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江苏省南京市金陵中学河西分校2024-2025学年九年级上学期10月限时练习数学试卷(无答案)
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这是一份江苏省南京市金陵中学河西分校2024-2025学年九年级上学期10月限时练习数学试卷(无答案)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程的解是（ ）
A.0B.1C.0和1D.0和
2.关于x的方程（m为常数）的两实数根之和是（ ）
A.2B.C.D.
3.某商品单价经过两次降价从144元降至81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A.B.C.D.
4.在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同.其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的（ ）
A.平均数B.加权平均数C.众数D.中位数
5.如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（ ）
A.15°B.30°C.45°D.60°
6.如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆.小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）
A.4B.5C.6D.8
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）
7.写出一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根：______.
8.已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为______.
9.一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则其侧面积为______.
10.如图，是的直径，弦于点E，，，则长为______.
11.若一元二次方程（m为常数）的一个根是，则另一个根是______.
12.某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如下表所示.若把听、说、读、写的成绩按计算平均成绩，则小亮的平均成绩为______分.
13.正六边形的半径是2，则其内切圆半径是______.
14.如图，正方形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，若，，则的长为______.
15.如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时点A到了点，则图中涂色部分的面积为______.
16.如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______.
三、解答题（本大题共11小题，共88分.）
17.（8分）解下列一元二次方程.
（1）；（2）.
18.（6分）一块矩形菜地的面积是，若将它的长、宽分别增加，，它恰成为一块正方形菜地.请建立一元二次方程模型求原矩形菜地的长和宽.
19.（7分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
已知：如图，是的直径，是的弦，______.
求证：______.
证明：
20.（7分）如图，四边形内接于一圆，是边的延长线.
（1）求证：；
（2）若，，则的度数为______.
21.（7分）如图，的弦、相交于点E，且.
求证：.
22.（7分）已知关于x的一元二次方程.
（1）当k为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根.
23.（8分）甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下：
（1）甲同学10次射击命中环数的中位数是______环，乙同学10次射击命中环数的众数是______环；
（2）求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差；
（3）经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2环.根据所学的统计知识，从集中趋势和离散程度这两个不同的角度来评价甲、乙两名学生的射击水平.
24.（8分）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，且，分别交、于点F、G.
（1）求证：；
（2）求证：F是的中点.
25.（9分）如图，在中，是的直径，是的切线，切点是A，连接，过点B作，与交于点C，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为3，，求的长度.
26.（9分）【习题再现】
【逆向思考】
（1）如图（1），I为内一点，的延长线交的外接圆于点D.若，求证：I为的内心；
【拓展提高】
（2）如图（2），的半径长为5，弦，动点A在优弧上（不与B、C重合），I是的内心.
①点I到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；
②的最大值为______.
27.（12分）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小听将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的______倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系.小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系为______；
【探究应用】
（3）类比【问题情境】中的方法解决问题：如图5，是的直径，、是的弦，且，，，.则图中阴影部分的面积为______.
（4）如图6，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值.若，，当最大时，求的长；
（3）利用图4中的结论解决问题：如图7，分别过矩形的四个顶点作其内部的的切线，切点分别为E，F，G，H，若，，，则的长为______.（用含a，b，c的代数式表示）
项目
听
说
读
写
成绩（分）
70
90
85
85
命中的环数/环
5
6
7
8
9
10
甲命中次数
1
2
4
2
1
0
乙命中次数
1
4
2
1
1
1
（教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D.和相等吗？为什么？
（不需解答，请看下面的问题）
1.一元二次方程的解是（ ）
A.0B.1C.0和1D.0和
2.关于x的方程（m为常数）的两实数根之和是（ ）
A.2B.C.D.
3.某商品单价经过两次降价从144元降至81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A.B.C.D.
4.在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同.其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的（ ）
A.平均数B.加权平均数C.众数D.中位数
5.如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（ ）
A.15°B.30°C.45°D.60°
6.如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆.小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）
A.4B.5C.6D.8
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）
7.写出一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根：______.
8.已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为______.
9.一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则其侧面积为______.
10.如图，是的直径，弦于点E，，，则长为______.
11.若一元二次方程（m为常数）的一个根是，则另一个根是______.
12.某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如下表所示.若把听、说、读、写的成绩按计算平均成绩，则小亮的平均成绩为______分.
13.正六边形的半径是2，则其内切圆半径是______.
14.如图，正方形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，若，，则的长为______.
15.如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时点A到了点，则图中涂色部分的面积为______.
16.如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______.
三、解答题（本大题共11小题，共88分.）
17.（8分）解下列一元二次方程.
（1）；（2）.
18.（6分）一块矩形菜地的面积是，若将它的长、宽分别增加，，它恰成为一块正方形菜地.请建立一元二次方程模型求原矩形菜地的长和宽.
19.（7分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
已知：如图，是的直径，是的弦，______.
求证：______.
证明：
20.（7分）如图，四边形内接于一圆，是边的延长线.
（1）求证：；
（2）若，，则的度数为______.
21.（7分）如图，的弦、相交于点E，且.
求证：.
22.（7分）已知关于x的一元二次方程.
（1）当k为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根.
23.（8分）甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下：
（1）甲同学10次射击命中环数的中位数是______环，乙同学10次射击命中环数的众数是______环；
（2）求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差；
（3）经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2环.根据所学的统计知识，从集中趋势和离散程度这两个不同的角度来评价甲、乙两名学生的射击水平.
24.（8分）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，且，分别交、于点F、G.
（1）求证：；
（2）求证：F是的中点.
25.（9分）如图，在中，是的直径，是的切线，切点是A，连接，过点B作，与交于点C，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为3，，求的长度.
26.（9分）【习题再现】
【逆向思考】
（1）如图（1），I为内一点，的延长线交的外接圆于点D.若，求证：I为的内心；
【拓展提高】
（2）如图（2），的半径长为5，弦，动点A在优弧上（不与B、C重合），I是的内心.
①点I到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；
②的最大值为______.
27.（12分）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小听将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的______倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系.小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系为______；
【探究应用】
（3）类比【问题情境】中的方法解决问题：如图5，是的直径，、是的弦，且，，，.则图中阴影部分的面积为______.
（4）如图6，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值.若，，当最大时，求的长；
（3）利用图4中的结论解决问题：如图7，分别过矩形的四个顶点作其内部的的切线，切点分别为E，F，G，H，若，，，则的长为______.（用含a，b，c的代数式表示）
项目
听
说
读
写
成绩（分）
70
90
85
85
命中的环数/环
5
6
7
8
9
10
甲命中次数
1
2
4
2
1
0
乙命中次数
1
4
2
1
1
1
（教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D.和相等吗？为什么？
（不需解答，请看下面的问题）
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