2025年高考数学全真模拟卷04（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·河南周口·模拟预测）已知复数z=1+1i3，i为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．2iB．−2iC．2D．−2
【解题思路】根据复数的除法和乘方的运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可.
【解答过程】1+1i3=1−i2i=(1−i)3=1+3×12⋅−i+3×1×−i2+−i3=1−3i−3+i=−2−2i，
因此复数1+1i3的虚部为−2.
故选：D.
2．（5分）（2024·天津和平·二模）若x∈R，下列选项中，使“x20；
当t∈ e,+∞时，p′t0有公共切线，则实数a的最大值为 2e ．
【解题思路】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到1−lna=14x22+lnx2,构造函数ℎx=14x2+lnx，转化为存在性问题，最终求最值即可.
【解答过程】设曲线fx=x2与gx=lnaxa>0的切点分别为x1,x12，x2,lnax2，
∵f′x=2x，g′x=1x，∴k1=2x1，k2=1x2，
∴y−x12=2x1x−x1，y−lnax2=1x2x−x2，
∴2x1=1x2x12+lnax2−1=0，14x22+lnax2−1=0，即1−lna=14x22+lnx2，
令ℎx=14x2+lnx，则ℎ′x=2x2−12x3，
当00恒成立，
ℎx在x∈0,π2上单调递增，则ℎx≥ℎ0=0，符合题意.
综上，实数a的取值范围为−∞,1.
17．（15分）（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD与平面ABC1D1都是边长为2的菱形，∠BCD=∠BC1D1=120°，侧面BCC1B1的面积为15.
(1)求平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积；
(2)求平面BCC1B1与平面CDD1C1的夹角的余弦值.
【解题思路】（1）连接AC，AC1，根据菱形的性质、余弦定理，结合线面垂直的判定定理、三角形面积公式、棱柱的体积公式进行求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【解答过程】（1）连接AC，AC1，
因为底面ABCD与平面ABC1D1均为菱形，且∠BCD=∠BC1D1=120°，
所以△ABC与△ABC1均为等边三角形，
取AB的中点O，连接OC，OC1，则OC⊥AB，OC1⊥AB，则OC=OC1=3，
因为侧面BCC1B1的面积为15，
所以△BCC1的面积为152，则12×2×2sin∠CBC1=152，
所以sin∠CBC1=154，则cs∠CBC1=14.
在△BCC1中，CC12=22+22−2×2×2×14=6，则CC1=6，
所以OC2+OC12=CC12，所以OC⊥OC1.
因为AB∩OC=O，AB,OC⊂平面ABCD，
所以OC1⊥平面ABCD，
故平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积V=SABCD⋅OC1=2×2sin60°×3=6.
（2）由（1）可知，AB,OC,OC1两两垂直，以O为原点，以OB,OC,OC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz.
则B(1,0,0)，C(0,3,0)，C1(0,0,3)，D(−2,3,0)，
BC=(−1,3,0)，CC1=(0,−3,3)，CD=(−2,0,0)，
设平面BCC1B1的法向量为m=x1,y1,z1，
由BC⋅m=0,CC1⋅m=0,得−x1+3y1=0,−3y1+3z1=0,取y1=1，则m=(3,1,1).
设平面CDD1C1的法向量为n=x2,y2,z2，，
由CD⋅n=0,CC1⋅n=0,得−2x2=0,−3y2+3z2=0,取y2=1，则n=(0,1,1)，
于是cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=25×2=105.
设平面BCC1B1与平面CDD1C1的夹角为θ，
所以csθ=|cs〈m,n〉|=105.
18．（17分）（2024·辽宁锦州·模拟预测）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γα+β+γ=1,α>0,β>0,γ≥0，且每局比赛结果相互独立．
(1)若α=25,β=25,γ=15，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当γ=0时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望EX的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用α,β表示）．
【解题思路】（1）用事件A,B,C分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件：ABAA,BAAA,ACCA,CACA,CCAA共5种，即可求解；
（2）（i）由题意得X的所有可能取值为：2,4,5，求出对应的概率，列出分布列及求出数学期望，并求出最大值；
（ii）由（1）得前两局比赛结果可能有：AA,BB,AB,BA，其中事件AA表示“甲学员赢得比赛”，事件BB表示“乙学员赢得比赛”，事件AB,BA表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，所以P(M)=P(AA)⋅1+P(BB)⋅0+P(AB)⋅P(M)+P(BA)⋅P(M)即可求解．
【解答过程】（1）用事件A,B,C分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，
则P(A)=α=25,P(B)=β=25,P(C)=γ=15，
记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，
则事件N包括事件：ABAA,BAAA,ACCA,CACA,CCAA共5种，
所以P(N)=PABAA+PBAAA+PACCA+PCACA+PCCAA
=2PBPAPAPA+3PCPCPAPA
=2×254+3×152×252=44625．
（2）（i）因为γ=0，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即α+β=1，
由题意得X的所有可能取值为：2,4,5，
P(X=2)=α2+β2，
P(X=4)=αβ+βαα2+αβ+βαβ2=2αβα2+β2，
P(X=5)=αβ+βα⋅αβ+βα⋅1=4α2β2，
所以X的分布列为：
所以X的期望为：
E(X)=2α2+β2+8αβα2+β2+20α2β2
=21−2αβ+8αβ1−2αβ+20α2β2
=4α2β2+4αβ+2
因为α+β=1≥2αβ，所以αβ≤14，
等号成立时，α=β=12，所以0