人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第08讲 拓展三：二面角的传统法与向量法（原卷版+教师版）

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拓展三：二面角的传统法与向量法(含探索性问题）一、知识点归纳1、定义法在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.2、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.具体操作步骤（如图在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中）求二面角 SKIPIF 1 < 0 ：①第一垂：过点 SKIPIF 1 < 0 向平面 SKIPIF 1 < 0 引垂线 SKIPIF 1 < 0 （一般是找+证，证明 SKIPIF 1 < 0 ）②第二垂：在平面 SKIPIF 1 < 0 中，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ③第三垂：连接 SKIPIF 1 < 0 （解答题需证明 SKIPIF 1 < 0 ）3、射影面积法（ SKIPIF 1 < 0 ）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（ SKIPIF 1 < 0 ）求出二面角的大小.4、用向量运算求平面与平面的夹角如图，若 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 分别为面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则 SKIPIF 1 < 0 ；若二面角为钝二面角（取负），则 SKIPIF 1 < 0 ；题型01利用定义法求二面角（定值）【典例1】假设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所在平面外一点，而 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是边长为2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 ，那么二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值的大小；(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值的大小．【变式1】在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，(1)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小；(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小.题型02利用三垂线法求二面角（定值） 【典例1】如图，三棱锥 SKIPIF 1 < 0  中，已知 SKIPIF 1 < 0  平面 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  .则二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为_____.【典例2】已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1．(1)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与AC所成角的大小；(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．【变式1】已知如图边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形 SKIPIF 1 < 0 外有一点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小的正切值______．【变式2】直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0   (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若四棱柱体积为36，求二面角 SKIPIF 1 < 0 大小的正切值题型03利用面积投影法求二面角（定值）【典例1】如图 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所在平面垂直，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为_______.【典例2】已知长方体 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的正方形，侧棱 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 分别交棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为________.【变式1】 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内的射影是 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的面积为S，它和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的一个二面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为锐角），则 SKIPIF 1 < 0 的面积是__________．【变式2】直角三角形 SKIPIF 1 < 0 的斜边在平面 SKIPIF 1 < 0 内，两条直角边分别与平面 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 角，则这个直角三角形所在的平面与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的余弦值为________．题型04利用向量法求二面角（定值）【典例1】如图，已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点.  (1)求证： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.【典例2】如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与底面所成的角为45°，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．  (1)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的余弦值．【典例3】如图，在正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 向平面 SKIPIF 1 < 0 作垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 .  (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.【变式1】如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 并与 SKIPIF 1 < 0 的延长线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .  (1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 (2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.【变式2】如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的中点.  (1)求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积；(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.题型05利用向量法求二面角（最值或范围）【典例1】如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上．  (1)当 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 中点时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)当 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 中点时，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角余弦值的最大值．【典例2】如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影为 SKIPIF 1 < 0 .  (1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点（不包括端点），求锐二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值的取值范围.【典例3】如图①所示，长方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到图②的四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值；(2)设 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值的最小值．【变式1】已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，D为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点. SKIPIF 1 < 0 .  (1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角正弦值的最小值及此时点 SKIPIF 1 < 0 的位置.【变式2】如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 (1)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角的正弦值最小？题型06已知二面角求参数【典例1】在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，沿直线 SKIPIF 1 < 0 把直角坐标系折成 SKIPIF 1 < 0 的二面角，则 SKIPIF 1 < 0 的长度为___________.【典例2】如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为2的菱形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 .(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.【变式1】如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上．若二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的坐标为______，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ___【变式2】如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.题型07二面角中的探索性问题【典例1】如图2，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，使点D到达点P位置（如图3），且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)设Q是线段 SKIPIF 1 < 0 上一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，试问：是否存在一个实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．【典例2】如图1，在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使得平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ，如图2所示.(1)设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 不与端点重合），使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，请说明理由.【变式1】在直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，探索在棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.【变式2】如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点.(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长.