【二轮复习】2024年高考数学全真模拟卷04（新高考专用）.zip

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注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）已知全集U=R，集合A={x∣y=ln(x+1)},B=x∣x2−x−2<0，则{x∣x<2}=（ ）
A．∁UA∪BB．∁UB∩AC．∁U(A∪B)D．∁U(A∩B)
【解题思路】先利用对数函数的定义域、一元二次不等式化简集合A、B，再根据集合的交并补运算求解即可.
【解答过程】因为A={x∣y=ln(x+1)}={x∣x>−1},B=x∣x2−x−2<0=x∣−1则A∩B=x∣−1−1}，
因为全集U=R，所以∁UA={x∣x≤−1}，∁UB={x∣x≤−1或x≥2}，
所以∁UA∪B={x∣x<2}，A正确；∁UB∩A ={x|x≥2}，B错误；
∁U(A∪B)={x∣x≤−1}，C错误；∁U(A∩B) ={x∣x≤−1或x≥2}，D错误，
故选：A.
2．（5分）（2023·四川自贡·统考一模）已知复数z=3+ii，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】根据复数除法运算化简z，进而求得z，从而确定正确答案.
【解答过程】z=3+ii=3+i×−ii×−i=1−3i,z=1+3i，
所以z对应点1,3在第一象限.
故选：A.
3．（5分）（2023·广东汕头·汕头市潮阳实验学校校考一模）若a,b都为非零向量，且a⊥a+2b，a+3b=2a−b，则向量a,b的夹角为（ ）
A．π4B．3π4C．π3D．2π3
【解题思路】根据两向量垂直数量积等于0，联立a⋅a+2b=0a+3b2=2a−b2，得a2=b2=−2a⋅b，利用两向量的夹角公式计算即可.
【解答过程】因为a⊥a+2b，a+3b=2a−b，所以a⋅a+2b=0a+3b2=2a−b2，
即a2+2a⋅b=0−3a2+8b2+10a⋅b=0，
化简得a2=b2=−2a⋅b，所以a=b=−2a⋅b．
所以csa,b=a⋅ba.b=a⋅b−2a⋅b=−12．因为0≤a,b≤π，所以a,b=2π3．
故选：D．
4．（5分）（2023·全国·模拟预测）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会在四川成都成功举办．某中学积极响应，举办学校运动会．小赵、小钱、小孙、小李、小周5位同学报名参加3个项目，每人只报名1个项目，每个项目至少1人，小赵和小钱不参加同一个项目，则不同的报名方法共有（ ）
A．72种B．114种C．120种D．144种
【解题思路】5位同学报名参加3个项目，人数构成分为2+2+1与3+1+1两种情况，方法一：从小赵和小钱所在的分组进行讨论，即可得解.方法二：不考虑小赵与小钱的特殊要求，先求出不同的报名方法的种数，再排除小赵与小钱参加同一个项目，即可得解.
【解答过程】方法一：5位同学报名参加3个项目，人数构成分为2+2+1与3+1+1两种情况，
先分组再将不同组分配去参加运动项目：
①小赵和小钱分别在2人组和2人组：C31C21A33=36；
②小赵和小钱分别在2人组和1人组：C21C31A33=36；
③小赵和小钱分别在1人组和1人组：A33=6；
④小赵和小钱分别在1人组和3人组：C21C32A33=36，
所以共有36+36+6+36=114（种）不同的报名方法.
方法二：不考虑小赵与小钱的特殊要求，5位同学报名参加3个项目，
人数构成分为2+2+1与3+1+1两种情况：
①2+2+1:C52C32A22A33=90；②3+1+1：C53C21A22A33=60，共有150种情况．
假如小赵与小钱参加同一个项目，分为他们都在2人组和都在3人组两种情况，
①都在2人组：C32×A33=18；②都在3人组：C31C21A22A33=18，
考虑两人的特殊要求之后，共有150− 18−18=114（种）不同的报名方法.
故选：B．
5．（5分）（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若函数fx是定义在R上的偶函数，在−∞,0上是减函数，且f3=0，则使得fx<0的x的取值范围是（ ）
A．−∞,−3B．3,+∞
C．−3,3D．−∞,−3∪3,+∞
【解题思路】分析函数fx在0,+∞上的单调性，将所求不等式变形为fx【解答过程】因为函数fx是定义在R上的偶函数，在−∞,0上是减函数，
则函数fx在0,+∞上为增函数，
因为f3=0，由fx<0可得fx因此，满足fx<0的x的取值范围是−3,3.
故选：C.
6．（5分）（2023·新疆·校联考一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，O为坐标原点，过F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，且F1A=12F1B，OA=a，F1B=2b，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3B．2C．5D．6
【解题思路】由题意结合勾股定理的逆定理可得∠OAF1=90°，结合双曲线的对称性可得2∠OF1A=90°−∠OF1A，即可得∠BOF2，由斜率与倾斜角的关系可得ba，即可得离心率.
【解答过程】
由F1B=2b，F1A=12F1B，故F1A=12F1B=b，
则有F1A=b、OA=a、OF1=c，又c2=a2+b2，
故∠OAF1=90°，又F1A=12F1B，故OF1=OB，
则∠OF1A=∠OBA，则∠BOF2=∠OF1A+∠OBA=2∠OF1A，
∠AOF1=90°−∠OF1A，故2∠OF1A=90°−∠OF1A，
即∠OF1A=30°，即∠BOF2=2∠OF1A=60°，
即ba=tan60°=3，则e=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=1+32=2.
故选：B.
7．（5分）（2023·四川南充·统考一模）如图1是函数f(x)=csπ2x的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中gx的部分图象，则（ ）
A．g(x)=f2x−12B．g(x)>12的解集为16+2k,56+2k，k∈Z
C．g20233=−32D．方程g(x)=lg14x有4个不相等的实数解
【解题思路】由两个函数的图象分析得到gx的解析式，可判断选项A；根据gx的函数图象可判断选项B；根据gx的周期性可判断选项C；在同一个坐标系中作出y=gx和y=lg14x的图象可判断选项D.
【解答过程】由图知，gx的图象可看作将f(x)=csπ2x的图象先向右平移一个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到的，
∴ gx=f2x−1=csπ22x−1=csπx−π2=sinπx，
对于A，f2x−12=csπx−π4≠gx，故A错误；
对于B，要使g(x)>12，则π6+2kπ<πx<5π6+2kπ,k∈Z，
解得16+2k对于C，∵ gx的最小正周期为2，
∴ g20233=g674+13=g13=sinπ3=32，故C错误；
对于D，∵ y=lg14x在0,+∞单调递减，且y=lg14x的图象过点14,1和4,−1，
∴函数y=gx与函数y=lg14x的图象有5个交点，如图所示，
∴方程g(x)=lg14x有5个不相等的实数解，故D错误.
故选：B.
8．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知a=e2ln3，b=ee−1，c=e32ln2，则有（ ）
A．a【解题思路】函数fx=ex−1lnx,x>1，则a=f3,b=fe,c=f4，确定函数fx的单调性，通过单调性可确定大小.
【解答过程】把a，b，c变形得a=e3−1ln3，b=ee−1lne，c=e4−1ln4，
所以构造函数fx=ex−1lnx,x>1，则a=f3,b=fe,c=f4.f′x=ex−1lnx−1xex−1lnx2=ex−1lnx−1xlnx2,x>1，
令gx=lnx−1x，则g′x=1x+1x2>0在1,+∞上恒成立，
所以gx在区间1,+∞上单调递增，因为ge=lne−1e=1−1e>0，
所以f′x>0在e,+∞上恒成立，
所以函数fx=ex−1lnx在e,+∞上单调递增，
所以fe故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）（2023·广东广州·统考模拟预测）某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．图中a的值为0.015
B．样本的第25百分位数约为217
C．样本平均数约为198.4
D．在被调查的用户中，用电量落在170,230内的户数为108
【解题思路】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可.
【解答过程】对A，20(0.006+0.007+0.01+0.012+a)=1，
所以a=0.015，故A正确；
对B设样本的第25百分位数约为b，，
则20×0.007=0.14<0.25
20(0.007+0.012)=0.38>0.25，
所以b∈170,190，故B错误；
对C，样本平均数为：20(160×0.007+180×0.012+200×0.015+220×0.01+240×0.006)=198.4，
故C正确；
对D，用电量落在170,230内的户数为：
20(0.012+0.015+0.01)×200=148，故D错误.
故选：AC.
10．（5分）（2023·全国·模拟预测）如图①，四边形ABCD是两个直角三角形拼接而成，AB=1，BD=2，∠ABD=∠C=90°，∠BDC=45°.现沿着BD进行翻折，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，得到三棱锥A−BCD（如图②），则下列选项中正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ACD
B．二面角B−AD−C的大小为60°
C．异面直线AD与BC所成角的余弦值为33
D．三棱锥A−BCD外接球的表面积为π
【解题思路】A选项，面面垂直⇒线面垂直⇒ CD⊥平面ABC⇒平面ABD⊥平面ACD；
B、C选项，建立空间直角坐标系，利用直线方向向量和平面法向量求解；
D选项，三棱锥的外接球，寻求斜边中点（球心位置）.
【解答过程】A项，平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AB⊥BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面BCD，
因为CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC.
因为CD⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD，选项A正确.
B，C选项，以B为原点，过B在平面BCD内作BD的垂线为x轴，直线BD为y轴，直线AB为z轴，建立空间直角坐标系，
则B0,0,0,A0,0,1,C22,22,0,D0,2,0，则AC=22,22,−1，AD=0,2,−1,BC=22,22,0.
易知平面ABD的一个法向量为n1=1,0,0.设平面ACD的法向量为n2=x,y,z，
则n2⋅AC=0,n1⋅AD=0,即22x+22y−z=0,2y−z=0,取z=2，则x=1,y=1，则n2=1,1,2，
由图可知二面角B−AD−C为锐角，则二面角B−AD−C的余弦值为csn1,n2=n1⋅n2n1n2=11×2=12，
即二面角B−AD−C的大小为60°，选项B正确；csAD,BC=AD⋅BCADBC=0,2,−1⋅22,22,03×1=33，选项C正确；
D项，取AD的中点N，因为△ABD与△ACD都是直角三角形，所以点N到A，B，C，D的距离相等，即为三棱锥A−BCD外接球的球心，
球半径为32，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为4π×322=3π，选项D错误.
故选：ABC.
11．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C的焦点为F0,1，点M在C的准线上，过点M作两条均不垂直于x轴的直线l1，l2，使得l1,l2与抛物线C均只有一个公共点，分别为P,Q，则（ ）
A．抛物线C的方程为x2=4yB．l1⊥l2
C．直线PQ经过点FD．△PQM的面积为定值
【解题思路】选项A，根据题意设出抛物线方程，结合焦点坐标即可得抛物线方程；选项B，设出点M的坐标及直线l1，l2的方程，与抛物线方程联立，结合直线与抛物线只有一个公共点及根与系数的关系可得k1k2=−1，进而可得l1⊥l2；选项C，写出直线PQ的两点式方程，化为点斜式，可得直线PQ经过点F；选项D，根据l1⊥l2写出S△PQM的表达式，利用基本不等式可得解．
【解答过程】选项A：由题可设抛物线C的方程为x2=2pyp>0，
所以p2=1,p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y，故A正确．
选项B：易知C的准线方程为y=−1，故可设点M的坐标为x0,−1，
直线l1的斜率为k1，则直线l1的方程为y+1=k1x−x0，即y=k1x−1+k1x0，
与抛物线C的方程x2=4y联立，消去y并整理得14x2−k1x+1+k1x0=0．
因为l1与抛物线C只有一个公共点P，所以Δ1=k12−4×14×1+x0k1=0，
所以k12−x0k1−1=0．设直线l2的斜率为k2，同理可得k22−x0k2−1=0，
所以k1,k2是一元二次方程x2−x0x−1=0的两个实数根，
所以k1k2=−1，所以l1⊥l2，故B正确．
选项C：设Px1,y1,Qx2,y2，则直线PQ的方程为x−x1x2−x1=y−y1y2−y1，
由B可得x1=2k1,x2=2k2,y1=k12,y2=k22,k1+k2=x0,k12−x0k1=1，
所以x−2k12k2−2k1=y−k12k22−k12，化简并整理得y=x02x+1，
所以直线PQ经过点F0,1，故C正确．
选项D：解法一 因为l1⊥l2，所以S△PQM=12PMQM
=12x1−x02+y1+12x2−x02+y2+12
=1220+k16+k26+6k14+k24+15k12+k22
≥12×20+2+6×2+15×2
=4
当且仅当k12=k22=1时取等号，所以D错误．
解法二 设直线PQ的方程为y=kx+1，代入抛物线方程x2=4y，
整理得x2−4kx−4=0，设Px1,y1,Qx2,y2，则x1+x2=4k,x1x2=−4．
所以PQ=1+k2x1−x2=41+k2，
因为x1+x2=2k1+2k2=2k1+k2=2x0，所以x0=2k，
则点M到直线PQ的距离d=kx0+1+11+k2=21+k2，
所以S△PQM=12PQd=41+k21+k2≥4，当且仅当k=0时取等号，故D错误．
故选：ABC.
12．（5分）（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知fx=aex+ex2，gx=ax−2e2x−x+2，a≠0则（ ）
A．当a=−1时，fx为奇函数
B．当a=1时，存在直线y=t与y=fx有6个交点
C．当a∈−1e2,0时，gx在0,+∞上单调递减
D．当a<−1时，gx在0,+∞上有且仅有一个零点
【解题思路】AB两个选项比较好判断；对C，可以利用函数在给定区间上的单调性，分离参数，转化为恒成立问题求参数的取值范围；对D，分析函数的单调性和一些特殊点的函数值符号，判断零点个数.
【解答过程】当a=−1时，fx=0，可以说是奇函数，故A正确；
当a=1时，fx=ex在R上单调递增，与y=t最多一个交点，故B错误；
因为gx=ax−2e2x−x+2，所以g'x=ae2x+2x−2e2x−1 =ae2x2x−3−1.
对C：gx在0,+∞上递减，需有ae2x2x−3−1≤0（x>0）恒成立.
当x>32时，a≤1e2x2x−3，又1e2x2x−3>0，且当x→+∞时，1e2x2x−3→0，所以a<0.
当0设ℎx=e2x2x−3，则ℎ'x=e2x4x−4，由ℎ'x>0 ⇒ x>1，所以ℎx在0,1上递减，在1,32上递增，
所以ℎx的最小值为ℎ1=−e2，所以a≥−1e2.
所以a<0且a≥−1e2，即a∈[−1e2,0).故C正确；
对D：设mx=ae2x2x−3−1，则m'x=4ae2xx−1.因为a<−1，所以当00；当x>1时，m'x<0.
所以mx在0,1上递增，在1,+∞上递减，所以mx的最大值为m1=−ae2−1>0，
又m0= −3a−1>0，所以mx=0只在1,+∞有一解，设为x0即ae2x02x0−3−1=0，
所以gx在0,x0上递增，在x0,+∞上递减.
且g0=−2a+1>0，且当x→+∞时，gx=ax−2e2x−x+2→−∞，所以gx在0,+∞上有且仅有一个零点.故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2023·四川成都·石室中学校考一模）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件A为“4个人去的景点各不相同”，事件B为“只有甲去了锦水文风”，则PAB= 29 .
【解题思路】根据题意先分别求出PB,PAB，再根据条件概率公式即可得解.
【解答过程】由题意可知，4人去4个不同的景点，总事件数为44=256，事件B的总数为33=27，
所以P(B)=27256，
事件A和事件B同时发生，
即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，
则事件AB的总数为A33=6，
所以P(AB)=6256，
所以PAB=P(AB)P(B)=625627256=29.
故答案为：29.
14．（5分）（2023·四川成都·统考一模）记Sn为等差数列an的前n项和．若S7=14，且a3,a4,a6成等比数列，则a2024的值为 2022或2 ．
【解题思路】先根据条件列关于首项和公差的方程，解出后即可求a2024.
【解答过程】设等差数列an的公差为d，
则S7=7a1+21d=14①，
又因为a3,a4,a6成等比数列，
所以a42=a3a6，即a1+3d2=a1+2da1+5d②，
由①②解得a1=−1,d=1或a1=2,d=0，
所以a2024=a1+2023d=−1+2023=2022，或a2024=a1+2023d=2+0=2
故答案为：2022或2.
15．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=x2−x+2ex，则函数fx的图象在x=1处的切线方程为 3ex−y−e=0 ．
【解题思路】对fx求导，求出切线的斜率，然后利用点斜式求解即可.
【解答过程】因为fx=x2−x+2ex，
所以f′x=2x−1ex+x2−x+2ex=x2+x+1ex，
∴fx的图象在x=1处的切线斜率为k=f′1=3e，
又f1=2e，所以切点为1,2e，
所以fx的图象在x=1处的切线方程为：
y−2e=3ex−1，即3ex−y−e=0．
故答案为：3ex−y−e=0.
16．（5分）（2023·全国·模拟预测）如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上、下底面的棱长分别为2和3，侧棱长为2，分别延长AA1，BB1，CC1，DD1交于点P，则四棱锥P−A1B1C1D1的体积为 463 ．

【解题思路】作出辅助线，得到线面垂直，进而利用勾股定理和相似知识得到棱台的高，进而求出四棱锥P−A1B1C1D1的高，求出体积.
【解答过程】如图，过点P作PO⊥底面ABCD于点O，交平面A1B1C1D1于点O1，
则PO1⊥平面A1B1C1D1，
过点B1作B1E⊥底面ABCD于点E，

又BD⊂平面ABCD，
则B1E⊥BD，且O，B，D，E四点共线，O1，B1，D1三点共线．
上、下底面的棱长分别为2和3，侧棱长为2，
故B1D1=22,BD=32，
在Rt△B1BE中，BB1=2，BE=BD−B1D12=32−222=22，
∴由勾股定理得B1E=B1B2−BE2=62，
∵ B1E∥OP，
∴ B1EOP=BEOB，
∴ OP=B1E⋅OBBE=62×32222=362．
又OO1= B1E=62，
∴ PO1=OP−OO1=6，
∴四棱锥P− A1B1C1D1的体积为13×22×6=463．
故答案为：463.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A−2sinAcsBsinC+sin2C=34．
(1)求角B的值．
(2)求a+c2b的取值范围．
【解题思路】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可得结果；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换整理得a+c2b=sinA+π6，结合正弦函数性质分析求解.
【解答过程】（1）设△ABC的外接圆半径为R．
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，得sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R．
因为sin2A−2sinAcsBsinC+sin2C=34，则a24R2−2⋅a2R⋅csB⋅c2R+c24R2=34，
整理得a2+c2−2accsB=3R2，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB得b2=3R2，即sin2B=b24R2=34，
又因为B∈0,π2，则sinB>0，可得sinB=32，所以B=π3．
（2）由正弦定理可得a+c2b=sinA+sinC2sinB，
则a+c2b=sinA+sin2π3−A3=32sinA+12csA=sinA+π6
因为△ABC是锐角三角形，则0π2，解得π6则π3所以a+c2b的取值范围是32,1．
18．（12分）（2023·全国·模拟预测）数列an的前n项和Sn满足2Sn=3an−2n．
(1)令bn=an+1，求bn的通项公式；
(2)令cn=2lg3an+1+3bnn2+n，设cn的前n项和为Tn，求证：Tn<1．
【解题思路】（1）根据题意，当n=1时，解得a1=2，当n≥2时，2an=2Sn−2Sn−1=3an−3an−1−2，可得an=3an−1+2，当n≥2时，an+1=3an−1+1，即当n≥2时，bn=3bn−1，即可得解；
（2）由（1）知，cn=2lg3an+1+3bnn2+n=2n+33nn2+n=1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n，求和即可.
【解答过程】（1）因为2Sn=3an−2n，所以当n=1时，2S1=2a1=3a1−2，解得a1=2；
当n≥2时，2Sn−1=3an−1−2(n−1)，
两式相减得2an=3an−3an−1−2，即an=3an−1+2．
所以当n≥2时，an+1=3an−1+1，
即当n≥2时，bn=3bn−1，且b1=3，
所以bn是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以bn=3×3n−1=3n．
（2）由（1）知bn=an+1=3n，
则cn=2lg3an+1+3bnn2+n=2n+33nn2+n=1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n，
所以Tn=c1+c2+c3+⋯+cn
=11×30−12×31+12×31−13×32+⋯+1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n=1−1(n+1)⋅3n．
因为1(n+1)⋅3n>0，所以Tn<1．
19．（12分）（2023·陕西榆林·校考模拟预测）由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取400名进行调查，得到统计数据如下表：
(1)根据以上数据，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取4次.记被抽取的4人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.
参考公式：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
附：
【解题思路】（1）计算出χ2的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知，X~B4,25，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，进而可求得EX的值.
【解答过程】（1）零假设为H0:保护动物意识的强弱与性别无关联.
由题意，χ2=400×140×120−60×802200×200×220×180=40011≈36.364>10.828=x0.001，
所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为保护动物意识的强弱与性别有关联.
（2）由题意可知：在女性的市民中抽到1人，
抽中“保护动物意识强”的女性市民的概率为80200=25，
所以X的所有可能取值为0、1、2、3、4，由题意可知，X~B4,25，
PX=0=C40×1−254=81625，PX=1=C41×25×1−253=216625，
PX=2=C42×252×1−252=216625，PX=3=C43×253×1−25=96625，
PX=4=C44×254=16625，
所以X的分布列为
所以EX=0×81625+1×216625+2×216625+3×96625+4×16625=85.
20．（12分）（2023·全国·校联考模拟预测）如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F,G为SB的中点，∠ABC=∠BAD=π2,SA=AB=BC=12AD=1.

(1)求证：BD //平面AEG；
(2)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为π6？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由.
【解题思路】（1）用向量法证明即可；
（2）假设存在，根据线面角的公式运算即可得解.
【解答过程】（1）以A为原点建立如图所示的坐标系，

∴B(1,0,0)，D(0,2,0)，E(0,2,1)，G(12,0,12)，
∴BD=(−1,2,0)，AE=(0,2,1)，AG=(12,0,12)，
设面AEG的法向量为m=(x,y,z)，
∴2y+z=012x+12z=0，令x=1，则m=(1,12,−1)，
∴BD⋅m=0，
∵BD⊄平面AEG，BD⋅m=0，
∴BD//平面AEG；
（2）假设存在点H，设GH=λGE=(−12λ,2λ,12λ)，
则BH=BG+λGE=(−12−12λ,2λ,12+12λ)，
设面SCD法向量n=(a,b,c)，
∵SC=(1,1,−1)，CD=(−1,1,0)，
∴a+b−c=0−a+b=0，令a=1，则n=(1,1,2)，
∴sinπ6=|cs|=|−12−12λ+2λ+1+λ|6×4λ2+12(1+λ)2=12，
∴(λ−1)2=0，即λ=1，
∴GH=(−12,2,12)，
故存在满足题意的点H，此时|GH|=|GH|=322.
21．（12分）（2023·广西·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直线l：x+y−2=0过C的右焦点F，椭圆的长轴长是下顶点到直线l的距离的2倍.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A−2,0，B2,0，M，N是椭圆C上不同于A，B的两点（其中M在x轴上方），若直线BN的斜率等于直线AM的斜率的2倍，求四边形AMBN面积的最大值.
【解题思路】（1）根据题设得c=2且a=b+22，即可求出椭圆方程；
（2）设直线AM的方程为y=kx+2，k>0，Mx1,y1，联立椭圆，应用韦达定理用k表示出M坐标，进而得到直线BN的方程为y=2kx−2，设Nx2,y2，同理用k表示出N坐标，最后得到四边形AMBN面积关于k的表达式，结合基本不等式求最大值.
【解答过程】（1）设椭圆的焦距为2c，直线l恒过点2,0，所以c=2.
椭圆的下顶点0,−b到直线l的距离d=b+22，
由题意得a=b+22a2=b2+2，解得a=2,b=2.
椭圆C的标准方程为x24+y22=1.
（2）由题意，设直线AM的斜率为k（k>0），即直线AM的方程为y=kx+2，
联立直线AM与椭圆方程y=kx+2x24+y22=1，化简整理得2k2+1x2+8k2x+8k2−4=0，Δ=64k4−42k2+18k2−4=16>0，
设Mx1,y1，由韦达定理得−2x1=8k2−42k2+1，即x1=2−4k22k2+1，y1=kx1+2=4k2k2+1，
直线BN的斜率等于直线AM的斜率的2倍，直线BN的方程为y=2kx−2，
设Nx2,y2，同理得x2=16k2−28k2+1，y2=2kx2−2=−8k8k2+1，
则四边形AMBN的面积S=12×4×y1−y2 =24k2k2+1+8k8k2+1=24×4k3+k2k2+18k2+1=24×4k+1k8k+1k2k+1k
=24×4k+1k16k2+1k2+10=24×4k+1k4k+1k2+2=244k+1k+24k+1k，
令t=4k+1k，则4k+1k≥24k⋅1k=4，当且仅当k=12等号成立，
则S=24t+2t≤244+24=163，故S的最大值为163.

22．（12分）（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=13x3−12ax2+2csx+xcsx−sinx.
(1)讨论fx的单调性
(2)若a>0，求证：
①函数fx在0,+∞上只有1个零点；
②fx>1−16a3−12a2−2sina+π4.
【解题思路】（1）求导得f′x=x−ax−sinx，分别确定gx=x−sinx和函数y=x−a的正负，结合分类讨论，即可求解，
（2）根据函数函数单调性，即可求证只有一个零点，构造函数ℎa=12a2+csa−1，即可由导数确定单调性求证.
【解答过程】（1）因为fx=13x3−12ax2+2csx+xcsx−sinx，
所以f′x=x2−ax+asinx−xsinx=x−ax−sinx.
设gx=x−sinx，则g′x=1−csx≥0，
所以gx在R上单调递增，且g0=0，
所以当x>0时，x−sinx>0；当x<0时，x−sinx<0.
当a=0时，f′x=xx−sinx≥0，
所以fx在R上单调递增.
当a>0时，若x∈0,a，则f′x<0，所以fx单调递减；
若x∈−∞,0或x∈a,+∞，则f′x>0，所以fx单调递增.
当a<0时，若x∈a,0，则f′x<0，所以fx单调递减；
若x∈−∞,a或x∈0,+∞，则f′x>0，所以fx单调递增.
综上所述，当a=0时，fx在R上单调递增；
当a>0时，fx在0,a上单调递减，在−∞,0，a,+∞上单调递增；
当a<0时，fx在a,0上单调递减，在−∞,a，0,+∞上单调递增.
（2）①由（1）知，当a>0时，fx在0,a上单调递减，在a,+∞上单调递增，
又f0=−a<0，所以fa因为x>0，所以
f(x)=13x3−12ax2+2csx+xcsx−sinx>13x3−12ax2+2−x−1
=19x2x−92a+19xx2−9+19x3−a+1
所以当x>92ax>3x>39a+9时，fx>0，
此时fx在a,+∞上只有1个零点.
综上可得，fx在0,+∞上只有1个零点.
②由a>0，知fx在0,a上单调递减，在a,+∞上单调递增，
所以fx≥fa=−16a3−sina，
所以fa+16a3+12a2+2sina+π4−1=12a2+csa−1.
设ℎa=12a2+csa−1，则ℎ′a=a−sina.
由（1）知，当a>0时，a−sina>0，
所以当a>0时，ℎ′a>0，
所以ℎ′a>0在0,+∞上单调递增，所以ℎa>ℎ0=0，
即fa>1−16a3−12a2−2sina+π4，
所以fx>1−16a3−12a2−2sina+π4.
保护动物意识强
保护动物意识弱
合计
男性
140
60
200
女性
80
120
200
合计
220
180
400
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
4
P
81625
216625
216625
96625
16625