ln x+x+3x在x∈(0,+∞)上恒成立.设h(x)=2ln x+x+3x(x>0),则h'(x)=2x−3x2+1=(x+3)(x-1)x2.当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=2ln 1+1+31=4,所以a≤h(x)min=4,即实数a的取值范围是(-∞,4].
11.C 12.BD 13.2525 1
14.(1)解 依题意得,f'(x)=a-1x+ax2=ax2-x+ax2(x>0).
①当a≤0时,在x∈(1,+∞)上,f'(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)②当0所以当x∈(1,x2)时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,x2)上单调递减,此时f(x)③当a≥12时,判别式Δ=1-4a2≤0,所以f'(x)≥0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(1)=0.
综上,实数a的取值范围是12,+∞.
(2)证明 由(1)知,当0因为x2-x1-f(x1)+f(x2)
=(a+1)(x2-x1)-lnx2x1+a(x2-x1)x1x2=2a(x2-x1)+(x2-x1)-lnx2x1
=2(x2-x1)x1+x2+x2-x1x1x2-lnx2x1
=2x2x1-11+x2x1+x2x1−x1x2-lnx2x1,设t=x2x1>1,则g(t)=2(t-1)t+1+t−1t-ln t,所以g'(t)=4(t+1)2+12t+12tt−1t=4(t+1)2+(t-1)22tt>0,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增,所以g(t)>g(1)=0,
所以x2-x1-f(x1)+f(x2)>0,
即f(x1)-f(x2)15.(1)证明 构建F(x)=x-sin x,x∈(0,1),则F'(x)=1-cs x>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则F(x)在(0,1)上单调递增,可得F(x)>F(0)=0,所以x>sin x,x∈(0,1).构建G(x)=sin x-(x-x2)=x2-x+sin x,x∈(0,1),则G'(x)=2x-1+cs x,x∈(0,1).构建g(x)=G'(x),x∈(0,1),则g'(x)=2-sin x>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则g(x)在(0,1)上单调递增,可得g(x)>g(0)=0,即G'(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则G(x)在(0,1)上单调递增,可得G(x)>G(0)=0,所以sin x>x-x2,x∈(0,1).综上所述,x-x2(2)解 令1-x2>0,解得-1当a≠0时,令b=|a|>0,
因为f(x)=cs ax-ln(1-x2)=cs(|a|x)-ln(1-x2)=cs bx-ln(1-x2),
且f(-x)=cs(-bx)-ln[1-(-x)2]=cs bx-ln(1-x2)=f(x),
所以函数f(x)在定义域内为偶函数,由题意可得,f'(x)=-bsin bx-2xx2-1,x∈(-1,1).
(ⅰ)当0由(1)可得f'(x)=-bsin bx-2xx2-1>-b2x-2xx2-1=x(b2x2+2-b2)1-x2,且b2x2>0,2-b2≥0,1-x2>0,所以f'(x)>x(b2x2+2-b2)1-x2>0,
即当x∈(0,m)⊆(0,1)时,f'(x)>0,则f(x)在(0,m)上单调递增,结合偶函数的对称性可知,f(x)在(-m,0)上单调递减,所以x=0是f(x)的极小值点,不合题意.
(ⅱ)当b2>2时,取x∈0,1b⊆(0,1),则bx∈(0,1).
由(1)可得f'(x)=-bsin bx-2xx2-1<-b(bx-b2x2)-2xx2-1=x1-x2(-b3x3+b2x2+b3x+2-b2),
构建h(x)=-b3x3+b2x2+b3x+2-b2,x∈0,1b,则h'(x)=-3b3x2+2b2x+b3,x∈0,1b,且h'(0)=b3>0,h'1b=b3-b>0,则h'(x)>0对任意的x∈0,1b恒成立,可知h(x)在0,1b上单调递增,且h(0)=2-b2<0,h1b=2>0,所以h(x)在0,1b内存在唯一的零点n∈0,1b.当x∈(0,n)时,h(x)<0,且x>0,1-x2>0,则f'(x)综上所述,b2>2,即a2>2,解得a>2或a<-2,故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).