北京首师大附中2024年九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份北京首师大附中2024年九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列图形：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形中是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、（4分）为了解我市八年级8000名学生期中数学考试情况,从中抽取了500名学生的数学成绩进行统计,下列说法正确的是（ ）
A．这种调查方式是普查B．每名学生的数学成绩是个体
C．8000名学生是总体D．500名学生是总体的一个样本
3、（4分）小明得到育才学校数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表：
那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（ ）
A．众数，中位数B．中位数，方差C．平均数，中位数D．平均数，方差
4、（4分）如图，已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形
5、（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，正方形的边长为2，点为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为.连接CF，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列各式中，一定是二次根式的是
A．B．C．D．
8、（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）平面直角坐标系xOy中，直线y＝11x﹣12与x轴交点坐标为_____.
10、（4分）如图,菱形ABCD的周长为12,∠B=60°,则菱形的面积为_________m2
11、（4分）如图，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使C点落在C′处，BC′交边AD于点E，若∠ADC′=40°，则∠ABD的度数是_____．
12、（4分）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则an＝__________（用含n的代数式表示）．
13、（4分）在平面直角坐标xOy中，点O是坐标原点，点B的坐标是(m，m-4)，则OB的最小值是__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线 OA 向下平移后得到直线 l，与反比例函数的图象交于点 B（6，m），求 m 的值和直线 l 的解 析式；
（3）在（2）中的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 C、D，求四边形 OABC 的面积．
15、（8分）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于F.
（1）直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，过点A作AM⊥BE ,AM交DB的延长线于点F，其他条件不变.问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由；
（3）如图3，当BC=CE时，求∠EAF的度数.
16、（8分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为48°，测得底部处的俯角为58°，求乙建筑物的高度.（参考数据：，，，.结果取整数）
17、（10分）教材第97页在证明“两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似”（如图，已知，求证：）时，利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为前两节课已经解决的方法（即已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似）．利用上述方法完成这个定理的证明．

18、（10分）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度，按要求作图：
①画出关于原点的中心对称图形；
②画出将绕点逆时针旋转得到
③请在网格内过点画一条直线将平分成两个面积相等的部分．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知，是关于的一元二次方程的两个实根，且满足，则的值等于__________．
20、（4分）一次函数的图像在轴上的截距是__________.
21、（4分）如图，如果要使 ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是________.
22、（4分）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这7名同学成绩的______________（填”平均数”“众数”或“中位数”）
23、（4分）已知边长为5cm的菱形，一条对角线长为6cm，则另一条对角线的长为________cm．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算：（2-）×
25、（10分）（1）因式分解：；
（2）计算：
26、（12分）如图，点N(0，6)，点M在x轴负半轴上，ON＝3OM.A为线段MN上一点，AB⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C．
(1)写出点M的坐标；
(2)求直线MN的表达式；
(3)若点A的横坐标为－1，求矩形ABOC的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解．
【详解】
平行四边形不是轴对称图形，
矩形是轴对称图形，
菱形是轴对称图形，
等腰梯形是轴对称图形，
正方形是轴对称图形，
所以，轴对称图形的是：矩形、菱形、等腰梯形、正方形共4个.
故选D.
此题考查轴对称图形，解题关键在于掌握其定义.
2、B
【解析】
总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．本题考察的对象是我校八年级学生期中数学考试成绩，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】
A、很明显，这种调查方式是抽样调查．故A选项错误；
B、每名学生的数学成绩是个体，正确；
C、8000名学生的数学成绩是总体，故C选项错误；
D、500名学生的数学成绩是总体的一个样本，故D选项错误，
故选B.
本题考查了抽样调查与全面调查，总体、个体与样本，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本．关键是明确考察的对象，总体、个体与样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3、A
【解析】
由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【详解】
由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10，
则总人数为：5+15+10=30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：=14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选A．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
4、A
【解析】
试题分析：如图：
∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，GH=BD，EH=AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，EF=BD，EH=AC，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形．
故选B．
考点：1.三角形中位线定理；2.菱形的判定．
5、C
【解析】
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】
A．|a|与不是同类二次根式；
B．与不是同类二次根式；
C．2与是同类二次根式；
D．与不是同类二次根式．
故选C．
本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
6、D
【解析】
连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB，由勾股定理可求BE的长，由三角形面积公式可求AO的长，由折叠的性质可得AO=OH= ，AB=BF=2，由勾股定理可求BN，FN的长，由矩形的性质可求FM，MC的长，由勾股定理可求CF的长．
【详解】
解：如图，连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB,
∵AB∥CD，MN⊥AB,
∴MN⊥CD，
∵AB=2=AD，点E是AD中点,
∴AE=1，
∴EB=,
∵S△ABE=×AB×AE=×BE×AO,
∴2×1=AO,
∴AO=,
∵将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F,
∴AO=OH=，AB=BF=2，
∴AF=,
∵AF2-AN2=FN2，BF2-BN2=FN2，
∴AF2-AN2=BF2-BN2，
∴-（2-BN）2=4-BN2，
∴BN=,
∴FN=,
∵MN⊥AB，MN⊥CD，∠DCB=90°,
∴四边形MNBC是矩形,
∴BN=MC=，BC=MN=2,
∴MF=,
∴CF=.
故选：D．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，勾股定理，利用勾股定理列出等式求线段的长是本题的关键．
7、C
【解析】
根据二次根式的定义进行判断．
【详解】
解：A．无意义，不是二次根式；
B.当时，是二次根式，此选项不符合题意；
C.是二次根式，符合题意；
D.不是二次根式，不符合题意；
故选C．
本题考查了二次根式的定义，关键是掌握把形如的式子叫做二次根式．
8、B
【解析】
根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，最后用数轴表示解集．
【详解】
所以这个不等式的解集是-3≤x＜1，
用数轴表示为
故选B
此题考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、 (，0).
【解析】
直线与x轴交点的横坐标就是y＝0时，对应x的值，从而可求与x轴交点坐标．
【详解】
解：当y＝0时，0＝11x﹣12
解得x＝，
所以与x轴交点坐标为(，0)．
故答案为(，0)．
本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数与坐标轴的交点的求法是解题的关键．
10、
【解析】
首先根据已知求得菱形的边长，再根据勾股定理求得其两条对角线的长，进而求出菱形的面积．
【详解】
解：菱形的周长为12，
菱形的边长为3，
四边形是菱形，且，
为等边三角形，，
，
，
菱形的面积，
故答案为
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一般，此题难度不大．
11、65°
【解析】
直接利用翻折变换的性质得出∠2=∠3=25°，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠C′ED，
故∠1=∠ADC′=40°，
则∠2+∠3=50°，
∵将矩形ABCD沿直线BD折叠，使C点落在C′处，
∴∠2=∠3=25°，
∴∠ABD的度数是：∠1+∠2=65°，
故答案为65°．
本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质，正确得出∠2=∠3=25°是解题关键．
12、3n+1．
【解析】
试题分析：从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．
试题解析：故剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．
考点：规律型：图形的变化类．
13、
【解析】
利用勾股定理可用m表示出OB的长，根据平方的非负数性质即可得答案．
【详解】
∵点B的坐标是(m，m-4)，
∴OB==，
∵(m-2)2≥0，
∴2(m-2)2+8≥8，
∴的最小值为=，即OB的最小值为，
故答案为：
本题考查勾股定理的应用及平方的非负数性质，熟练掌握平方的非负数性质是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)正比例函数的解析式为y=x,反比例函数的解析式为y=； (2)直线l的解析式为y=x； (3)S四边形OABC=.
【解析】
（1）利用待定系数法，由正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），即可求得解析式；
（2）由点B在反比例函数图象上，即可求得m的值；又由此一次函数是正比例函数平移得到的，可知一次函数与反比例函数的比例系数相同，代入点B的坐标即可求得解析式；
（3）构造直角梯形AEFD，则通过求解△ABE、△BDF与直角梯形ADFE的面积即可求得△ABD的面积．
【详解】
(1)设正比例函数的解析式为y=ax,反比例函数的解析式为y=，
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3)，
∴3=3a,3=，
∴a=1，b=9，
∴正比例函数的解析式为y=x,反比例函数的解析式为y=；
(2)∵点B在反比例函数上，
∴m==，
∴B点的坐标为(6,)，
∵直线BD是直线OA平移后所得的直线，
∴可设直线BD的解析式为y=x+c，
∴=6+c，
∴c=，
∴直线l的解析式为y=x；
(3)过点A作AE∥x轴，交直线l于点E，连接AC.
∵直线l的解析式为y=x,A(3,3)，
∴点E的坐标为(,3),点C的坐标为(,0).
∴AE=−3=,OC=，
∴S四边形OABC=S△OAC+S△ACE−S△ABE=××3+××3−××=.
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求解析式和反比例函数与一次函数的交点问题.
15、 (1) OE=OF; (2) OE=OF仍然成立，理由见解析;(3)67.5°.
【解析】
分析：（1）根据正方形的性质利用ASA判定△AOF≌△BOE，根据全等三角形的对应边相等得到OE=OF；
（2）类比（1）的方法证得同理得出结论成立；
（3）由BC=CE， 可证AB=BF，从而∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，然后根据∠EAF=∠FAB+∠BAO计算即可.
详解：（1）OE=OF;
（2）OE=OF仍然成立，理由是：
由正方形ABCD对角线垂直得，∠BOC=90°，
∵AM⊥BE ∴∠BMF=90°，
∴∠BOC=∠BMF.
∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E，
又∵AO=BO，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF;
（3）由（2）得OE=OF，且OB=OC，则BF=CE，
∵BC=CE，
∴AB=BF，
∴∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，
又∵∠BAO=45°，
∴∠EAF=∠FAB+∠BAO=22.5°+45°=67.5°.
点睛：本题考查正方形的性质,三角形全等的判定与性质,三角形外角的性质，是一道结论探索性问题.解答此类题我们要从变化中探究不变的数学本质,再从不变的数学本质出发,寻求变化的规律,通过观察,试验,归纳,类比等获得数学猜想,并对所作的猜想进行严密的逻辑论证,考查了学生对知识的迁移能力,分析问题,解决问题的能力.
16、38m.
【解析】
作AE⊥CD交CD的延长线于点E，根据正切的定义分别求出CE、DE，结合图形计算即可．
【详解】
如图,作AE⊥CD交CD的延长线于点E,则四边形ABCE是矩形,
∴AE=BC=78m，
在Rt△ACE中,tan∠CAE=，
∴CE=AE⋅tan58°≈78×1.60=124.8(m)
在Rt△ADE中,tan∠DAE=，
∴DE=AE⋅tan48°≈78×1.11=86.58(m)
∴CD=CE−DE=124.8−86.58≈38(m)
答：乙建筑物的高度CD约为38m.
此题考查解直角三角形，三角函数，解题关键在于作辅助线和掌握三角函数定义.
17、见解析
【解析】
在AB上截取AG=DE，作GH∥BC，则可得△AGH∽△ABC，再由已知条件证明△AGH≌△DEF即可证明：△ABC∽△DEF．
【详解】
证明：在上截取，作．
．
．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．
18、（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析
【解析】
（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）根据三角形面积公式作图即可．
【详解】
（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求．
（3）如图所示，直线CD即为所求．
本题考查了方格作图的问题，掌握中心对称的性质、旋转的性质、三角形面积公式是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、-1
【解析】
根据根的存在情况限定△≥0；再将根与系数的关系代入化简的式子x1•x2＋2（x2＋x1）＋4＝13，即可求解；
【详解】
解：∵x1，x2是关于x一元二次方程x2＋（3a−1）x＋2a2−1＝0的两个实根，
∴△＝a2−6a＋5≥0
∴a≥5或a≤1；
∴x1＋x2＝−（3a−1）＝1−3a，x1•x2＝2a2−1，
∵（x1＋2）（x2＋2）＝13，
∴整理得：x1•x2＋2（x2＋x1）＋4＝13，
∴2a2−1＋2（1−3a）＋4＝13，
∴a＝4或a＝−1，
∴a＝−1；
故答案为−1.
本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握根与系数的关系，一元二次方程的解法是解题的关键．
20、1
【解析】
求得一次函数与y轴的交点的纵坐标即为一次函数y=x+1的图象在y轴上的截距．
【详解】
解：令x=0，得y=1；
故答案为：1．
本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
21、AB＝BC(答案不唯一)
【解析】
试题解析：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=BC或AC⊥BD．
22、中位数
【解析】
七名选手的成绩，如果知道中位数是多少，与自己的成绩相比较，就能知道自己是否能进入前四名，因为中位数是七个数据中的第四个数，
【详解】
解：因为七个数据从小到大排列后的第四个数是这七个数的中位数，知道中位数，然后与自己的成绩比较，就知道能否进入前四，即能否参加决赛．
故答案为：中位数．
考查中位数、众数、平均数反映一组数据的特征，中位数反映之间位置的数，说明比它大的占一半，比它小的占一半；众数是出现次数最多的数，平均数反映一组数据的平均水平和集中趋势，理解意义是正确判断的前提．
23、8
【解析】
根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是1．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是4，则另一条对角线的长是8.
【详解】
解：在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，
因为对角线互相垂直平分，
所以∠AOB=90°，AO=1，
在RT△AOB中，BO=，
∴BD=2BO=8.
注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、．
【解析】
试题分析：原式利用乘法分配律计算即可得到结果．
试题解析：原式=2
=
=．
考点：二次根式的混合运算．
25、（1）y（x-2）2；（2） ．
【解析】
（1）先提公因式，再利用完全平方公式矩形因式分解；
（2）根据分式的减法运算法则计算．
【详解】
解：（1）x2y-4xy+4y
=y（x2-4x+4）
=y（x-2）2；
（2）
=
=
=
= ．
故答案为：（1）y（x-2）2；（2） ．
本题考查因式分解、分式的加减运算，掌握提公因式法、完全平方公式因式分解、分式的加减法法则是解题的关键．
26、 (1)(－2，0)；(2)该y＝3x＋6；(3) S矩形ABOC＝3.
【解析】
（1）由点N（0，6），得出ON=6，再由ON=3OM，求得OM=2，得出点M的坐标；
（2）设出直线MN的解析式为：y=kx+b，代入M、N两点求得答案即可；
（3）将A点横坐标代入y=3x+6，求出纵坐标，即可表示出S矩形ABOC．
【详解】
(1)∵N（0，6）
∴ON=6
∵ON=3OM
∴OM=2
∴M点坐标为(－2，0)；
(2)该直线MN的表达式为y＝kx＋b，分别把M(－2，0)，N(0，6)代入，
得 解得
∴直线MN的表达式为y＝3x＋6.
(3)在y＝3x＋6中，当x＝－1时，y＝3，∴OB＝1，AB＝3，
∴S矩形ABOC＝1×3＝3.
本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式和利用一次函数解决实际问题和矩形的面积的运用，解题关键是利用图像进行解题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
5
15
x
10-x
所剪次数
1
2
3
4
…
n
正三角形个数
4
7
10
13
…
an