高中人教A版 (2019)2.3 直线的交点坐标与距离公式教学ppt课件

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学习目标活动方案 检测反馈
学 习 目 标 XUE XI MU BIAC 1.会用向量工具推导点到直线的距离公式.2.掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线的距离公式解决 有关距离问题.3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用 等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.
【解析】点P到直线l的距离，就是从点P 到直线l的垂线段PQ 的长度， 其中Q 是垂足，所以求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出PQ, 就可以得到点P 到直线l的距离.
探究：如图，已知点P(x₀,y₀),直线l:Ax+By+C=0, 如何求点P到直线l
探究点到直线距离的求法
解方程得直线l与PQ 的交点坐标，即垂足Q 的坐标为
设A≠0,B≠0. 由PQ⊥l, 以及直线l的斜率为 得直线l的垂线
PQ 的斜率)所以垂线PQ 的方程为
即Bx—Ay=Bx₀—Ay.
所以PQ=所以点P(x₀ ,y)到直线l:Ax+By+C=0
可以验证，当A=0 或 B=0 时，上述公式仍然成立.
【解析】思路自然但运算量较大.
思考1>DD这种解法的优缺点是什么?
思考2DD▶向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直 线的距离?
是PM 在n 上的投影向量， |PQI=|PM.n|. yAP(x₀,y%)n0 OP₁
【解析】能，点P 到直线l 的距离，就是向量PQ的 模 . 设M(x,y)是直线l 上的任意一点，n 是与直线1的方向向量垂直的单位向量，则PQ
=(x₂—x₁,y₂—y₁)是直线l的方向向量.将 Ax₁+By₁+C=0,Ax₂+By₂+C=0 两式相减，得A(x₂—x₁)+B(y₂—y₁)=0.由平面向量的数量积运算可知，向量(A,B) 与向量(x₂—x₁,y₂—y₁)垂直. 向 )就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量.我们取
设P₁ (x₁,y₁),P₂ (x₂,y₂)是直线l:Ax+By+C=0 上的任意两点，则P₁P₂
因为点M(x,y) 在直线1上，所以Ax+By+C=0, 所以Ax+By =—C.代入①式，得
思考3>DD比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点 间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投 影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有 其他推导方法吗?
【解析】运用数形结合的思想，将求点到直线的距离转化为求水平 或垂直线段的长度，进而通过面积关系加以解决.推导略.
点P(x₀,y) 到直线l:Ax+By+C=0 的距离为
例1 求点P(—1,2)到下列直线的距离.(1)2x+y-10=0; (2)y=3x+2;(3)x=3; (4)y=—1.
活 动 二 通过简单运用加深对点到直线距离公式的理解
【解析】(2)y=3x+2 化为一般式为3x—y+2=0,所以
【解析】画图直接利用图形性质求解.
思考4>D▶(3)(4)小题有其他解法吗?
反思与感悟应用点到直线的距离公式应注意的三个问题：(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0,公式仍然适用.(3)直线方程Ax+By+C=0 中 ，A=0 或B=0 公式也成立，但由于直 线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
【解析】方法一：当过点M(一1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l 的方程为x=—1,恰好A(2,3),B (一4,5)两点到直线l的距离相等，故x=—1 满足题意；当过点M(—1,2)的直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y—2=k(x+1), 即kx—y+k+2=0.
坐跟踪训练已知直线l经过点M(—1,2), 且A(2,3),B(—4,5)
相等，求直线l的方程.
化简，得|3k—1|=|-3k—3|,则 3k—1=—3k—3 或 3k—1=3k+3,解得所以直线l的方程为x+3y-5=0.综上所述，直线l 的方程为x=—1 或 x+3y-5=0.
由 A(2,3) 与 B(一4,5)两点到直线 l 的距离相等，
此时直线l的方程为即x+3y-5=0.当直线l 过AB的中点(—1,4)时，直线l 的方程为x=—1. 综上所述，直线l 的方程为x=—1 或x+3y—5=0.
方法二：由题意，得l//AB 或l过AB 的中点.当l//AB 时，设直线AB的斜率为kAB,直线l 的斜率为k, 则 k₁=kAB
AB=√(3-1)²+(1-3)²=2√2.边 AB 上的高h 就是点C 到直线AB 的距离.边AB 所在直线l的方程
△ABC 的面积.【解析】如图，设边AB 上的高为h,
即x+y—4=0.点 C (一1,0)到直线l:x+y-4=0
例 2 已知△ABC的三个顶点分别是A(1,3),B(3,1),C (一1,0),求
1.已知直线l经过原点，且点M(5,0)到直线的距离等于3,则直线l的方程为( )A.3x—4y=0 B.3x+4y=0C.4x—3y=0 和4x+3y=0 D.3x—4y=0 或3x+4y=0
【解析】因为直线1经过原点，且点M(5,0)到直线l的距离等于3,所以设直线l 的方程为y=kx, 即 kx—y=0, 则 解得 9所以直线l的方程为3x—4y=0 或 3x+4y=0.
3x+y-8=0 的交点为P, 则点P 到直线l:y=—2x+√5 的距离为( )A.
【答案】C5 内 容 索 引
2. (2022 · 惠州华罗庚中学月考)已知直线l₁ :2x—y—2=0 与直线l₂ :
3.(多选)已知直线l过点P(3,4)且与点A(一2,2),B(4, 一2)等距离，则直线的方程可以是( )A.2x+3y-18=0 B.2x—y—2=0C.3x—2y+18=0 D.2x—y+2=0
【答案】AB1 2
4.已知直线l:(2+m)x+(1— 2m)y+4-3m=0 (m∈R)过定点A, 则 点
A到直线n:x+y=1 的距离是
【解析】(1)因为直线BC 的斜率 所以BC 边上高所在直线的斜率则BC边上的高所在的直线方程为 即 3x+2y-1=0.
个顶点的坐标分别为A(—1,2),B (一3,4),C(0,6). 求 ：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)△ABC的面积.
5. (2022 · 惠州华罗庚中学月考)在平面直角坐标系中，已知△ABC 三
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又BC= √ (0+3)²+(6-4)²= √ 13,所以△ABC 的面积
(2)由题意，得BC的方程为所以点A到直线BC的距离
即 2x—3y+18=0,