北京市教院附中2025届九年级数学第一学期开学统考模拟试题【含答案】

这是一份北京市教院附中2025届九年级数学第一学期开学统考模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
2、（4分）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（ ）
A．15尺B．16尺C．17尺D．18尺
3、（4分）（2017广西贵港第11题）如图，在中， ，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 （ ）
A．B．C．D．
4、（4分）甲安装队为 A小区安装 台空调，乙安装队为 B小区安装 台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装 台，设乙队每天安装 台，根据题意，下面所列方程中正确的是
A．B．C．D．
5、（4分）在实数范围内，下列判断正确的是（ ）
A．若，则m=nB．若，则a＞b
C．若，则a=bD．若，则a=b
6、（4分）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若的面积为，那么折叠的的面积为（ ）
A．30B．20C．D．
7、（4分）如图，已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形
8、（4分）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）.
A．8%B．9%C．10%D．11%
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在新年晚会的投飞镖游戏环节中，名同学的投掷成绩（单位：环）分别是：，，，，，，，则这组数据的众数是________．
10、（4分）如图，a∥b，∠1＝110°，∠3＝50°，则∠2的度数是_____．
11、（4分）若a<0，则化简的结果为__________．
12、（4分）试写出经过点，的一个一次函数表达式：________.
13、（4分）方程的根是__________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象。
（1）求s2与t之间的函数关系式；
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
15、（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
16、（8分）如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）
（1）求直线AB的函数的表达式；
（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
（3）求△AOC的面积；
（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．
17、（10分）某同学参加“希望之星”英语口语大赛，7名评委给该同学的打分（单位：分）情况如下表：
（1）直接写出该同学所得分数的众数与中位数；
（2）计算该同学所得分数的平均数.
18、（10分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F．
（1）如图①，证明：BE＝BF．
（2）如图②，若∠ADC＝90°，O为AC的中点，G为EF的中点，试探究OG与AC的位置关系，并说明理由．
（3）如图③，若∠ADC＝60°，过点E作DC的平行线，并在其上取一点K（与点F位于直线BC的同侧），使EK＝BF，连接CK，H为CK的中点，试探究线段OH与HA之间的数量关系，并对结论给予证明．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）二次根式中，字母的取值范围是__________．
20、（4分）为响应“低碳生活”的号召，李明决定每天骑自行车上学，有一天李明骑了1000米后，自行车发生了故障，修车耽误了5分钟，车修好后李明继续骑行，用了8分钟骑行了剩余的800米，到达学校（假设在骑车过程中匀速行驶）．若设他从家开始去学校的时间为t（分钟），离家的路程为y（千米），则y与t（15＜t≤23）的函数关系为________．
21、（4分）若，且，则的值是__________．
22、（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN．若MN＝1，BD，则菱形的周长为________.
23、（4分）比较大小：__________.（用不等号连接)
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
25、（10分）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
26、（12分）世界卫生组织预计：到2025年，全世界将会有一半人面临用水危机，为了倡导“节约用水，从我做起”，某县政府决定对县直属机关300户家庭一年的月平均用水量进行调查，调查小组抽查了部分家庭月平均用水量(单位：吨)，绘制条形图和扇形图如图所示．
(1)请将条形统计图补充完整；
(2)这些家庭月平均用水量数据的平均数是_______，众数是______，中位数是_______；
(3)根据样本数据，估计该县直属机关300户家庭的月平均用水量不超过12吨的约有多少户．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
试题分析：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5，∴=＜＜，∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔，∵甲的平均数是561，乙的平均数是560，∴成绩好的应是甲，∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；故选A．
考点：1．方差；2．算术平均数．
2、C
【解析】
我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为16尺，则B'C=8尺，设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】
解：依题意画出图形，
设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=（x-2）尺，
因为B'E=16尺，所以B'C=8尺
在Rt△AB'C中，82+（x-2）2=x2，
解之得：x=17，
即芦苇长17尺．
故选C．
本题主要考查勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
3、B
【解析】
试题解析：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选B．
4、D
【解析】
根据两队同时开工且恰好同时完工可得两队所用时间相等.由题意得甲队每天安装（x+2）台，所以甲安装66台所有时间为，乙队所用时间为，利用时间相等建立方程.
【详解】
乙队用的天数为：，甲队用的天数为：，
则所列方程为：=
故选D.
5、D
【解析】
根据实数的基本性质，逐个分析即可.
【详解】
A、根据绝对值的性质可知：两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故选项错误；
B、平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负数，故说法错误；
C、两个数可能互为相反数，如a=-3，b=3，故选项错误；
D、根据立方根的定义，显然这两个数相等，故选项正确．
故选:D．
考核知识点：实数的性质.理解算术平方根和立方根性质是关键.
6、D
【解析】
由三角形面积公式可求BF的长，由勾股定理可求AF的长，即可求CF的长，由勾股定理可求DE的长，即可求△ADE的面积．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=6cm，BC=AD，
∵，
即：
∴BF=8（cm）
在Rt△ABF中，（cm）
∵折叠后与重合，
∴AD=AF=10cm，DE=EF，
∴BC=10cm，
∴FC=BC-BF=10-8=2（cm），
在Rt△EFC中，，
∴，解之得：，
∴（cm2），
故选：D．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
7、A
【解析】
试题分析：如图：
∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，GH=BD，EH=AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，EF=BD，EH=AC，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形．
故选B．
考点：1.三角形中位线定理；2.菱形的判定．
8、C
【解析】
分析：设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
详解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1-x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选C．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
直接利用众数的定义得出答案．
【详解】
∵7，1，1，4，1，8，8，中1出现的次数最多，
∴这组数据的众数是：1．
故答案为：1．
本题主要考查了众数的定义，解题的关键是掌握众数的定义：一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数．
10、60
【解析】
根据平行线的性质：两直线平行内错角相等，可得∠BOD=50°，再根据对顶角相等可求出∠2.
【详解】
解：如图所示：
∵直线a∥b，∠3=50°，
∴∠BOD=50°，
又∵∠1=∠BOD+∠2，
∠2=∠1-∠BOD=110°-50°=60°.
故本题答案为：60.
平行线的性质及对顶角相等是本题的考点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
11、-a
【解析】
直接利用二次根式的化简的知识求解即可求得答案．
【详解】
∵a＜0，∴=|a|=﹣a．
故答案为﹣a．
本题考查了二次根式的化简．注意=|a|．
12、y=x+1
【解析】
根据一次函数解析式，可设y=kx+1，把点代入可求出k的值；
【详解】
因为函数的图象过点（1，2），
所以可设这个一次函数的解析式y=kx+1，把（1，2）代入得：2=k+1，
解得k=1，
故解析式为y=x+1
此题考查一次函数解析式，解题的关键是设出解析式；
13、
【解析】
解1x4=31得x1=4或x1=-4（舍），再解x1=4可得．
【详解】
解：1x4=31，
x4=16，
x1=4或x1=-4（舍），
∴x=±1，
故答案为：x=±1．
本题考查解高次方程的能力，利用平方根的定义降幂、求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)s2=-96t+2400（2）小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m
【解析】
（1）首先由小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，求得小明的爸爸用的时间，即可得点D的坐标，然后由E（0，2400），F（25，0），利用待定系数法即可求得答案；
（2）首先求得直线BC的解析式，然后求直线BC与EF的交点，即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，
∴小明的爸爸用的时间为：=25（min），
即OF=25，
如图：设s2与t之间的函数关系式为：s2=kt+b，
∵E（0，2400），F（25，0），
∴，
解得：，
∴s2与t之间的函数关系式为：s2=-96t+2400；
（2）如图：小明用了10分钟到邮局，
∴D点的坐标为（22，0），
设直线BD即s1与t之间的函数关系式为：s1=at+c（12≤t≤22），
∴解得：，
∴s1与t之间的函数关系式为：s1=-240t+5280（12≤t≤22），
当s1=s2时，小明在返回途中追上爸爸，
即-96t+2400=-240t+5280，
解得：t=20，
∴s1=s2=480，
∴小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m．
15、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
16、（2）y＝﹣x+2．（2）x＜﹣2.（3）3；（4）（2，2）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．
【解析】
（2）利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出直线y＝kx+b的图象在直线y＝ax的图象下方的自变量的取值范围即可；
（3）求出点C坐标，利用三角形的面积公式计算即可；
（4）分三种情形分别讨论求解即可解决问题；
【详解】
解：（2）依题意得：，
解得，
∴所求的一次函数的解析式是y＝﹣x+2．
（2）观察图形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
x＜﹣2．
（3）对于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2
∴C（2，0），
∴OC＝2．
∴S△AOC＝×2×3＝3．
（4）
①当点P与B重合时，OP2＝OC，此时P2（0，2）；
②当PO＝PC时，此时P2在线段OC的垂直平分线上，P2（2，2）；
③当PC＝OC＝2时，设P（m．﹣m+2），
∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，
∴m＝2±，
可得P3（2﹣，），P4（2+，﹣），
综上所述，满足条件的点P坐标为：（2，2）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．
本题考查一次函数综合题、一元一次不等式的解、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
17、（1）众数9.4，中位数9.1；（2）平均数9.1.
【解析】
（1）根据众数与中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数的定义求解即可．
【详解】
（1）从小到大排列此数据为：9.1，9.2，9.1，9.1，9.4，9.4，9.4，
数据9.4出现了三次，最多，为众数，
9.1处在第4位为中位数；
（2）该同学所得分数的平均数为（9.1+9.2+9.1×2+9.4×1）÷7=9.1．
本题考查了平均数、众数与中位数，用到的知识点是：给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．平均数=总数÷个数．
18、（1）详见解析；（2）GO⊥AC;（3）AH=OH
【解析】
（1）根据平行线的性质得出∠E＝∠ADF，∠EFB＝∠EDC，再利用ED平分∠ADC，即可解答
（2）连接BG,AG，根据题意得出四边形ABCD是矩形,再利用矩形的性质，证明△ABG≌△CEG,即可解答
（3）连接AK,BK,FK，先得出四边形BFKE是菱形,，再利用菱形的性质证明△KBE,△KBF都是等边三角形,再利用等边三角形的性质得出△ABK≌△CEK，最后利用三角函数即可解答
【详解】
（1）证明：如图①中，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以，AD∥EC，AB∥CD，
所以，∠E＝∠ADF，∠EFB＝∠EDC，
因为ED平分∠ADC，
所以，∠ADF＝∠EDC，
所以，∠E＝∠EFB，
所以，BE＝BF
(2)解:如图⊙中,结论:GO⊥AC
连接BG,AG
∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=90°,
四边形ABCD是矩形,
∠ABC=∠ABE=90°,
由(1)可知:BE=BF,
∵∠EBF=90°,EG=FG,
∴∠E=45°,∠GBF=∠GBE=45°,BG=GE=GF,
∵∠DCE=90°
∴∠E=∠EDC=45°,
∴DC=CE=BA,
∵∠ABG=∠E=45°,AB=EC,BG=EG,
∴△ABG≌△CEG(SAS),
∵GA=GC
∴AO=OC.
∴GO⊥AC
(3)解:如图⊙中,连接AK,BK,FK
∵BF=EK,BF∥EK,
∴四边形BFKE是平行四边形,
∵BF=BE,
∴四边形BFKE是菱形,
∵边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠ABC=60°,∠DCB=∠DAB=120°
∴∠EBF=120°,
∴∠KBE=∠KBF=60°
BF=BE=FK=EK,
∴△KBE,△KBF都是等边三角形,
∴∠ABK=∠CEK=60°,∠FEB=∠FEK=30
∴∠CDE=∠CED=30°
∴CD=CE=BA,
∵BK=EK,
∴△ABK≌△CEK(SAS)
∴AK=CK,∠AKB=∠CKB
∴∠AKC=∠BKE=60°
∴△ACK是等边三角形
∵OA=OC,CH=HK
∴AK=2OH,AH⊥CK,
∴AH=AK·cs30°= AK
∴AH= OH.
此题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
【详解】
根据题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1．
故答案为x≥1．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
20、y=100t-500（15＜t≤23）
【解析】
分析：
由题意可知，李明骑车的速度为100米/分钟，由此可知他从家到学校共用去了23分钟，其中自行车出故障前行驶了10分钟，自行车修好后行驶了8分钟，由此可知当时，y与t的函数关系为：.
详解：
∵车修好后，李明用8分钟骑行了800米，且骑车过程是匀速行驶的，
∴李明整个上学过程中的骑车速度为：100米/分钟，
∴在自行车出故障前共用时：1000÷100=10（分钟），
∵修车用了5分钟，
∴当时，是指小明车修好后出发前往学校所用的时间，
∴由题意可得：（），
化简得：（）.
故答案为：（）.
点睛：“由题意得到李明骑车的速度为100米/分钟，求时，y与t间的函数关系是求自行车修好后到家的距离与行驶的时间间的函数关系”是解答本题的关键.
21、-1
【解析】
根据平方差公式解答即可．
【详解】
∵x2-y2=（x+y）（x-y）=20，x+y=-2，
∴x-y=-1．
故答案为：-1．
本题考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式．
22、8
【解析】
由三角形中位线的性质可求出AC的长，根据菱形的性质可得OA、OB的长，利用勾股定理可求出AB的长，即可求出菱形的周长.
【详解】
∵M、N分别为边AB、BC的中点，MN=1，
∴AC=2MN=2，
∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，BD=2，
∴OA=AC=1，OB=BD=，
∴AB==2，
∴菱形的周长=4AB=8，
故答案为：8
本题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质及勾股定理，菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分且平分对角；三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半.熟练掌握相关性质是解题关键.
23、<
【解析】
先运用二次根式的性质把根号外的数移到根号内，即可解答
【详解】
∵=
∴＜
故答案为：＜
此题考查实数大小比较，难度不大
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、E点应建在距A站1千米处．
【解析】
关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
【详解】
解：设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得152+x2＝12+（25﹣x）2，x＝1．
故：E点应建在距A站1千米处．
本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．
25、（1）20%；（2）10368万元.
【解析】
试题分析：（1）首先设该县投入教育经费的年平均增长率为x，然后根据增长率的一般公式列出一元二次方程，然后求出方程的解得出答案；（2）根据增长率得出2017年的教育经费.
试题解析：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则有：6000=8640
解得：=0.2=-2.2（舍去）
所以该县投入教育经费的年平均增长率为20%
（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%
所以2017年该县投入教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）
考点：一元二次方程的应用
26、 (1)补图见解析；(2)11.6，11，11；(3)210户.
【解析】
（1）利用总户数乘相应的百分比，即可得出答案，再补全即可；
（2）利用众数，中位数以及平均数的公式进行计算即可；
（3）根据样本中不超过12吨的户数，再估计300户家庭中月平均用水量不超过12吨的户数即可．
【详解】
解：(1)由图知：被调查的总户数=10÷20%=50(户)，
则月平均用水量是11吨的用户数=50×40%=20(户)
补全条形图如图所示：
(2) 这50 个样本数据的平均数是 11.6，众数是11，中位数是11，
故答案为；11.6，11，11；
(3)样本中不超过12吨的有10+20+5=35(户)，
则该县直属机关300户家庭的月平均用水量不超过12吨的约有=210(户).
本题考查了读统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了众数、中位数的统计意义．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
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