高一预习-3.2.1 单调性与最大（小）值（学生版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

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这是一份高一预习-3.2.1 单调性与最大（小）值（学生版）-初升高数学暑假衔接（人教版），共14页。学案主要包含了知识梳理，基础自测，例题详解，课堂巩固，课时作业等内容，欢迎下载使用。

知识点一增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
(1)如果∀x1，x2∈D，当x1(2)如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
知识点二函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三函数的最大(小)值及其几何意义
知识点四求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
【基础自测】
1．函数y＝x－eq \f(1,x)在[1,2]上的最大值为( )
A．0 B．eq \f(3,2) C．2 D．3
2．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则( )
A．f(3)C．f(2)3．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1，))则f(x)的单调递减区间是________．
5．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
【例题详解】
一、定义法判断或证明函数的单调性
例1 (1)根据定义证明函数在区间上单调递增.
(2)已知函数(为常数且)，试判断函数在(－1，1)上的单调性．
跟踪训练1 (1)已知函数，且 .
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求函数的解析式；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.
(2)判断并证明在的单调性.
二、求函数的单调区间
例2 (1)函数的单调递减区间是（）
A． B．C． D．
(2)函数的单调递减区间为（）
A．（–∞，2] B．[2，+∞） C．[0，2] D．[0，+∞）
跟踪训练2 (1)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
(2)函数的单调减区间是______．
三、单调性的应用
命题点1 已知单调区间求参数
例3 (1)函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
(2)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．
(3)已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
跟踪训练3 (1)（多选）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（）
A．，B．，
C．，D．，
(2)函数在区间上具有单调性，则m的取值范围为_______.
(3)若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．
命题点2 与分段函数有关的单调性问题
例4 (1)（多选）已知函数在R上单调递减，则a不可能等于（）
A．B．1C．D．2
(2)已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是___________.
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x－1，x≤1.))若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
(2)已知函数满足且，有，则实数a的取值范围是__________．（用集合或区间表示）
命题点3 根据函数的单调性解不等式
例5 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
(2)已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（）
A．（0，1）B．（-2，1）C．（0，）D．（0，2）
(3)已知，若，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．D．
跟踪训练5 (1)已知是定义在单调递减函数，若，则实数的取值范围是__________.
(2)已知函数是定义在R上的增函数，且，那么实数a的取值范围为________．
(3)已知定义在[1,4]上的函数是减函数，则满足不等式的实数的取值范围为____.
四、图像法求函数的最值
例6 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))求f(x)的最大值、最小值．
(2)求函数在－的最值.
(3)已知函数.完成下面两个问题：
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)画出函数的图象，并写出其单调增区间：
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)求函数在区间上的最大值.
(4)已知函数，的图象如图所示，请回答：
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)当，时，求此函数的值域；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)当，时，求此函数的值域.
跟踪训练6 画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：
（1）；
（2），；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
五、利用函数的单调性求最值
例7 (1)函数的值域为_______________．
(2)已知，，求函数的最大值和最小值．
(3)求的最小值．
(4)已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x＋2)，x∈[3,5]．
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)判断函数f(x)的单调性并证明；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)求函数f(x)的最大值和最小值．
跟踪训练7 已知函数，且
(1)求实数a的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)求函数在上的值域．
【课堂巩固】
1．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )
A．10,5 B．10,1
C．5,1 D．以上都不对
2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2 C．2或－2 D．0
3．已知函数对，都有，且，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是（）
A．B．C．D．
5．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（）
A．4B．6C．10D．24
6．函数y＝eq \f(1,x－1)的单调递减区间是________．
7．“”是“函数在区间上为严格增函数”的______条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
8．已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.
9．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
10．（1）若函数的单调递减区间是，则实数的取值范围是______.
（2）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______.
11．检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和对应的最大（小）值点．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．已知函数
(1)把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；
(2)写出函数的递减区间．
13．已知函数，求函数在区间上的最值.
14．已知．
(1)证明：在（2，+∞）单调递增；
(2)解不等式：．
【课时作业】
1．“函数在区间上不单调”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知在上为增函数，则（）
A．B．C．D．
3．若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
4．已知函数，则（）
A．的最大值为，最小值为
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，无最小值
D．的最大值为，最小值为
5．已知是上的增函数，那么a的取值范围是（）
A．B．C．D．
6．已知函数的最小值为，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
7．函数的单调递增区间是（）
A．B．C．D．
8．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
9．（多选）若二次函数在区间上是增函数，则a可以是（）
A．B．0C．1D．2
10．（多选）下列函数中，在上为增函数的是（）
A．B．C．D．
11．（多选）设函数，当为增函数时，实数的值可能是（）
A．2B． C．D．1
12．（多选）已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的最大值为3B．f(0)＝2
C．若f(x)＝－1，则x＝2D．f(x)在定义域上是减函数
13．已知是上的减函数，则实数的取值范围为______．
14．函数的单调递增区间是______．
15．已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
16．已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.
17．已知函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
18．已知函数.
（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；（不用列表，直接画出草图．
（2）根据图象，直接写出函数的单调区间；
（3）若关于的方程有四个解，求的取值范围．
19．已知函数.
(1)根据绝对值和分段函数知识，将写成分段函数；
(2)在下面的直角坐标系中画出函数的图象，根据图象，写出函数的单调区间、值域．（不要求证明）；
(3)若在区间上，满足，求实数的取值范围.
20．已知函数，
(1)证明：在上单调递减，并求出其最大值与最小值：
(2)若在上的最大值为，且，求的最小值.
最值
条件
几何意义
最大值
①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值
①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标

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