安徽省临泉第一中学等校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题（B卷）

这是一份安徽省临泉第一中学等校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题（B卷），共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，设，直线的方程为，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第1节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角是（）
A．150°B．120°C．60°D．30°
2．已知圆与圆，则与的位置关系为（）
A．内切B．相交C．外切D．外离
3．已知向量，，若，则（）
A．4B．3C．2D．1
4．两平行直线与之间的距离为（）
A．B．C．D．
5．如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（）
A．B．C．6D．
6．已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
7．过作与圆相切的两条直线，，切点分别为，，且，则（）
A．3B．2C．1D．0
8．在四面体中，，平面，，点，分别为棱，上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知椭圆的两个焦点分别为，，是上任意一点，则（）
A．长轴长为6B．两个焦点的坐标分别为，
C．的最大值是5D．的周长为12
10．设，直线的方程为，则（）
A．直线过定点
B．若直线在轴上的截距为－2，则在轴上的截距为
C．直线与圆相交
D．点到直线的最大距离为
11．在坐标系中，，，轴两两之间的夹角均为，向量，，分别是与，，轴的正方向同向的单位向量．空间向量，记，则（）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则三棱锥的体积为
D．若，，且，则，夹角的余弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则______．
13．已知经过点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的3倍，则直线的方程为______．
14．设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知三点，记的外接圆为．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于，两点，求的面积．
16．（本小题满分15分）
已知直线过点，且与轴，轴分别交于点，．
（1）当时，求的方程；
（2）若，，求当取最小值时，的方程．
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点．
（1）证明：；
（2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）当二面角的余弦值为时，求．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆经过点与点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且．
①证明：直线过定点；
②求的面积的最大值．
19．（本小题满分17分）
在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
（1）求经过，的直线的点方向式方程；
（2）已知平面，平面，平面，若，，证明：；
（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．
2024~2025学年度第一学期高二10月联考・数学（B卷）
参考答案、提示及评分细则
1．A 直线可化为，所以该直线的斜率为，所以其倾斜角是150°．故选A．
2．D 易知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以，所以与外离．故选D．
3．B 因为，所以，解得．故选B．
4．C 由题意知，所以，则化为，所以两平行直线与之间的距离为．故选C．
5．D 因为，所以，则，所以．故选D．
6．D 设，则，由题意可知即将点代入，得，即．故选D．
7．A 圆化为标准方程，则圆心，半径，由题意知，解得，负值舍去，在中，，且，所以，解得．故选A．
8．A 因为．所以，则，又，所以，则，又平面，所以，，即，，所以，，，所以，则直线与直线夹角的余弦值为．故选A．
9．AC 椭圆化为，于是，所以长轴长为，A正确；由方程可知，椭圆的两个焦点在轴上，又，所以两个焦点的坐标分别为，，B错误；由椭圆的性质知的最大值为，C正确；根据椭圆的定义知的周长，D错误．故选AC．
10．BCD 对于A项，直线的方程为化为，由解得所以直线恒过定点，A错误；对于B项，当直线在轴上的截距为-2时，令，则，解得，此时直线的方程为，则在轴上的截距为，B正确；对于C项，由A项可知直线过，因为，所以点在圆的内部，故直线与圆相交，C正确；对于D项，当点与点的连线与垂直时，点到直线的距离最大，且为，D正确．故选BCD．
11．ACD 对于A，由，得，所以，则，A正确；，B错误；对于C，三棱锥是边长为2的正四面体，则该四面体的高为，所以三棱锥的体积为，C正确；对于D，由，得，，，，，所以则，夹角的余弦值的最小值为，D正确．故选ACD．
12． 因为，所以，则，解得．
13． 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，所以，故，所以过点的直线的方程为，即．
14． 设，由，得，由椭圆的定义知，在中，，整理得，在中，，整理得，由②－①，得，则，故椭圆的离心率为．
15．解：（1）设的一般方程为，
由题意可知，
解得，，，
所以，
故的标准方程为．
（2）由（1）可知，，半径．
则圆心到直线的距离为，
所以，
故的面积为．
16．解：（1）若，则，即过点，又过点，
则的方程为，即，
若，则，设的方程为，所以，
将代入方程，得，解得，
所以的方程为，即．
所以直线的方程为或．
（2）设直线的方程为，由直线经过点得，，
则，
当且仅当，即，时取得等号，故，
所以的方程为，即．
17．（1）证明：因为，，，所以，
所以，
又，且，，平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）解：因为，，所以，则．
由（1）可知，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
当点为棱的中点时，，，，．
设平面的一个法向量，
则即
令，解得，，故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
（3）解：由（2）可知，，
设，则，
设平面的一个法向量，
则即令，解得，，
故，
设平面的一个法向量为，
由得令，解得，，故，
所以，
即，整理，得，解得或（舍去）．
故．
18．（1）解：设椭圆的方程为，
由題意可得解得，，
故椭圆的方程为．
（2）①证明：易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，则，
联立与直线的方程，得消去并整理，得，
则，所以，
设，，则，．
因为，所以，
即，所以，
则，
整理，得，解得（舍去）．
所以直线的方程为，故直线过定点．
②解：由①知，则，
所以的面积为
设，则，所以，
由函数在上单调递增知，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故的面积的最大值为．
19．（1）解：由，得，直线的方向向量为，
故直线的点方向式方程为（若答案写为：也正确）．
（2）证明：由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，则，，
即
令，解得，故，
又平面的法向量为，，
因为，所以．
（3）解：设侧面所在平面的法向量，
因平面经过三点，，，则，，
所以即
令，解得，
故平面的法向量，
平面的法向量为，
由（2）可求得平面与平面的交线的方向向量为，
平面的法向量为，
由，
解得，则，
所以，
故平面与平面夹角的大小为．