安徽省宣城中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题（原卷版）

这是一份安徽省宣城中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的实部为（ ）
A. B. C. 2D.
2. 某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （ ）
A. 是对立事件B. 都是不可能事件
C. 是互斥事件但不是对立事件D. 不是互斥事件
3. 已知向量，若∥，则（ ）
A 2B. C. D. 3
4. 若a，b，l是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
5. 已知，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（ ）

A. B. C. D.
7. 在四面体中，已知点，分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在图示正方体中，O为BD中点，直线平面，下列说法正确的是（ ）．
A. A，C，，四点共面B. ，M，O三点共线
C. 平面D. 与BD异面
10. 若数据，，…，的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ）
A. 数据，，…，的平均数为13
B.
C. 数据，，…，的方差为36
D.
11. 在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知事件和事件相互独立，表示事件的对立事件，，，则______.
13. 已知平面向量，向量在向量上的投影向量为，则=______.
14. 已知正方体的棱长为1，P是中点，过点作平面，满足平面，则平面截正方体所得截面的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设复数．
（1）在复平面内，复数对应的点在第二象限，求a的取值范围；
（2）若是纯虚数，求.
16. 记锐角的内角的对边分别为.已知，.
（1）求b的值；
（2）若，求
17. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组.
（1）求直方图中a值和第25百分位数；
（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，求两名幸运市民年龄都在内的概率.
18. 如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且．
（1）求证：；
（2）若,求直线与平面所成角正弦值．
19. 对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”.
（1）若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围；
（2）一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设.记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①当时，求；
②证明：.