高一预习-专题强化：集合和逻辑用语综合题型归纳（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

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【考点突破】
一、集合的综合运算
1．已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，
故选：A
2．已知，若，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】根据并集的知识求得.
【详解】由于，所以，
此时，满足.
故选：C
3．已知集合且，则集合A的子集的个数为（ ）
A．15B．16C．31D．32
【答案】D
【分析】先求出集合中元素的个数，再利用含有个元素的集合的子集个数为，即可求出结果.
【详解】因为且，可知，集合中含有5个元素，所以集合的子集个数为.
故选：D.
4．已知全集，集合，．求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据交集概念进行计算；
（2）根据并集概念进行计算；
（3）先求出，，进而求出答案.
【详解】（1）；
（2）.
（3），
故，，.
5．已知全集，或，.
(1)当时，求，，；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，或，
(2)或
【分析】（1）代入，再根据交，并，补的定义求解即可；
（2）由得到，根据集合的关系可得实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，或，
，又，
，或，；
（2）若，则，
或，
或.
6．已知，，全集
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；
（2）分与由条件列不等式求范围即可.
【详解】（1）当时，，
所以或，又，
所以.
（2）由题可得：当时，有，解得a的取值范围为；
当时有，解得a的取值范围为，
综上所述a的取值范围为.
二、充分条件、必要条件与充要条件
1．已知，为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由，即成立，故充分性成立；
取，，则成立，但不成立，故必要性不成立.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求解不等式和，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】由得，
由，得，即，
；反之，不成立.
“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由充分不必要条件的定义求解即可
【详解】对于A：令，则，不能推出，A错误.
对于B：令，则，不能推出，B错误.
对于C：由，得，则，
反之令，则，但不成立，C正确.
对于D：由，得，令，不能推出，D错误.
故选：C
4．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.
【详解】命题p：因为，所以，解得，
命题q：，
因为p是q的充分不必要条件，所以.
故选：C
5．已知：关于的方程有实数根，：．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.
（2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
6．设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；
（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
三、全称量词命题与存在量词命题
1．命题“，．”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称存在量词命题，
所以命题“，．”的否定是“，”.
故选：B
2．命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.
【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p：，的否定为：，.
故选：D
3．已知集合，.
(1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围.
(2)“命题：，”是假命题，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可；
（2）由命题是假命题得，再分和两种情况讨论，从而可得答案.
【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以，
当时，，解得，
当时，则，解得，
综上m的取值范围为；
（2）解：因为“命题：，”是假命题，所以，
当时，，解得，
当时，则或，解得，
综上的取值范围为.
4．已知，命题，；命题，使得.
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围；
【答案】(1)1；(2).
【分析】（1）先求出的范围，利用全称命题为真命题即可求得；（2）先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：i.p真q假时和ii. p假q真时分别求出对应a的取值范围即可求解.
【详解】（1）记，由在单调递增，所以.
要使命题，为真命题，只需，即a的最大值为1.
（2）命题，使得为真命题，则，解得：或.
i.p真q假时，只需，所以；
ii. p假q真时，只需或，所以；
所以或.
综上所述：a的取值范围为.
【随堂演练】
1．有下列四个命题：①；②③若，则；④集合有两个元素；⑤集合是有限集.；其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据空集的概念和性质得到①正确，根据元素和集合的关系得到②正确；举出反例得到③错误；求出，得到④错误；求出，判断⑤正确.
【详解】①因为是任何集合的子集，所以，①正确；
②是的一个元素，故，②正确；
③若，满足，，故③错误；
④，集合有1个元素，故④错误；
⑤集合，故是有限集，⑤正确.
故选：C
2．设集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】用列举法写出集合的元素即可.
【详解】因为集合，，
所以集合中元素为，共4个.
故选：C
3．已知集合，集合，则等于（ ）
A．B．C．．D．
【答案】B
【分析】求出两直线的交点坐标，即可得解.
【详解】由，解得，
因为集合，集合，
所以.
故选：B
4．集合，则的子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
【答案】D
【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案．
【详解】集合，,
，
故有个子集.
故选：D．
5．已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由集合的包含关系列不等式，即可得结果.
【详解】由题设，，又且，
所以，即.
故选：C
6．设命题命题则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】判断p，q间关系可得答案.
【详解】当，则，故p是q的充分条件；
当，则可令，不能得到，则p不是q的必要条件.
则p是q的充分不必要条件.
故选：A
7．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】分别从充分性和必要性进行论证即可求解.
【详解】若，则同号，所以成立，充分性成立；
若成立，两边同时平方可得：，
所以，则，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：.
8．已知：，：，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由可得，或，，
所以由推不出，，由，，可以推出，
故是的必要不充分条件.
故选：B.
9．命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】命题为全称量词命题，
其否定为.
故选：D
10．下列命题中是真命题的为（ ）
A．，使
B．，使
C．，
D．，
【答案】D
【分析】根据特殊命题的真假判断A，B；当时，，从而判断C；由，可得，从而判断D.
【详解】解：对于A，由，可得，所以不存在，使成立，故错误；
对于B，由，可得，所以不存在，使，故错误；
对于C，当时，，故错误；
对于D，因为当时，，故正确.
故选：D.
11．（多选）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由集合与集合的关系，对选项依次辨析即可.
【详解】对于A，时，，有，故选项A正确；
对于B，时，，有，故选项B正确；
对于C，时，，有，故选项C正确；
对于D，时，，集合不满足集合元素的互异性，故选项D不正确.
故选：ABC.
12．（多选）使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．
【详解】由题意，不等式，，解得，
故不等式的解集为：，
则其一个充分不必要条件可以是，或.
故选：CD.
13．（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．“”的充要条件是“”
B．“”是“”的既不充分也不必要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”的否定是“”
【答案】BC
【分析】对A，由，但推不出即可判断；对B，取，满足，但；同理取，满足，但即可判断；对C，因为，但推不出即可判断；对D，根据存在量词的命题的否定即可判断.
【详解】对A：由，但当时，推不出，
所以是的充分不必要条件，故选项A错误；
对B：取，满足，但，所以推不出；
同理取，满足，但，所以推不出，
所以是的既不充分也不必要条件，故选项B正确；
对C：因为，当时满足但推不出，
所以“，”是“”的充分不必要条件，故选项C正确；
对D：命题“，”的否定是，”，故选项D错误；
故选：BC.
14．已知集合，．
(1)当时，求出；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)= 或；(2)
【分析】（1）当时，得，由补集和交集运算即可求解；
（2）由题可知，分集合和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围.
【详解】（1）当时，，所以=或，
所以=或；
（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得，
①当时，；
②当时，由得，，
综上所述，.
15．已知命题，为假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由题意可得，即可求得集合；
（2）分析可知⫋，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：由题意可得，解得，故.
（2）解：由题意可知⫋.
当时，则，解得，此时⫋成立；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
16．设命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足或.
（1）若，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，命题:，由命题均为真命题可得， 解不等式即可求得答案;
（2）是的充分不必要条件等价于集合是集合或的真子集，利用包含关系列不等式即可求得答案.
【详解】（1）当时，命题p：实数x满足.
命题q：实数x满足或
因为p，q均为真命题，则，解得.
命题均为真命题时，实数的取值范围是.
（2）是的充分不必要条件,
集合是集合或的真子集,
所以①即，
或②即，
当是的充分不必要条件时,实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将充分不必要条件问题转化为集合真子集问题是解题的关键.