初中数学华东师大版（2024）九年级上册3. 相似三角形的性质优秀导学案及答案

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\l "_Tc14063" 【题型1 利用相似三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc14063 \h 2
\l "_Tc11774" 【题型2 运用相似三角形解决折叠问题】 PAGEREF _Tc11774 \h 2
\l "_Tc11500" 【题型3 运用相似三角形解决三角板问题】 PAGEREF _Tc11500 \h 3
\l "_Tc11528" 【题型4 运用相似三角形解决裁剪问题】 PAGEREF _Tc11528 \h 5
\l "_Tc31343" 【题型5 运用相似三角形解决格点问题】 PAGEREF _Tc31343 \h 7
\l "_Tc7091" 【题型6 运用相似三角形探究线段之间的关系】 PAGEREF _Tc7091 \h 9
\l "_Tc876" 【题型7 运用相似三角形解决尺规作图问题】 PAGEREF _Tc876 \h 10
\l "_Tc29155" 【题型8 运用相似三角形解决动点问题】 PAGEREF _Tc29155 \h 12
\l "_Tc23814" 【题型9 运用相似三角形解决最值问题】 PAGEREF _Tc23814 \h 13
\l "_Tc16826" 【题型10 运用相似三角形解决多结论问题】 PAGEREF _Tc16826 \h 14
知识点1：相似三角形的性质
【题型1 利用相似三角形的性质求解】
【例1】（23-24九年级·四川成都·期末）若△ABC∽△A1B1C1，且ABA1B1＝23．若△ABC的面积为8，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．83B．6C．9D．18
【变式1-1】（23-24九年级·江苏连云港·期末）已知△ABC∽△DEF,△ABC的三条边分别为6、8、10，若△DEF的最短边为3，则最长边为 ．
【变式1-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，点P在△ABC的边AB上，∠A=70°，∠B=45°，若△ABC∽△ACP，则∠APC=（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【变式1-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）已知两个相似三角形的周长比为2:3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为 ．
【题型2 运用相似三角形解决折叠问题】
【例2】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC沿DE折叠，使点C落在△ABC边上C'处，并且C'D∥BC，则CD的长是（ ）

A．132B．15625C．254D．265
【变式2-1】（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边 AD=5，OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置， 线段OD恰好经过点 B，点 C落在y轴的点C1位置，点 E 的坐标是 ．
【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处，CB'⊥AD，垂足为F．若CF=4cm，FB'=1cm，则BE= cm．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏淮安·期中）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
图1 图2
(1)如图1，若点P恰好在边BC上，连接AP，求APDE的值；
(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
【题型3 运用相似三角形解决三角板问题】
【例3】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，△ABC为等腰Rt△ABC，∠ABC=∠BAD=90°，∠ABD=30°，AB=63，记DB交AC于E．若AC上有一点F满足∠DBF=45°，则EF的长为（ ）
A．66-63B．18-63C．92-36D．66-62
【变式3-1】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）如图，将一副三角板按图叠放，则AOOC的值为 ．
【变式3-2】（23-24九年级·山东济南·期中）【问题背景】
△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
【用数学的眼光观察】
（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，以下结论正确的是：_______；
①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP=∠CPF；④BECP=PEFP.
【用数学的思维思考】
（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；
【用数学的语言表达】
（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，△BPE∽△PFE？说明理由．

【变式3-3】（23-24九年级·山东济南·期中）如图，把两块全等的等腰直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点E与三角板ABC的斜边中点重合，其中∠BAC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6．把三角板ABC固定不动，三角板DEF由图1所示的位置绕点E沿顺时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°<α<90°．设射线ED与射线BA相交于点P，射线EF与线段CA相交于点Q（当三角板旋转到图3所示位置时，线段EP交线段CA于点M）．
(1)如图1，当射线EF经过点A，即点Q与点A重合时，易证△BPE∽△CEQ．此时，BP⋅CQ=______；
(2)当三角板DEF转到如图2的位置时，BP⋅CQ的值是否改变？说明你的理由；
(3)在三角板DEF旋转的过程中，两三角板重合部分的面积是否可能为154？若可能，直接写出此时CQ的长；若不可能，请说明理由．
【题型4 运用相似三角形解决裁剪问题】
【例4】（2024·山东菏泽·一模）包书皮是每位同学都经历过的事情，下面展示两种包书皮的方法：
(1)一本字典长为acm，宽为bcm，高为ccm，如果按方法一包书，将封面和封底各折进去3cm，试用含a、b、c的代数式分别表示封皮的长和宽；
(2)现有1张一角污损的矩形包书纸，如右图，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm，AE=12cm，AF=16cm．使用没有污损的部分按方法二的方式包一本长为19cm，宽16cm，厚为6cm的字典．试画出一种合适的剪裁法，并写出剪裁后矩形的长和宽；
(3)在（2）的条件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包这本书，并说明理由．

【变式4-1】（23-24九年级·北京·期中）如图，直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC边长为10cm．现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长是 cm．
【变式4-2】（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为100dm2的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是 dm3．
【变式4-3】（2024·江苏徐州·模拟预测）A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入DIN(编号是DIN476)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．ISO216定义了 A、B、C 三组纸张尺寸．
(1)观察发现：如图1，将A4纸2次折叠，发现第1次的折痕与A4纸较长的边重合，由此可求出A4纸较长边与较短边的比为 ．
(2)探究迁移；将一张A4纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点?请说明理由．
(3)拓展应用；利用一张A4纸经过裁剪获得一张边长为21cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点．
【题型5 运用相似三角形解决格点问题】
【例5】（23-24九年级·江苏扬州·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图①中，PDPA=______；（填两数字之比）
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在线段AB上找一点P，使APBP=32；
②如图③，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC．
【变式5-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，请按要求作图．

(1)在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）．
(2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ=2AQ．
【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）在5×5的方格中，△ABC是格点三角形（三角形的顶点在格点上）
(1)要求在图1的方格中，画一个与△ABC相似且相似比为整数（不为1）的格点三角形．
(2)要求在图2的方格中，画一个与△ABC相似且相似比不为整数的格点三角形．
(3)要求在图3的方格中，画一个与△ABC相似且面积最大的格点三角形．
【变式5-3】（2024·江苏无锡·一模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图①中，PC：PB= ．
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP=3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
【题型6 运用相似三角形探究线段之间的关系】
【例6】（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
【变式6-1】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB>DE），连接AG，CE交于点H，判断线段AG与CE的数量关系及位置关系；
（2）如图2，已知矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α0°<α<360°，连接AG，CE交于点H，（1）中线段数量关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由．
【变式6-2】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
(1)求证：∠DAE=∠DCE；
(2)求证：△ECF∽△EGC；
(3)当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．
【变式6-3】（2024·河南信阳·模拟预测）阅读理解：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
(1)解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中，即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为______；
(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)问题解决：如图3，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB，DF，CF之间的数量关系，直接写出你的结论．
【题型7 运用相似三角形解决尺规作图问题】
【例7】（2024·河北沧州·模拟预测）如图，在△ABC中，用尺规按①到③的步骤作图：
①以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于F、E两点；
②分别以F、E为圆心，大于12FE为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC于点D；
结论Ⅰ：线段AD上必有一点M，使得S△ABM+S△ACM>S△BCM；
结论Ⅱ：ABAC=BDCD；
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是( )

A．结论Ⅰ和结论Ⅱ都对B．结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对
C．结论Ⅰ对，结论Ⅱ不对D．结论Ⅰ不对，结论Ⅱ对
【变式7-1】（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD交边BC于点E；②以点E为圆心，以BE的长为半径作弧交边AC于点F．若AB=AC=3，BC=2，则CF的长为 ．
【变式7-2】（2024·江苏镇江·二模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．
如图，①分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接AC，BC，AD，作射线BD；③以D为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BD于点E；④连接CE，交AB于点F．点F即为AB的一个三等分点（即AF=13AB)．
学习任务：
(1)填空：四边形ADBC的形状是 ； 你的依据是 ；
(2)证明： AF=13AB
【变式7-3】（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线AG．若射线AG经过点D，则AE的长度为（ ）
A．813B．1513C．2013D．2513
【题型8 运用相似三角形解决动点问题】
【例8】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，Rt△AOB中，∠O=90°，OA=20cm，OB=15cm，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向O运动，动直线EF从OA开始以每秒1cm的速度向上平行移动，分别与OB,AB交于点E，F，连接EP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．当t为 时，△EOP与△BOA相似．
【变式8-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8，过点B作射线BM∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作EF⊥AC交射线BM于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t，当△DEG与△ACB相似且点D位于点E左侧时，t的值为 ．
【变式8-2】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为
【变式8-3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒342cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为 ．
【题型9 运用相似三角形解决最值问题】
【例9】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E是AB边上一点，且BE=3，D为BC边上一动点，作∠EDF交AC边于点F，若∠EDF=60°，则AF的最小值为 ．

【变式9-1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
【变式9-2】（2024·河北邯郸·三模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E在CB边上，DE的中点为G，EG绕点E顺时针旋转90°得EF，若CE=x，则：
（1）当x=6时，EF的长为 ；
（2）在x的变化过程中，CF的最小值是 ．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则AD2的最大值是（ ）
A．98B．100C．72D．70
【题型10 运用相似三角形解决多结论问题】
【例10】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，正方形ABCD中，G是AD边的延长线上一点，以CG为对角线作正方形CFGE，GE的延长线交对角线AC于点H，连接BE，DF，延长FG，CD交于点M．下列结论：①BE⊥AC；②∠AHG=∠AGF；③AD+DG=2DF；④2CF2=CH⋅AC．其中结论正确的序号有（ ）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【变式10-1】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，在矩形ABCD中，点G是边BC的三等分点(BGA．1个B．2个C．3个D．4个
【变式10-2】（23-24九年级·四川宜宾·期中）如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②DEDA=12；③AC·BE=12；④3BF=4AC．其中结论正确的有（ ）．

A．①②③B．①④C．①③④D．②③④
【变式10-3】（23-24九年级·山东·期末）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；②DEDA=34 ；③AC⋅BE=12；④3BF=4AC，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个①相似三角形的对应角相等．如图，，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有
（为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图，∽，则有
方法一：
方法二：