北京市高级中学等学校2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份北京市高级中学等学校2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m，n的值分别为（ ）
A．，2B．3，C．，D．3，2
2、（4分）位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛。如果小尹知道了自己的成绩后，要判断自己能否进入决赛，他还要知道这位同学成绩的（）
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
3、（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于( )
A．2B．3C．4D．6
4、（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k≤1D．k≤1且k≠0
5、（4分）自2011年以来长春市己连续三届被评为“全国文明城市”，为了美化城市环境，今年长春市计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是( )
A．B．
C．D．
6、（4分）数据2，6，4，5，4，3的平均数和众数分别是（ ）
A．5和4B．4和4C．4.5和4D．4和5
7、（4分）在解分式方程+=2时，去分母后变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）如图，一次函数和（，）在同一坐标系的图像，则的解中（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论：；；；其中正确结论的序号是______．
10、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上．连结，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在直线上，则的值为_____．
11、（4分）如图，四边形ABCd为边长是2的正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则△BDP的面积是_____．
12、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为_____．
13、（4分）如图，矩形ABCD中，,，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于_________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图①，在正方形ABCD中，，点E，F分别在BC、CD上，，试探究面积的最小值。
下面是小丽的探究过程：
(1)延长EB至G，使，连接AG，可以证明．请完成她的证明；
(2)设，,
①结合（1）中结论，通过计算得到与x的部分对应值。请求出表格中a的值：（写出解答过程）
②利用上表和（1）中的结论通过描点、连线可以分别画出函数、的图像、请在图②中完善她的画图；
③根据以上探究，估计面积的最小值约为（结果估计到1．1）。

图① 图②
15、（8分）如图，在平行四边形中，连接，，且，是的中点，是延长线上一点，且．求证：．
16、（8分）解不等式组：, 并把解集在数轴上表示出来.
17、（10分）某市提倡“诵读中华经典，营造书香校园”的良好诵读氛围，促进校园文化建设，进而培养学生的良好诵读习惯，使经典之风浸漫校园．某中学为了了解学生每周在校经典诵读时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
（1）表中的a＝ ，b＝ ；
（2）请将频数分布直方图补全；
（3）若该校共有1200名学生，试估计全校每周在校参加经典诵读时间至少有4小时的学生约为多少名？
18、（10分）化简．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在▱ABCD中（AD＞AB），用尺规作图作射线BP交AD于点E，若∠D＝50°，则∠AEB＝___度．
20、（4分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b=_____________．
21、（4分）某产品出现次品的概率为0.05，任意抽取这种产品400件，那么大约有_____件次品．
22、（4分）如图，在▱ABCD中，M为边CD上一点，将△ADM沿AM折叠至△AD′M处，AD′与CM交于点N．若∠B＝55°，∠DAM＝24°，则∠NMD′的大小为___度．
23、（4分）若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知一次函数，，，.
(1)说明点在直线上；
(2)当直线经过点时，点时直线上的一点，若，求点的坐标.
25、（10分）如图，在直角坐标系中，OA＝3，OC＝4，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．
(1)求直线AC的函数解析式；
(2)设点B(0，m)，记平行四边形ABCD的面积为S，请写出S与m的函数关系式，并求当BD取得最小值时，函数S的值；
(3)当点B在y轴上运动，能否使得平行四边形ABCD是菱形？若能，求出点B的坐标；若不能，说明理由．
26、（12分）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若三边长分别是2，和4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是” ；
（2）如图，中，，，点为的中点，连接，若是常态三角形，求的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，得
m=-3，n=-2，
故选：C．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
2、D
【解析】
参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
【详解】
由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较.故应知道中位数的多少.
故选D.
此题考查统计量的选择，解题关键在于掌握中位数的意义.
3、C
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，
∴∠F=∠DCF，
∵∠C平分线为CF，
∴∠FCB=∠DCF，
∴∠F=∠FCB，
∴BF=BC=8，
同理：DE=CD=6，
∴AF=BF−AB=2，AE=AD−DE=2
∴AE+AF=4
故选C
4、A
【解析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠1且△=22-4k×（-1）≥1，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】
根据题意得k≠1且△=22-4k×（-1）≥1，
解得k≥-1且k≠1．
故选A．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
5、A
【解析】
根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【详解】
解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴，
故选：A．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．
6、B
【解析】
根据平均数和众数的概念求解．
【详解】
这组数据的平均数是：（2+6+4+5+4+3）=4；
∵4出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是4；
故选B．
本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
7、A
【解析】
本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x-1和1-x互为相反数，可得1-x=-（x-1），所以可得最简公分母为x-1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．
【详解】
方程两边都乘以x-1，
得：3-（x+2）=2（x-1）．
故答案选A．
本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边都乘以最简公分母.
8、A
【解析】
方程组的解就是一次函数y1=ax+b和y2=-bx+a（a≠0，b≠0）图象的交点，根据交点所在象限确定m、n的取值范围.
【详解】
解：方程组的解就是一次函数y1=ax+b和y2=-bx+a（a≠0，b≠0）图象的交点，
∵两函数图象交点在第一象限，
∴m＞0，n＞0，
故选：A．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数解析式组成的方程组的解．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、①③④
【解析】
（1）∵抛物线开口向下，
∴，
又∵对称轴在轴的右侧，
∴ ，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴ ，
∴，即①正确；
（2）∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
又∵，
∴，即②错误；
（3）∵点C的坐标为，且OA=OC，
∴点A的坐标为，
把点A的坐标代入解析式得：，
∵，
∴，即③正确；
（4）设点A、B的坐标分别为，则OA=，OB=，
∵抛物线与轴交于A、B两点，
∴是方程的两根，
∴，
∴OA·OB=.即④正确；
综上所述，正确的结论是：①③④.
10、2
【解析】
先把点A坐标代入直线y＝2x+3，得出m的值，然后得出点B的坐标，再代入直线y＝﹣x+b解答即可．
【详解】
解：把A（﹣1，m）代入直线y＝2x+3，可得：m＝﹣2+3＝1，
因为线段OA绕点O顺时针旋转90°，所以点B的坐标为（1，1），
把点B代入直线y＝﹣x+b，可得：1＝﹣1+b，b＝2，
故答案为：2
此题考查一次函数问题，关键是根据代入法解解析式进行分析．
11、1-1
【解析】
如图，
过P作PE⊥CD，PF⊥BC，
∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1，
∴∠PCE=30°
∴PF=PB•sin60°=1×=，PE=PC•sin30°=2，
S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×1×+×2×1﹣×1×1=1+1﹣8=1﹣1．
故答案为1﹣1．
点睛：本题考查正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论.
12、115
【解析】
小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC1+BC1，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB1＝AC1+BC1．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
【详解】
正方形ADEC的面积为：AC1，正方形BCFG的面积为：BC1；
在Rt△ABC中，AB1＝AC1+BC1，AB＝15，
则AC1+BC1＝115，
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为115．
故答案为115．
本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得AB1＝AC1+BC1．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
13、
【解析】
【分析】画图，分两种情况：点P在B的右侧或左侧.根据旋转和矩形性质，运用勾股定理，分别求出BP和PC，便可求出PD.
【详解】(1)如图，当P在B的右侧时，由旋转和矩形性质得：
AP=AD=5，AB=CD=3,
在直角三角形ABP中，BP=,
所以，PC=BC-BP=5-4=1，
在直角三角形PDC中，PD=,
(2)如图，当点P在B的左侧时，由旋转和矩形性质得：
AP=AD=5，AB=CD=3,
在直角三角形APB中，PB=，
所以，PC=BC+PB=5+4=9,
在在直角三角形PDC中，PD=,
所以，PD的长度为
故答案为
【点睛】本题考核知识点：矩形，旋转，勾股定理. 解题关键点：由旋转和矩形性质得到边边相等，由勾股定理求边长.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）①，②见解析；③41.4或41.5.
【解析】
（1）AB=AD，BG=DF，则AG=AF，∠DAF+∠BAE=91°-∠EAF=45°=∠EAF，AF=AG，AE=AE，则△AFE≌△AGE（SAS），即可求解；
（2）①∵CE=BC-6=4，设DF=a，CF=11-a，EF=DF+BE=6+a，由勾股定理即可求解；②由①得：y2=y1+x，描点画图即可；
（3）利用分割法即可得出．
【详解】
（1）证明：如图①，延长EB至G，使，连接AG.
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）①在中，，
，
，
解这个方程，得.
②如图②所示.
③S△AEF=SABCD- S△ADF - S△ABE - S△EFC
=111---
=111-（DF+BE）11-
=111-EF11-
=111-5y2-（11-x）（11-y1）
=51-xy1
当x=4，y1=4.29时，S△AEF最小
S△AEF=51-×4×.29≈41.4或41.5.
图① 图②
本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、函数作图，此类题目通常在作图的基础上，从图表查阅符合条件的数据点，进而求解．
15、证明步骤见解析
【解析】
过E分别做CF和DC延长线的垂线，垂足分别是G，H，利用HL证明Rt△FGE≌Rt△DHE，得到∠GFE=∠EDH，再根据三角形内角和得出∠FED=∠FCD=90°，即证明.
【详解】
解：如图，过E分别做CF和DC延长线的垂线，垂足分别是G，H，
∵AC=CD，AC⊥CD，
∴∠CAD=∠CDA=∠ACB=∠BCH=45°，
∵EG⊥CF，EH⊥CH，
∴EH=EG，
∵DE=EF，
∴Rt△FGE≌Rt△DHE（HL），
∴∠GFE=∠EDH，
∵∠FME=∠DMC
∴∠FED=∠FCD=90°，
∴EF⊥ED.
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，中等难度，证明三角形全等是解题关键.
16、-3＜x≤1
【解析】
分别解不等式，在数轴上表示出解集,找出解集的公共部分即可.
【详解】
，
解不等式①得：，
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为-3＜x≤1
解集在数轴上表示为：
考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.
17、（1）6,0.2；（2）见解析；（3）学生约为780人.
【解析】
(1)根据频数=频率×总数，用40乘以0.15可求得a的值，用8除以40求得b的值即可；
(2)根据a的值补全直方图即可；
(3)用1200乘以参加经典诵读时间至少有4小时的学生所占的频率之和即可得.
【详解】
(1)a=40×0.15=6，b==0.2，
故答案为：6，0.2；
(2)如图所示：
(3)(0.15+0.2+0.3)×1200＝780，
答：估计全校每周在校参加经典诵读时间至少有4小时的学生约为780名.
本题考查了频数分布直方图，频数与频率，用样本估计总体等，弄清题意，读懂统计图表，从中找到必要的信息是解题的关键.
18、
【解析】
解：原式＝．
先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1．
【解析】
由平行四边形的性质可知：AD∥BC，推出∠AEB＝∠EBC，求出∠EBC即可；
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝50°，AD∥BC，
由作图可知，BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC＝1°，
∴∠AEB＝∠EBC＝1°，
故答案为1．
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20、0.5
【解析】
经过矩形对角线的交点的直线平分矩形的面积．故先求出对角线的交点坐标，再代入直线解析式求解．
【详解】
连接AC、OB，交于D点，作DE⊥OA于E点，
∵四边形OABC为矩形，
∴DE=AB=3，OE=OA=7.5，
∴D(7.5，3)，
∵直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线经过点D，
∴将(7.5，3)代入直线得：
3=×7.5+b，
解得：b=0.5，
故答案为：0.5.
本题考查了一次函数的综合应用及矩形的性质；找着思考问题的突破口，理解过矩形对角线交点的直线将矩形面积分为相等的两部分是正确解答本题的关键．
21、1.
【解析】
利用总数×出现次品的概率=次品的数量，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：次品数量大约为400×0.05=1．
故答案为1．
本题考查概率的意义，正确把握概率的定义是解题的关键．
22、22.
【解析】
由平行四边形的性质得出∠D=∠B=55°，由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，由三角形的外角性质求出∠AMN=79°，与三角形内角和定理求出∠AMD'=101°，即可得出∠NMD'的大小.
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=55°，
由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，
∴∠AMN=∠D+∠DAM=55°+24°=79°，∠AMD'=180°-∠MAD'-∠D'=101°，
∴∠NMD'=101°-79°=22°；
故答案为：22.
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AMN和∠AMD'是解决问题的关键.
23、4
【解析】
利用面积公式列出关系式，将已知面积与边长代入即可求出高.
【详解】
解：根据题意得：÷×2=4.
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）详见解析；（2）点坐标为，（，5）.
【解析】
（1）将x=2代入y=kx+3-2k，求出y=3，由此即可证出点M（2，3）在直线y=kx+3-2上；
（2）根据点C的坐标利用待定系数法求出此时直线的解析式，由此可设点P的坐标为（m，m），再根据S△BCP=2S△ABC，即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出m的值，将其代入P点坐标即可得出结论．
【详解】
证明：∵y=kx+3-2k，
∴当x=2时，y=2k+3-2k=3，
∴点M（2，3）在直线y=kx+3-2k上；
（2）解：将点C（-2，-3）代入y=kx+3-2k，
得：-3=-2k+3-2k，解得：k=，
此时直线CM的解析式为y=x．
设点P的坐标为（m，m）．
∵S△BCP=BC•|yP-yB|，S△ABC=BC•|yA-yC|，S△BCP=2S△ABC，
∴|m-（-3）|=2×[1-（-3）]，
解得：m1=或m2=，
∴点P的坐标为（，-11）或（，5）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）将x=2代入函数解析式，正确计算求出y的值；（2）根据面积间的关系找出关于m含绝对值符号的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
25、（1）；(2) ①当m≤4时，S=－3m+12，②当m＞4时，S=3m－12（3）（0，）
【解析】
（1）根据OA、OC的长度求出A、C坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据点B的坐标可得出BC的长，结合平行四边形的面积公式求出S与m的关系式，再根据AD∥y轴即可求出当BD最短时m的值，将其代入解析式即可；
（3）根据菱形的性质找出m的值，从而根据勾股定理求解即可.
【详解】
解：（1）∵OA=3，OC=4，
∴A（-3，0）、C（0，4）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A（-3，0）、C（0，4）代入y=kx+b中，
得：，解得：，
∴直线AC的函数解析式为：．
（2）∵点B（0，m），四边形ABCD为以AC为对角线的平行四边形，
∴m≤4，BC=4-m，
∴S=BC•OA=-3m+12（m≤4）．
同法m＞4时，S=3m-12（m＞4）．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴当BD⊥y轴时，BD最小（如图1）．
∵AD∥OB，AO⊥OB，DA⊥OB，
∴四边形AOBD为矩形，
∴AD=OB=BC，
∴点B为OC的中点，即，
此时S=-3×2+12=1．
∴S与m的函数关式为S=-3m+12（m＜4），当BD取得最小值时的S的值为1．
（3）存在
当AB=CB时，平行四边形ABCD为菱形.
理由如下：
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
，
，
解得：，
．
本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、菱形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据平行四边形的面积公式找出S关于m的函数关系式；（3）学会构建方程解决问题；
26、（1）是；（2）或．
【解析】
（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，进而求出答案．
【详解】
解：（1），
三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
（2）中，，，点为的中点，是常态三角形，
当，时，
解得：，
则，
故，
则的面积为：．
当，时，
解得：，
则，
故，
则的面积为：．
故的面积为或．
此题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
x
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
11
8.18
6.67
5.38
4.29
3.33
a
1.76
1.11
1.53
1
时间（小时）
频数（人数）
频率
2≤t＜3
4
0.1
3≤t＜4
10
0.25
4≤t＜5
a
0.15
5≤t＜6
8
b
6≤t＜7
12
0.3
合计
40
1