专题2.8 函数模型及其应用（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc14546" 【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】 PAGEREF _Tc14546 \h 2
\l "_Tc30823" 【题型2 已知函数模型解决实际问题】 PAGEREF _Tc30823 \h 4
\l "_Tc8262" 【题型3 构造二次函数模型】 PAGEREF _Tc8262 \h 5
\l "_Tc21181" 【题型4 构造指数、对数函数模型】 PAGEREF _Tc21181 \h 7
\l "_Tc25421" 【题型5 构造分段函数模型】 PAGEREF _Tc25421 \h 8
\l "_Tc1839" 【题型6 函数模型的选择问题】 PAGEREF _Tc1839 \h 10
1、函数模型及其应用
【知识点1 几种常见的函数模型】
1．一次函数模型
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
2．二次函数模型
二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数，a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值
问题常用到二次函数模型.
3．幂函数模型
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
4．指数函数模型
指数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0).
4．对数函数模型
对数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0).
6．分段函数模型
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.
7．“对勾”函数模型
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.
【知识点2 判断函数图象与实际问题变化过程的解题策略】
1．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.
【知识点3 实际问题中函数建模的基本步骤】
1．构造函数模型解决实际问题的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.
(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果
要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.
【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】
【例1】（2024·海南·模拟预测）下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.
A．④①②B．③①②C．②①④D．③②①
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）某公司在30天内A商品的销售价格P（元）与时间t（天）的关系满足下方图象所示的函数，A商品的销售量Q（万件）与时间t的关系是Q=40−t，则下列说法正确的是（ ）
①第15天日销售额最大 ②第20天日销售额最大
③最大日销售额为120万元 ④最大日销售额为125万元
A．①③B．①④C．②③D．②④
【变式1-2】（2023·北京门头沟·一模）在声学中，音量被定义为：Lp=20lgpp0，其中Lp是音量（单位为dB），P0是基准声压为2×10−5Pa，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，1000Hz对应的听觉下限阈值为0dB，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20dB的声音，30~100Hz的低频比1000~10000Hz的高频更容易被人们听到.
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.
C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa.
D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍.
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长量相等
B．野生水葫芦从9m2蔓延到36m2历时超过1个月
C．设野生水葫芦蔓延到9m2，20m2，40m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1+t30,b>0，a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.若x=1表示该新产品今年的年产量，估计明年x=2的产量将是今年的e倍，那么b的值为（e为自然数对数的底数）（ ）
A．5−12B．5+12C．5−1D．5+1
【变式2-1】（23-24高三上·北京通州·阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C=Wlg21+SN，其中C为最大数据传输速率，单位为bits；W为信道带宽，单位为Hz；SN为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当SN=99，W=2000Hz时，最大数据传输速率记为C1；当SN=9999，W=3000Hz时，最大数据传输速率记为C2，则C2C1为（ ）
A．13B．52C．154D．3
【变式2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）若一段河流的蓄水量为v立方米，每天水流量为k立方米，每天往这段河流排水r立方米的污水，则t天后河水的污染指数mt=rk+m0−rke−kvt m0为初始值，m0>0．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的17，需要的天数大约是（参考数据：ln7≈1.95）（ ）
A．98B．105C．117D．130
【变式2-3】（2024·四川·模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强I（单位：Wm2）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L=L0lgaI，其中L0为基准声强级，a为常数，当声强I=10a时，声强级L=20dB．下表为不同列车声源在距离20m处的声强级：
设在离内燃列车､电力列车､高速列车20m处测得的实际声强分别为I1,I2,I3，则下列结论正确的是（ ）
A．L0=30B．I1≥I2C．I2≥10I3D．I1≤100I2
【题型3 构造二次函数模型】
【例3】（2023·江西九江·模拟预测）随着新冠病毒的暴发，感染人数越来越多，医疗资料受到极大的挑战，某地政府开始建立方舱医院，建筑公司为某方舱医院一病区预备的建筑材料总长为158米，计划建立24间病房，分为两排，过道的宽为1米，病房的长为x米，如图所示，如何设计病房的长、宽才能使单间病房面积最大？
【变式3-1】（2024·上海青浦·一模）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速v（公里/小时）控制在60,120范围内.已知汽车以v公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15v−k+4500v升，其中k为常数，不同型号汽车k值不同，且满足60≤k≤120.
(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速v的取值范围；
(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
【变式3-2】（2022·上海虹口·一模）某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%.设企业纳税额为x（单位：万元），补助款为fx=14x2−bx+b+12（单位：万元），其中b为常数.
(1)分别判断b=0，b=1时，fx是否符合发放方案规定，并说明理由；
(2)若函数fx符合发放方案规定，求b的取值范围.
【变式3-3】（2023·上海嘉定·二模）某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员xx∈N∗户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为2a−950x (a>0)万元．
（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值．
【题型4 构造指数、对数函数模型】
【例4】（2024·陕西西安·模拟预测）2023年10月31日，国务院新闻办举行“权威部门话开局”系列主题新闻发布会的第28场发布会.会上提出蒙古国､中国，包括东北亚的日本､韩国，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙､植树造林符合本地区各国和人民当前及长远利益.根据对中国国家整理的中国沙尘暴资料的分析，发现持续时间大于t的沙尘暴次数N满足N=A⋅10−tb，目前经测验A地情况气象局发现，t=300时，次数N=5,t=600时，次数N=3，据此计算N=4时对应的持续时间t约为（ ）
（参考数据：lg2≈0.301,lg3≈0.477）
A．389B．358C．423D．431
【变式4-1】（2024·宁夏银川·一模）锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为Q=ktp，其中Q（单位mAh）为电池容量损失量，p是时间t的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，k是方程剩余项未知参数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关．以某种品牌锂电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得p=0．5，相关统计学参数R2>0．995，且预测值与实际值误差很小．在研究M对Q的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规律为Q=ktP=e(A+BM)tP，经实验采集数据进行拟合后获得A=2.228,B=1.3，相关统计学参数R2=0.999，且预测值与实际值误差很小．若该品牌电池初始荷电状态为80%，存放16天后，电容量损失量约为（ ）
（参考数据为：e3.22≈25.08,e3.232≈25.33,e3.265≈26.26,e3.628≈37.64）
A．100.32B．101.32C．105.04D．150.56
【变式4-2】（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M=lgA−lgA0，其中M表示某地地震的里氏震级，A表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，A0表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（ ）（参考数据：lg2≈0.3）
A．6.3级B．6.4级C．7.4级D．7.6级
【变式4-3】（2023·陕西咸阳·模拟预测）陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：t=5730lnA0A÷0.693（其中t为样本距今年代，A0为现代活体中碳14放射性丰度，A为测定样本中碳14放射性丰度），已知现代活体中碳14放射性丰度A0=1.2×10−12，该人类骨骼碳14放射性丰度A=7.4×10−13，则该骨骼化石距今的年份大约为（ ）（附：ln1.6216≈0.4834，ln1.7≈0.5306，ln1.5≈0.4055）
A．3353B．3997C．4125D．4387
【题型5 构造分段函数模型】
【例5】（2023·上海普陀·模拟预测）某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的2%提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的4% 提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个2%．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为50000×2%+70000−50000×4%=1800元．试求：
(1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？
(2)若某销售员7、8月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？
【变式5-1】（2023·上海浦东新·三模）某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？
(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？
(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.
【变式5-2】（2024·江苏南通·二模）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y（单位：毫米/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当0≤x≤4时，y=168−x−1；当40）．
（Ⅰ）请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由；
（Ⅱ）请你从表格数据中选择2月份和8月份，再从第一问剩下的三种模型中任选两个函数模型进行建模，求出这两种函数表达式再分别求出两种模型下4月份的产量，并说明哪个函数模型更好．
【变式6-2】（23-24高一上·浙江湖州·期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速80km/h（不含80km/h）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示．
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
Mv=140v3+bv2+cv，Mv=1000⋅23v+a，Mv=300lgav+b．
(1)当0≤v0，且a≠1），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3．
A．0B．1C．2D．3
6．（2024·北京怀柔·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米，已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数mt（每立方米河水所含的污染物）满足mt=rk+m0−rke−kvt（m0为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的16，需要的时间大约是（参考数据：ln5≈1.61，ln6≈1.79）（ ）
A．1个月B．3个月C．半年D．1年
7．（2023·北京·模拟预测）血药浓度（Plasma Cncentratin）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；
②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；
③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.
其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2023·江西南昌·二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为y=0.1t,0≤t≤1012t10−a,t>10，函数的图像如图所示．如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A．7：00B．6：40C．6：30D．6：00
二、多选题
9．（2024·河南·模拟预测）1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：k=Ae−EaRT（R和A均为大于0的常数），k为反应速率常数（与反应速率成正比），T为热力学温度（T>0），在同一个化学反应过程中Ea为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为T1和T2时，反应速率常数分别为k1和k2（此过程中A，R与Ea的值保持不变），则（ ）
A．若T1>T2，则k1>k2
B．若T1>T2，则k1