江西省上饶市广信区2024-2025学年度第一学期第一次阶段作业九年级数学（PDF版，含答案）

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1．A
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【详解】①ax2+bx+c=0，当a=0时，该方程不是一元二次方程；
②属于分式方程；
③符合一元二次方程的定义；
④是三次方程，
综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．D
【分析】将x=2代入方程求出参数m,再重新解方程即可.
【详解】∵方程x2+mx﹣6=0有一个根为2．
将x=2代入方程得,m=1,
∴原方程为x2+x﹣6=0
解得：x1=-3,x2=2
∴方程另一个根是-3,
故选D,
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,代入求m的值是解题关键.
3．B
【详解】二次函数图象与平移变换．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答：
将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位所得抛物线的函数关系式是：y＝(x＋2)2＋1；
将抛物线y＝(x＋2)2＋1先向下平移3个单位所得抛物线的函数关系式是：y＝(x＋2)2＋1－3，即y＝(x＋2)2－2．故选B．
4．B
【详解】试题分析：当y=（x﹣1）（x﹣2）﹣1=0时，
解得：x1=，x2=，
∵0＜＜1，2＜＜3，
∴x1＜1＜2＜x2．
故选B．
考点：抛物线与x轴的交点
5．A
【分析】如果设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，则一共送了x（x﹣1）张，再根据“共互送了90张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）＝90．
【详解】设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，根据“共互送了90张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）＝90．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是读清题意，找准数量关系，列出方程．
6．C
【分析】观察图象判断出a、b、c的符号,即可得出结论①正确,利用对称轴公式x<-1,可得结论②正确;判断出x=-1时纵坐标为负,可得结论③错误,利用图象法可以判断出④错误;
【详解】解:∵抛物线开口向上,
∴a>0，
∵-
∴b>0
∵拋物线交y轴于负半轴,
∴c<0,
∴abc<0,故①正确,
∵-，a>0,
∴b>2a,
∴2a-b<0,故②正确,
∵x=-1时,y<0
∴a-b+c<0，故③错误,
点(-3,y1),(1,y2)都在抛物线上,
观察图象可知y1【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定拋物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<),对称轴在y轴右;常数顼c决定抛物线与y轴交点位置∶拋物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定:当△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点．对二次函数图像性质的的熟悉是解题关键．
7．x=1
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=即可求解．
【详解】抛物线y=−2x2+4x−1的对称轴是直线x=.
故答案为：x=1.
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴. 熟记二次函数y=ax2+bx+c的对称轴：x=是解题的关键.
8．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣，x1x2=解答该题．
【详解】∵方程x2+5x﹣4=0的二次项系数a=1，一次项系数b=5，常数项c=﹣4，∴x1+x2=﹣=﹣5，x1x2==﹣4．
故答案分别是：﹣5，﹣4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系．利用根与系数的关系公式x1+x2=﹣，x1x2=解题时，要弄清楚a、b、c所表示的含义．
9．y1＞y3＞y2
【分析】此题可以先求得抛物线对称轴为直线x=-2，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，由x取1、-2、-4时，x取1时所对应的点离对称轴最远，x取-2时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y=−2ax2−8ax+3(a<0)，
∴−2a>0，
∴抛物线的开口向上,对称轴是直线
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∵x取1时所对应的点离对称轴最远，x取-4时所对应的点离对称轴最近，
∴
故答案为
【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大.
10．
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据年的平均亩产量列方程求解即可得到答案；
【详解】解：设水稻亩产量的年平均增长率为x，由题意可得，
，
解得：，（不符合题意舍去），
故答案为：；
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是从题干中得到等量关系式列方程求解．
11．2015
【分析】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：
（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.
【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=p2－4q=0，
则=p（p2－4q）+2015=0+2015=2015.
故答案为2015.
12．﹣2
【详解】试题分析：∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…如此进行下去，直至得C10．
∴C672与x轴的交点横坐标为（2013，0），（2016，0），且图象在x轴下方，
∴C672的解析式为：y672=（x﹣2013）（x﹣2016），
当x=2015时，y=（2015﹣2013）×（2015﹣2016）=﹣2．
故答案为﹣2．
考点：二次函数图象．
13．(1)
(2)，．
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）公式法求解可得．
【详解】（1）（1）解：2x2+4x=﹣1，
x2+2x=﹣ ，
x2+2x+1=﹣ +1，即（x+1）2= ，
∴x+1=± ，
则x=﹣1±
∴
（2）解：x2+6x﹣5=0，
∵a=1，b=6，c=﹣5，
∴△=36﹣4×1×（﹣5）=56，
则x= =﹣3
，．
【点睛】本题考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟悉用公式法和配方法解一元二次方程的解题步骤是解题的关键．
14．（1）m≥﹣；（2）m=0或m=6．
【分析】（1）方程有实数根即为△≥0，代入即可解题,
（2）将x=1代入方程求出m,重新解方程即可.
【详解】解：（1）根据题意知△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，
解得：m≥﹣；
（2）将x=1代入方程得1﹣2m+m2﹣4m﹣1=0，
整理，得：m2﹣6m=0，
解得：m1=0，m2=6，
∵m≥﹣ ,
∴m=0和m=6均符合题意，
故m=0或m=6．
【点睛】本题考查了含参一元二次方程根的个数问题,中等难度,熟悉根的判别式是解题关键.
15．已知一个二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)．
(1)求该函数的解析式；
(2)设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则△CDE的面积为__________．
【答案】(1)y=−x+12+4
(2)6
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是∶
（1）设顶点式y=ax+12+4，然后把B(2,−5)代入求出a的值即可；
（2）根据抛物线解析式求得线段CD的长度和点E的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解∶设函数解析式为y=ax+12+4，
把B(2,−5)代入，得−5=9a+4，
解得a=−1，
∴y=−x+12+4；
（2）解∶令y=0，则0=−x+12+4，解得x1=−3，x2=1，
∴CD=1−−3=4，
令x=0，则y=−0+12+4=3，
∴E0,3，
∴OE=3，
∴△CDE的面积为12×4×3=6，
故答案为：6．
16.如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，过点B作AC的垂线；
（2）如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）作直线BD，根据菱形的性质可知，直线BD即为所求．
（2）结合菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接CE并延长，交DA的延长线于点F，作直线BF，则直线BF即为所求．
【解答】解：（1）如图1，作直线BD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
则直线BD即为所求．
（2）如图2，连接CE并延长，交DA的延长线于点F，作直线BF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DF∥BC，
∴∠AFE＝∠BCE，∠FAE＝∠CBE，
∵点E为线段AB的中点，
∴AE＝BE，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴AF＝BC，
∴四边形ACBF为平行四边形，
∴BF∥AC，
则直线BF即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（1）证明见解析；（2）m的值为±，方程的另一个根是5．
【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；
（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.
【详解】（1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，
∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，
∵m2≥0，
∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是2，
∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
即m的值为±，方程的另一个根是5．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.
18．（1），二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；（2）这个函数有最大值，最大值为；（3）当时，随的增大而减小．
【分析】（1）先把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数性质可确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）根据二次函数的性质求解．
【详解】（1），
所以二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
(2)这个函数有最大值，最大值为；
（3）当时，随的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
19．是直角三角形．
【分析】通过对式子分组分解因式，整理得到a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．
【详解】∵，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用．解答此题要用到勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理知a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．
如图，因疫情防控需要，某校利用围墙和隔离带围成一个矩形隔离区，已知墙长，，矩形隔离区的一边靠墙，另三边共用了长的隔离带，所围成的矩形隔离区的面积为，求所利用围墙的长．
【答案】
【解析】
【分析】设m，则m，根据矩形的周长公式求得和，再根据题意列方程求解即可。
【详解】解：设m，
则m，
根据题意得：，
解得，，
当时，，不符合题意舍去，
当时，，
答：的长为m．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键。
21．(1)2000元；(2)①1元或9元；②经营者所获最大利润为2250元
【详解】【分析】
不降价时,利润=不降价时商品的单件利润×商品的件数.
(2)①可根据:降价后的单件利润×降价后销售的商品的件数=2090,来列出方程,求出未知数的值.
②首先得出y与x的函数关系,利用二次函数最值求法得出答案.
【详解】解：
(1)若商店经营该商品不降价，则一天可获利润：100×(100－80)＝2 000(元)；
(2)①设该商品每件降价x元，依题意，得
(100－80－x)(100＋10x)＝2090，
即x2－10x＋9＝0，解得x1＝1，x2＝9.
答：每件商品应降价1元或9元；
②根据题意得y＝(100－80－x)(100＋10x)
＝－10x2＋100x＋2 000，
当x＝－＝5时，y最大＝2 250元，
答：该经营者所获最大利润为2250元．
【点睛】本题考核知识点：二次函数的应用. 解题关键点：根据题意，把数量关系用函数解析式表示,难点是理解最大利润就是要求函数的最大值，求顶点坐标.
22．(1) 抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；(2)4；D（2，3）．
【分析】（1）把A与C坐标代入抛物线解析式求出b与c的值，确定出解析式即可；
（2）连接OD，设出D坐标，四边形OCDB的面积等于三角形OCD面积+三角形OBD面积，表示出三角形BCD面积S与m的二次函数解析式，求出最大面积及D坐标即可．
【详解】（1）将点A（﹣1，0），点C（0，2）纵、横坐标分别代入y=﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣m2+m+2），
∵S四边形OCDB=S△OCD+S△OBD=×2m+×4（﹣m2+m+2）=﹣m2+4m+4，
∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，
当m=2时，S△BCD取得最大值4，
此时yD=﹣×4+×2+2=3，即D（2，3）．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
23．（1）b=﹣3；（2）P（﹣1，﹣2）；（3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．符合条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）．
【分析】（1）先把A（1，0）代入抛物线y=ax2+2x﹣3a，求出a的值，然后再分别把B（b，0）、C（0，c）的值代入即可求出b，c的值；
（2）根据轴对称的性质找出点P的位置，然后求出直线BC的解析式和对称轴方程，二者联立可求出点P的坐标；
（3）分当点N在x轴下方时和当点N在x轴上方时两种情况求解即可.
【详解】解：（1）把A（1，0）代入抛物线y=ax2+2x﹣3a，
可得：a+2﹣3a=0
解得a=1．
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；
把B（b，0），C（0，c）代入y=x2+2x﹣3，
可得：b=1或b=﹣3，c=﹣3，
∵A（1，0），
∴b=﹣3；
（2）∵抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3，
∴其对称轴为直线x=﹣=﹣1，
连接BC，如图1所示，

∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣3，
当x=﹣1时，y=1﹣3=﹣2，
∴P（﹣1，﹣2）；
（3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．
如图2所示，

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，C（0，﹣3），
∴N1（﹣2，﹣3）；
②当点N在x轴上方时，
如图2，过点N'作N'D⊥x轴于点D，
在△AN'D与△M'CO中，
∴△AN'D≌△M'CO（AAS），
∴N'D=OC=3，即N'点的纵坐标为 3．
∴3=x2+2x﹣3，
解得x=﹣1+或x=﹣1﹣，
∴N'（﹣1+，3），N“（﹣1﹣，3）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质及分类讨论的数学思想.熟练掌握待定系数法和分论讨论的数学思想是解答本题的关键.
题号
1
2
3
4
5
6




答案
A
D
B
B
A
C