2025年高考数学全真模拟卷02（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·山西晋中·模拟预测）若1−iz=2，则z+1=（ ）
A．5B．3C．1D．5
【解题思路】先由1−iz=2求出复数z，从而可求出z+1，进而求出z+1.
【解答过程】由1−iz=2，得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，
所以z+1=2+i，
所以z+1=22+12=5，
故选：A.
2．（5分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“a>1,b>1”是“ab>1”的必要条件
B．∀x>0,ex>2x
C．∀x>0,2x≥x2
D．a+b=0的充要条件是ab=−1
【解题思路】举反例来判断ACD，利用指数函数的性质判断B.
【解答过程】对于A，当a=2,b=1时，满足ab>1，但不满足a>1,b>1，故“a>1,b>1”不是“ab>1”的必要条件，故错误；
对于B，根据指数函数的性质可得，对于∀x>0,e2x>1，即ex>2x，故正确；
对于C，当x=3时，2x对于D，当a=b=0时，满足a+b=0，但ab=−1不成立，故错误.
故选：B.
3．（5分）（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量|a|=3,|a−b|=|a+2b|，则|a+b|=（ ）
A．3B．2C．5D．3
【解题思路】对|a−b|=|a+2b|两边平方化简可得b2+2a⋅b=0，再对|a+b|平方化简后再开方即可.
【解答过程】由|a−b|=|a+2b|两边平方得，a2+b2−2a⋅b=a2+4b2+4a⋅b，
所以b2+2a⋅b=0，
所以|a+b|2= a2+b2+2a⋅b=|a|2=9，
所以|a+b|=3，
故选：D.
4．（5分）（2024·四川宜宾·模拟预测）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
A．a的值为0.005
B．估计这组数据的众数为75分
C．估计成绩低于60分的有250人
D．估计这组数据的中位数为2353分
【解题思路】对A，根据频率和为1求解即可；对B，根据频率分布直方图的众数判断即可；对C，计算成绩低于60分的频率，进而可得人数；对D，根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可.
【解答过程】对A，由题意，10×2a+3a+3a+6a+5a+a=1，解得a=0.005，故A正确；
对B，由直方图可得估计这组数据的众数为70+802=75分，故B正确；
对C，由直方图可得成绩低于60分的频率为10×0.01+0.015=0.25，故估计成绩低于60分的有1000×0.25=250人，故C正确；
对D，由A可得区间40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的频率分别为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，
因为0.1+0.15+0.15+0.3>0.5，0.1+0.15+0.15<0.5，故中位数位于70,80内.
设中位数为x，则0.1+0.15+0.15+0.03×x−70=0.5，解得x=2203，故D错误.
故选：D.
5．（5分）（2024·贵州贵阳·三模）过点A(−3,−4)的直线l与圆C:(x−3)2+(y−4)2=9相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点P的轨迹是（ ）
A．一个半径为10的圆的一部分B．一个焦距为10的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段D．一个半径为5的圆的一部分
【解题思路】设 P(x,y), 根据垂径定理得到CP⊥AP，再转化为CP⋅AP=0，写出相关向量，代入化简即可.
【解答过程】设P(x,y)，根据线段MN的中点为P，则CP⊥MN，即CP⊥AP，
所以CP⋅AP=0，又A(−3,−4),C(3,4),AP=(x+3,y+4),CP=(x−3,y−4)，
所以(x+3)(x−3)+(y+4)(y−4)=0，即x2+y2=25，
所以点P的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C内的一部分，
故选：D.
6．（5分）（2024·全国·模拟预测）若函数f(x)=6sinωx(ω>0)的图象与函数g(x)=6csωx的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则ω=（ ）
A．π2B．π4C．π6D．π8
【解题思路】解法一，令f(x)=g(x)，可得ωx=kπ+π4(k∈Z)，不妨取k=0，1，2，得三个连续的交点依次为Aπ4ω,3，B5π4ω−3，C9π4ω,3，求得△ABC的高，再根据fx与gx图象求得△ABC的高，建立方程求得结果.
解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)=6sinωx和g(x)=6csωx的图象，求得△ABC的高为23，可得△ABC的边长为4即fx的周期为4，得解.
【解答过程】解法一 由f(x)=6sinωxg(x)=6csωx，令f(x)=g(x)，得tanωx=1，
所以ωx=kπ+π4(k∈Z)，不妨取k=0，1，2，得三个连续的交点依次为Aπ4ω,3，B5π4ω−3，C9π4ω,3，
因为△ABC为正三角形，9π4ω−π4ω为△ABC的边长，329π4ω−π4ω为△ABC的高，
由正弦函数、余弦函数的图象可知在f(x)=6sinωx和g(x)=6csωx的图象的交点处sinωx=csωx=±22，
所以△ABC的高为2×6×22=23，
所以329π4ω−π4ω=23，
解得ω=π2．
故选：A．
解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)=6sinωx和g(x)=6csωx的图象，
设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接AB，AC，BC，
则△ABC为正三角形，过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由正弦函数、余弦函数的图象可知在f(x)=6sinωx和g(x)=6csωx的图象的交点处sinωx=csωx=±22，
所以|BD|=2×6×22=23，
所以|AC|=4，所以f(x)=6sinωx的最小正周期T=4，即2πω=4，所以ω=π2．
故选：A．
7．（5分）（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面ABCD是边长为2的正方形，半圆面APD⊥底面ABCD，点P为圆弧AD上的动点.当三棱锥P−BCD的体积最大时，PC与半圆面APD所成角的余弦值为（ ）

A．23B．36C．66D．33
【解题思路】过点P作OP⊥AD于点O，易得点P位于圆弧AD的中点时，VP−BCD最大，证明CD⊥面PAD，则∠CPD即为PC与半圆面APD所成角的平面角，再解Rt△PCD即可.
【解答过程】过点P作OP⊥AD于点O，
因为面APD⊥底面ABCD，面APD∩底面ABCD=AD，OP⊂面PAD，
所以OP⊥平面ABCD，
则VP−BCD=13×12×2×2⋅OP=23OP≤23，
当且仅当OP=1，即点P位于圆弧AD的中点时，VP−BCD最大，此时O为AD的中点，
因为面APD⊥底面ABCD，面APD∩底面ABCD=AD,CD⊥AD,CD⊂面ABCD，
所以CD⊥面PAD，
所以∠CPD即为PC与半圆面APD所成角的平面角，
在Rt△PCD中，CD=2,PD=1+1=2,PC=4+2=6，
所以cs∠CPD=PDPC=33，
即PC与半圆面APD所成角的余弦值为33.

故选：D.
8．（5分）（2023·四川成都·一模）已知函数y=2−xlna2−4lna+x+2，若x∈0,2时，y≥0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,eB．e,+∞C．0,1D．1,+∞
【解题思路】当x=0时，y=2(lna)2−4lna+2=2(lna−1)2≥0，所以问题转化为−4lna+4≥0，求解即可.
【解答过程】由y=2−xlna2−4lna+x+2可得y=1−lna2x+2lna2−4lna+2，
当a=e时，y=0符合题意；
当a≠e时，y是关于x的一次函数，此时只需区间端点的函数值不小于0即可，
又当x=0时，y=2(lna)2−4lna+2=2(lna−1)2≥0，
当x=2时，y=−4lna+4，
所以−4lna+4≥0，即lna≤1，解得0综上，0故选；A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·新疆喀什·三模）已知函数fx=3sinxcsx−cs2x+12，则下列说法正确的是（ ）
A．fx=sin2x−π6
B．函数fx的最小正周期为2π
C．x=π3是函数fx图象的一条对称轴
D．函数fx的图象可由y=sin2x的图象向右平移π12个单位长度得到
【解题思路】A由降幂公式，辅助角公式可得答案；
B由周期计算公式可得答案；
C将x=π3代入由A选项所得化简式中可得答案；
D由函数图象平移知识可得答案．
【解答过程】Ａ选项，fx=3sinxcsx−cs2x+12=32sin2x−12cs2x=sin2x−π6，故A正确；
B选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为2π2=π，故B错误；
C选项，将x=π3代入2x−π6=π2，fx在此时得最大值，故x=π3是函数fx图象的一条对称轴，故C正确；
D选项，y=sin2x的图象向右平移π12个单位得sin2x−π12=sin2x−π6，故D正确．
故选：ACD.
10．（6分）（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线E:y2=8x的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若BF为△ACF的中线，则|AF|=2|BF|
B．|AF|>4
C．存在直线使得|AC|=2|AF|
D．对于任意直线l，都有|AF|+|BF|>2|CF|
【解题思路】取A，B两点都在第一象限, 设l:x=ky−2,k>0，Ax1,y1,Bx2,y2，联立抛物线，利用韦达定理以及抛物线的定义来判断各项正误.
【解答过程】不妨取A，B两点都在第一象限，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足为D,E，
设l:x=ky−2,k>0，Ax1,y1,Bx2,y2,x1>x2，C(−2,0),F(2,0)，
联立E:y2=8x，得y2−8ky+16=0且Δ=64k2−1>0，即k2>1，
所以y1+y2=8k,y1y2=16，
则x1+x2=ky1+y2−4=8k2−4,x1x2=y1y2264=4，
对于A：若BF为△ACF的中线，则y2=y12，结合y1y2=16得y1=42y2=22，所以x1=4x2=1，
所以A4,42，B1,22，
此时|AF|=4+2=6,|BF|=1+2=3，所以|AF|=2|BF|，A正确；
对于B：由求根公式y1=8k+Δ2=8k+64k2−12=4k+k2−1>4，
则x1=y128>2，所以AF=x1+2>4，B正确；
对于C：若|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，明显△ACD等腰直角三角形，
此时|CD|=|AD|，即Ay1−2,y1，所以y12=8y1−16，解得y1=4，此时y2=4，
此时A,B为同一点，不合题意，C错误；
对于D：|AF|+|BF|=|AD|+|BE| =x1+x2+4=8k2，
又2|CF|=8，结合k2>1，都|AF|+|BF|>2|CF|恒成立，D正确；
故选：ABD.
11．（6分）（2024·重庆·三模）已知函数f(x)=e2x−ax2(a为常数)，则下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x−y+1=0
B．若f(x)有3个零点，则a的取值范围为e2,+∞
C．当a=e2时，x=1是f(x)的极大值点
D．当a=12时，f(x)有唯一零点x0，且−1【解题思路】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为gx=e2xx2与y=a的图象有3个交点，利用导数求得函数gx的单调性与极值，可判定B正确；当a=e2时，得到f′x=2(e2x−e2x)，讨论函数fx的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当a=12时，得到f'x>0，函数fx单调递增，结合f(−1)⋅f(−12)<0，可判定D正确；
【解答过程】对于A中，当a=1时，可得f(x)=e2x−x2，则f(0)=1,f′(x)=2e2x−2x,f′(0)=2，所以切线为2x−y+1=0,A正确：
对于B中，若函数f(x)=e2x−ax2有3个零点，即e2x=ax2有三个解，
其中x=0时，显然不是方程的根，
当x≠0时，转化为g(x)=e2xx2与y=a的图像有3个交点，
又由g′(x)=2e2xx2−2e2xxx4=2e2x(x−1)x3，
令g′(x)>0，解得x<0或x>1；令g′(x)<0，解得0所以函数g(x)在(−∞,0),(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减；
所以当x=1时，函数g(x)取得极小值，极小值为g(1)=e2，
又由x→0时，g(x)→+∞，当x→−∞时，g(x)→0且g(x)>0，
如下图：
所以a>e2，即实数a的取值范围为e2,+∞，所以B正确：
对于C中，当a=e2时，f(x)=e2x−e2x2，可得f'(x)=2e2x−2e2x=2e2x−e2x，
令g(x)=e2x−e2x，g'(x)=2e2x-e2在R上单调递增，
且g'(0)=2−e2<0,g'(1)=e2>0,所以存在x0∈0,1使得g'(x0)=0，
所以在−∞,x0上g'(x)<0，g(x)单调递减，
在x0,+∞上g'(x)>0，gx单调递增，又g1=0,
所以在x0,1上g(x)<0，即f'(x)<0，f(x)单调递减，
在1,+∞上g(x)>0，即f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以x=1是f(x)的极小值点，所以C错误．
对于D中，当a=12时，f′(x)=2e2x−x=2e2x−12x，
设ℎ(x)=e2x−12x，可得ℎ′(x)=2e2x−12，
当xln12时，ℎ′(x)>0,ℎ(x)在ln12,+∞单调递增，
所以当x=ln12时，ℎ(x)min=ℎln12=e2ln12−12ln12=14+12ln2>0，所以ℎ(x)>0，
所以f'(x)>0，所以函数f(x)在R上单调递增，
又因为f(−1)=e−2−12<0,f−12=e−1−18>0，即f(−1)⋅f−12<0，
所以f(x)有唯一零点x0且−1故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列an是公差不为0的等差数列，a1=1，且满足a2,a3,a6成等比数列，则数列an前6项的和为 −24 .
【解题思路】设数列an公差为d，再根据a2,a3,a6成等比数列求解可得d=−2，进而可得an的通项公式求解即可.
【解答过程】设数列an公差为d，由a2,a3,a6成等比数列可得a32=a2a6，
即1+2d2=1+d1+5d，即d2+2d=0，因为公差不为0，故d=−2.
故an=1−2n−1=−2n+3.
故an前6项的和为1−1−3−5−7−9=−24.
故答案为：−24.
13．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知α,β∈π2,π，且1−cs2α=sin2αsinπ2+β1+sinβ，则tanα+tanβ21−tanαtanβ2= 1 ．
【解题思路】利用二倍角公式，同角关系，两角和与差的正切公式变形求解．
【解答过程】由1−cs2α=sin2αsinπ2+β1+sinβ得1−cs2αsin2α=csβ1+sinβ，
2sin2α2sinαcsα=cs2β2−sin2β2cs2β2+sin2β2+2sinβ2csβ2,
所以sinαcsα=csβ2−sinβ2csβ2+sinβ2，即tanα=1−tanβ21+tanβ2=tanπ4−tanβ21+tanπ4tanβ2=tan(π4−β2)，
又α,β∈π2,π，所以α=π4−β2+π，即α+β2=5π4，
所以tanα+tanβ21−tanαtanβ2=tan(α+β2)=tan5π4=1．
故答案为：1.
14．（5分）（2024·浙江台州·二模）若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有 720 种不同的排法（用数字作答），其中恰有两首歌曲相邻的概率为 35 .
【解题思路】（1）直接利用排列数计算即可；
（2）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，计数后，利用古典概型求概率.
【解答过程】排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有A66=6×5×4×3×2×1=720种不同的排法；
记事件A: 恰有两首歌曲相邻,则事件A包含：A33×A32×A42=3×2×1×3×2×4×3=432
故PA=432720=35.
故答案为：720；35.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·山东青岛·三模）设三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且sinB+C=23sin2A2．
(1)求角A的大小；
(2)若b=3，BC边上的高为3217，求三角形ABC的周长．
【解题思路】（1）利用内角和为180°化简sinB+C=sinA，利用二倍角公式化简sin2A2=1−csA2，再利用辅助角公式化简即可求得A=π3；
（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.
【解答过程】（1）因为A，B，C为△ABC的内角，所以sinB+C=sinA，
因为sin2A2=1−csA2，所以sinB+C=23sin2A2可化为：sinA=31−csA，
即sinA+3csA=3，即sinA+π3=32，
因为A+π3∈π3,4π3，解得：A+π3=2π3，即A=π3．
（2）由三角形面积公式得12b⋅csinA=12×3217a，b=3代入得：12×3⋅csinπ3=12×3217a，
所以a=72c，由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA=74c2得：c2+4c−12=0，
解得：c=2或c=−6舍去，即a=7，
所以△ABC的周长为5+7.
16．（15分）（2024·黑龙江·模拟预测）已知f(x)=ax+bcsx在点π2,fπ2处的切线方程为x+2y−π=0.
(1)求a,b的值；
(2)求fx在区间[0,π]的单调区间和极值.
【解题思路】（1）由题意可得π2+2fπ2−π=0f′π2=−12，解方程组可求出a,b的值；
（2）由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出极值.
【解答过程】（1）由f(x)=ax+bcsx，得f′(x)=a−bsinx，
因为f(x)=ax+bcsx在点π2,fπ2处的切线方程为x+2y−π=0，
所以π2+2fπ2−π=0f′π2=−12，
所以π2+2π2a+bcsπ2−π=0a−bsinπ2=−12，所以πa=π2a−b=−12，
解得a=12,b=1；
（2）f(x)=12x+csx,f′(x)=12−sinx，令f′(x)=0，
因为x∈[0,π]，所以x1=π6，或x2=5π6，
当x∈0,π6时，f′(x)>0,f(x)单调递增，
当x∈π6,5π6时，f′(x)<0,f(x)单调递减，
当x∈5π6,π时，f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)极大值为fπ6=12×π6+csπ6=π12+32，极小值为f5π6=12×5π6+cs5π6=5π12−32，
综上所述，f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为0,π6和5π6,π，单调递减区间为π6,5π6；
极大值为π12+32，极小值为5π12−32.
17．（15分）（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形ABCDE中，AB=BD，AD⊥DC，EA=ED且EA⊥ED，将△AED沿AD折成图2，使得EB=AB，F为AE的中点．
(1)证明：BF//平面ECD；
(2)若EB与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A−EB−D的正弦值．
【解题思路】（1）取AD的中点G，连接BG，FG，从而证明BG//平面ECD，FG//平面ECD，即可得到平面BFG//平面ECD，即可得证．
（2）推导出AE⊥平面BFG，BG⊥平面EAD，平面EAD⊥平面ABCD，连接EG，以G为坐标原点，GB，GD，GE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A−EB−D的正弦值．
【解答过程】（1）取AD的中点G，连接BG，FG，
∵AB=BD，G为AD的中点，∴BG⊥AD，
又AD⊥DC，∴BG//CD．
又BG⊄平面ECD，CD⊂平面ECD，∴BG//平面ECD．
∵F为AE的中点，∴FG//ED．
又FG⊄平面ECD，ED⊂平面ECD，∴FG//平面ECD，
又BG∩FG=G，BG,FG⊂平面BFG，∴平面BFG//平面ECD，
又BF⊂平面BFG，∴BF//平面ECD．
（2）∵EA⊥ED，由（1）知FG//ED，∴FG⊥AE，
又EB=AB，F为AE的中点，∴BF⊥AE，
又BF∩FG=F，BF,FG⊂平面BFG，∴AE⊥平面BFG，
又BG⊂平面BFG，∴BG⊥AE，
又BG⊥AD，AD∩AE=A，AD,AE⊂平面EAD，∴BG⊥平面EAD，
又BG⊂平面ABCD，∴平面EAD⊥平面ABCD，
连接EG，∵EA=ED，G为AD的中点，∴EG⊥AD，
又平面EAD∩平面ABCD=AD，EG⊂平面EAD，
∴EG⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴EG⊥BG，
以G为坐标原点，GB，GD，GE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∠EBG是EB与平面ABCD所成的角，即∠EBG=30°，
∵EA=ED，设EA=t(t>0)，则AD=2t，EG=22t，EB=2t，BG=62t，
∴G0,0,0，E0,0,22t，A0,−22t,0，D0,22t,0，B62t,0,0，
∴ EB=62t,0,−22t，AE=0,22t,22t，DE=0,−22t,22t，
设平面ABE的法向量为n1=x1,y1,z1，
则n1⋅EB=62tx1−22tz1=0n1⋅AE=22ty1+22tz1=0，令x1=1，得n1=1,−3,3，
设平面DBE的法向量为n2=(x2,y2,z2)，
则n2⋅EB=62tx2−22tz2=0n2⋅DE=−22ty2+22tz2=0，令x2=1，得n2=1,3,3，
设二面角A−EB−D的平面角为θ，
∴csθ=csn1,n2=n1⋅n2n1n2=17×7=17，
所以sinθ=1−cs2θ=437，即二面角A−EB−D的正弦值为437．
18．（17分）（2024·全国·模拟预测）2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由4道减少到3道，分值变为一题6分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得6分，有错选或全不选的得0分.若正确答案是“两项”的，则选对1个得3分；若正确答案是“三项”的，则选对1个得2分，选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1−p(其中0(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若p= 13，求学生甲该题得2分的概率；
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ： 随机选一个选项； Ⅱ： 随机选两个选项； Ⅲ： 随机选三个选项．
①若p= 12，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；
②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好?
【解题思路】（1）由全概率公式求解即可；
（2） ①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出X的可能取值及其概率，即可求出X的分布列，再由期望公式求出；
②记X,Y,Z分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出X,Y,Z的数学威望，由题意可得2−p<32321−p<320【解答过程】（1）记事件A为“正确答案选两个选项”，事件B为“学生甲得2分”．
PB=PAP(B|A)+PAP(B|A)=13×0+23×C31C41=12，
即学生甲该题得2分的概率为12．
（2） ①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则X可以取0，2，3，
PX=0=12×2C41+12×1C41=38， PX=2=12×0+12×C31C41=38，
PX=3=12×C21C41+12×0=14，
所以X的分布列为
则数学期望EX=0×38+2×38+3×14=32．
②记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则PX=0=p×2C41+1−p×1C41=1+p4，
PX=2=p×0+1−p×C31C41=341−p，
PX=3=p×C21C41+1−p×0=12p，
所以EX=0×1+p4+2×341−p+3×12p=32；
记Y为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则PY=0=p×C42−1C42+1−p×C31C42=13p+12，
PY=4=p×0+1−p×C42−C31C42=121−p，
PY=6=p×1C42+1−p×0=16p，
所以EY=0×13p+12+4×121−p+6×16p=2−p；
记Z为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则PZ=0=p×1+1−p×C43−1C43=14p+34，
PZ=6=p×0+1−p×1C43=141−p，
所以EZ=0×14p+34+6×141−p=321−p．
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则2−p<32321−p<320解得：1219．（17分）（2024·江苏苏州·模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C:y=x3上的点P1x1,y1作曲线C的切线l1与曲线C交于P2x2,y2，过点P2作曲线C的切线l2与曲线C交于点P3x3,y3，依此类推，可得到点列：P1x1,y1，P2x2,y2，P3x3,y3，…，Pnxn,yn，…，已知x1=1．
(1)求数列xn、yn的通项公式；
(2)记点Pn到直线ln+1（即直线Pn+1Pn+2）的距离为dn，
（I）求证：1d1+1d2+⋯+1dn>49；
（II）求证：1d1+1d2+⋯+1dn>891−12n，若n值n>0,n∈N∗与（I）相同，则求此时1d1+1d2+⋯+1dn的最小值．
【解题思路】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与曲线方程求出切点的坐标，进而可得出数列xn、yn的通项公式；
（2）（I）求出直线ln+1的方程，利用点到直线距离公式求出dn，再利用等比数列前n和公式求解即得；
（II）根据（I）再结合指数函数的性质即可得解.
【解答过程】（1）曲线C上点Pnxn,yn处的切线ln的斜率为kn=y′x=xn=3xn2，
故得到的方程为y−yn=3xn2⋅x−xn，
联立方程y=x3y−yn=3xn2⋅x−xnyn=xn3，消去y得：x3−3xn2⋅x+2xn3=0，
化简得：x−xn2⋅x+2xn=0，
所以：x=xn或x=−2xn，
由x=xn，得到点Pn的坐标xn,yn，
由x=−2xn，就得到点Pn+1的坐标−2xn,−2xn3，
所以：xn+1=−2xn，
故数列xn是首项为1，公比为−2的等比数列，
所以：xn=(−2)n−1，yn=(−8)n−1；
（2）（I）由（1）知：Pn+1(−2)n,(−8)n，Pn+2(−2)n+1,(−8)n+1，
所以直线ln+1的方程为：y−(−8)n=(−8)n−(−8)n+1(−2)n−(−2)n+1x−(−2)n，
化简得：3⋅4nx−y−2⋅(−8)n=0，
因为dn=3⋅4n⋅(−2)n−1−(−8)n−1−2⋅(−8)n3⋅4n2+(−1)2=27⋅8n−19⋅4n+1<27⋅8n−13⋅22n=9.2n−3，
所以1dn>19⋅12n−3，
∴1d1+1d2+⋯+1dn>19×41−12n1−12=891−12n≥891−12=49；
（II）1d1+1d2+⋯+1dn>1912−2+12−1+⋯+12n−3
=19⋅12−21−12n1−12=891−12n，
与（I）中相同，当n=1时，此时最小值为49．
X
0
2
3
P
38
38
14