2023-2024学年安徽省芜湖市鸠江区沈巷中学七年级（上）竞赛数学试卷（B卷）

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市鸠江区沈巷中学七年级（上）竞赛数学试卷（B卷），共20页。

A．1B．2或1C．0D．1或0
2．（3分）若当x＝9时，代数式ax7+bx3﹣5的值为13；则当x＝﹣9时，代数式x7+x3+8的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．
3．（3分）若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b常数）的解总是x＝1，则a+b的值是（ ）
A．﹣0.5B．0.5C．﹣1.5D．1
4．（3分）如图，数轴上P、Q、S、T四点对应的整数分别是p、q、s、t，且有p+q+s+t＝﹣2，那么，原点应是点（ ）
A．PB．QC．SD．T
5．（3分）如图，数轴上A，C位于B的两侧，且AB＝2BC，若点B表示的数是1，点C表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．0B．﹣2C．﹣3D．﹣1
6．（3分）如图，点B是线段AD的中点，C在线段BD上且满足BD＝3CD，若图中所有线段的长度之和为30，则线段BC的长度为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）已知m2+2mn＝3，2n2+3mn＝5，则代数式2m2+13mn+6n2的值是（ ）
A．18B．19C．20D．21
8．（3分）有一列数：a1，a2，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，若a1＝2，设a2021＝x，则式子：（﹣x2+5+4x）﹣（4﹣5x﹣3x2）的值为（ ）
A．6B．27C．﹣6D．﹣27
9．（3分）数轴上点A，O，B，C分别表示实数﹣4，0，2，3，点M，N分别从A，O出发，沿数轴正方向移动，点P从B出发，在线段BC上往返运动（P在B，C处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点M，N，P的速度分别为2，1，1个单位长度每秒，点M，N重合时，运动停止．当点P为线段MN的中点时，运动时间t为（ ）
A．2B．C．D．或
10．（3分）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（ ）
A．5B．6C．5或23D．6或24
二.填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
11．（3分）将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为55的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ．
12．（3分）已知∠AOB＝25°，过点O作射线OC，OM平分∠COA，，且m，n使关于x的方程2m（x﹣1）＝6x﹣3n有无数多个解，则∠BOM＝ ．
13．（3分）如图，动点A，B，C分别从数轴﹣30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若k⋅PM﹣MN为常数，则k为 ．
14．（3分）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成，甲单独工作13天后，因某原因离开了，此后由乙来接替，乙三天后完成了这项工程，则甲的工作效率是乙的 倍．
15．（3分）某同学晚上6点多开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针与分针的夹角还是120°，此同学做作业用了 分钟．
16．（3分）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 ．
三.解答题（本大题共5大题，满分52分）
17．（8分）已知a＝，b＝，试比较a，b的大小关系，并说明理由．
18．（8分）如果一个整式的值关于x无关，那么也就是说这个整式关于x除常数项外各项系数为0．若代数式4x2﹣mx﹣3y+4﹣（8nx2﹣x+2y﹣3）的值与字母x的取值无关，求代数式﹣m2+2mn﹣n2﹣2（mn﹣3m2）+3（2n2﹣mn）的值．
19．（12分）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格，分针OP和时针OQ均绕中心O匀速转动．（本题中的角均指小于180°的角），
（1）分针每分钟转 度，时针每分钟转 度，当时间为3：30时，分针和时针的夹角为 度；
（2）求2：00开始后几分钟分针第一次追上时针；
（3）点A为4点钟的位置，OM平分∠AOP，ON平分∠AOQ，从4：00开始计时，t分钟后（t＜60），∠MON＝45°，求t的值．
20．（12分）已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF＝36°，则∠BOE＝ ；若∠COF＝m，则∠BOE＝ ；∠BOE与∠COF的数量关系是 ．
（2）当∠COE绕点O顺时针旋转到如图2的位置时（OE在AB上方），（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否还存在？请说明理由；
（3）在图2中，反向延长OC得射线OD，试探索射线OD能否平分∠BOF，若能，求∠COF的度数；若不能，请说明理由．
21．（12分）数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2．
（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．
①则点D表示的数为 ．
②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值；
（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．
2023-2024学年安徽省芜湖市鸠江区沈巷中学七年级（上）竞赛数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）
1．【分析】首先根据a，b，c都为整数及已知条件，得，或，由此可得出|a﹣b|＝1，b＝c或a＝b，|b﹣c|＝1，然后进行分类讨论即可得出答案．
【解答】解：∵a，b，c都为整数，
∴a﹣b和b﹣c都为整数，
又∵|a﹣b|2023+|b﹣c|2022＝1，
∴，或，
∴|a﹣b|＝1，b＝c或a＝b，|b﹣c|＝1，
∴当b＝c，|a﹣b|＝1时，
|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|＝|a﹣b|﹣|a﹣b|＝0；
当a＝b，|b﹣c|＝1时，
|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|＝|b﹣c|﹣|b﹣c|＝0．
综上所述：|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的结果是0．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值的意义，理解绝对值的意义，熟练掌握分类讨论的思想方法是解答此题的关键．
2．【分析】把x＝9代入代数式得到97a+93b＝18，把x＝﹣9代入代数式，把97a+93b＝18整体代入求值即可．
【解答】解：∵当x＝9时，
ax7+bx3﹣5＝97a+93b﹣5＝13，
∴97a+93b＝18，
∴当x＝﹣9时，
x7+x3+8
＝﹣a﹣b+8
＝﹣×（97a+93b）+8
＝﹣×18+8
＝﹣9+8
＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了代数式求值，考查了整体思想，把97a+93b＝18整体代入求值是解题的关键．
3．【分析】把x＝1代入得出（b+4）k＝7﹣2a，根据方程总有解x＝1，推出b+4＝0，7﹣2a＝0，求出即可．
【解答】解：把x＝1代入得：＝1，
去分母得：4k+2a﹣1+kb＝6，
∴（b+4）k＝7﹣2a，
∵不论k取什么实数，关于x的方程（a、b常数）的解总是x＝1，
∴b+4＝0，7﹣2a＝0，
∴a＝，b＝﹣4，
∴a+b＝﹣4＝﹣＝﹣0.5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的应用，能根据题意得出a和b的方程是解决问题的关键．
4．【分析】根据数轴可以分别假设原点在P、Q、S、T，然后分别求出p+q+s+t的值，从而可以判断原点在什么位置，本题得以解决．
【解答】解：由数轴可得，
若原点在P点，则p+q+s+t＝10，
若原点在Q点，则p+q+s+t＝6，
若原点在S点，则p+q+s+t＝﹣2，
若原点在T点，则p+q+s+t＝﹣14，
∵数轴上P、Q、S、T四点对应的整数分别是p、q、s、t，且有p+q+s+t＝﹣2，
∴原点应是点S，
故选：C．
【点评】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答问题．
5．【分析】求出AB线段的长度，因为点A表示的数小于点B，点B表示1，推理出点A表示的数．
【解答】解：∵点B表示的数是1，点C表示的数是3，
∴BC＝2，
∵AB＝2BC，
∴AB＝4，
由数轴可知：点A表示的数小于点B表示的数，
∴1﹣4＝﹣3，
即点A表示的数为﹣3，
故选：C．
【点评】本题以数轴为背景考查了学生在数轴中的 数形结合的能力，本题难度较小，明确AB线段的长度以及A、B两点表示的数的大小即可求出答案．
6．【分析】设CD＝x，则BD＝3x，BC＝2x，结合中点的定义可得AD＝6x，利用图中所有线段的长度之和为30可得3AD+BC＝30，即可求得x值，进而可求解BC的长．
【解答】解：设CD＝x，则BD＝3x，BC＝2x，
∵B是线段AD的中点，
∴AD＝2BD＝6x，
∵AB+BC+CD+AC+BD+AD＝3AD+BC＝30，
∴18x+2x＝30，
解得x＝，
∴BC＝2x＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查两点间的距离，明确AB+BC+CD+AC+BD+AD＝3AD+BC＝30是解题的关键．
7．【分析】用提取公因式的方法将代数式进行变形，再将数值代入求值．
【解答】解：2m2+13mn+6n2
＝2m2+4mn+9mn+6n2
＝2（m2+2mn）+3（2n2+3mn），
把m2+2mn＝3，2n2+3mn＝5代入，
则：2（m2+2mn）+3（2n2+3mn）
＝2×3+3×5
＝21，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的加减和用代数式求值，关键将整式变形为含有所给数值的代数式．
8．【分析】根据题意先计算前几个数，发现每3个数一个循环，进而可得结果．
【解答】解：∵a1＝2，
∴a2＝1﹣＝；
a3＝1﹣＝﹣1；
a4＝1﹣（）＝2；
…，
从上面的规律可以看出每三个数一循环，
2021÷3＝673…2，
∴．
（﹣x2+5+4x）﹣（4﹣5x﹣3x2）
＝﹣x2+5+4x﹣4+5x+3x2
＝2x2+9x+1
当x＝时，
原式＝2×＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，倒数，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
9．【分析】根据数轴表示数的方法以及线段中点所表示的数的计算方法确定t的取值范围，再进行验证即可．
【解答】解：移动后点M所表示的数为﹣4+2t，点N所表示的数为t，
所以MN的中点所表示的数为，
由于点P为线段MN的中点，而点P在线段BC上往返运动，而点B所表示的数为2，点C所表示的数为3，
即2＜＜3，
所以＜t＜，
而选项中只有t＝符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴，一元一次不等式的应用，理解数轴表示数的方法是正确解答的前提．
10．【分析】分两种情况进行讨论，分别依据直线ON恰好平分锐角∠AOC，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值．
【解答】解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝60°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如图：
∠BON＝∠AOC＝30°，
此时，三角板旋转的角度为90°﹣30°＝60°，
∴t＝60°÷10°＝6；
当ON在∠AOC的内部时，如图：
三角板旋转的角度为360°﹣90°﹣30°＝240°，
∴t＝240°÷10°＝24；
∴t的值为：6或24．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
二.填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
11．【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，根据图1中长方形的周长为36，求得x+y＝，根据图2中长方形的周长为55，求得AB＝﹣3x﹣4y，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长＝2（AB+AD），计算即可得到答案．
【解答】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，
则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，
5号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，
由图1中长方形的周长为36，可得，y+2 （x+y）+（2x+y）＝18，
解得：x+y＝，
如图，图2中长方形的周长为55，
∴AB+2 （x+y）+2x+y+y﹣x＝，
∴AB＝﹣3x﹣4y，
根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2 （AB+AD）
＝2（﹣3x﹣4y+x+y+2x+y+y﹣x）
＝2 （﹣x﹣y）
＝55﹣2 （x+y）
＝55﹣9＝46，
故答案为：46．
【点评】本题考查整式加减的应用，设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题是关键．
12．【分析】方程2m（x﹣1）＝6x﹣3n变形为：（2m﹣6）x＝2m﹣3n，根据题意可得：2m﹣6＝0，2m﹣3n＝0，解得：m＝3，n＝2，分两种情况①OC在∠AOB内部，②OC在∠AOB外部，根据两角比值列方程即可解决．
【解答】解：由2m（x﹣1）＝6x﹣3n，
则（2m﹣6）x＝2m﹣3n，
∵方程2m（x﹣1）＝6x﹣3n有无数多个解，
∴2m﹣6＝0，2m﹣3n＝0，
解得：m＝3，n＝2，
∴＝，
分两种情况：
①OC在∠AOB内部，
如图：
∵，
∴∠BOC＝1.5∠AOC，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝25°，
∴∠AOC+1.5∠AOC＝25°，
解得：∠AOC＝10°，
∵OM平分∠COA，
∴∠AOM＝＝5°，
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝20°；
②OC在∠AOB外部，
∵，
∴∠BOC＝1.5∠AOC，
∵∠AOB＝∠BOC﹣∠AOC＝25°，
∴1.5∠AOC﹣∠AOC＝25°，
解得：∠AOC＝50°，
∵OM平分∠COA，
∴∠AOM＝＝25°，
∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝50°，
故答案为：20°或50°．
【点评】本题考查角平分线的定义，准确识别图形，找到角和角之间的和差关系是解决问题的关键．
13．【分析】首先得出P点在数轴上表示的数为﹣15+t，M点在数轴上表示的数为5+2t，N点在数轴上表示的数为9+4t，分别表示出PM＝20+t，MN＝2t+4，再代入k⋅PM﹣MN，根据k⋅PM﹣MN为常数，得到关于k的方程，解方程即可求解．
【解答】解：依题意有P点在数轴上表示的数为﹣15+t，M点在数轴上表示的数为5+2t，N点在数轴上表示的数为9+4t，
则PM＝20+t，MN＝2t+4，
则k⋅PM﹣MN＝k（20+t）﹣（2t+4）＝（k﹣2）t+20k﹣4，
∵k⋅PM﹣MN为常数，
∴k﹣2＝0，
解得k＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据k⋅PM﹣MN为常数得出等式方程求出是解题关键．
14．【分析】设乙单独做x天完成，则乙每天完成总工作量的，故甲每天完成总工作量的（﹣），进而利用甲先单独做13天后，乙又做3天也可以完成得出等式求出即可．
【解答】解：设乙单独做x天完成，则乙每天完成总工作量的，故甲每天完成总工作量的（﹣），
则13×（﹣）+3×＝1，
解得：x＝，
检验得：x＝是原方程根，
则﹣＝．
所以＝，即甲的工作效率是乙的 倍．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
15．【分析】根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，可列方程求解．
【解答】解：设开始做作业时的时间是6点x分，
∴6x﹣0.5x＝180﹣120，
解得x＝；
再设做完作业后的时间是6点y分，
∴6y﹣0.5y＝180+120，
解得y＝，
∴此同学做作业用了﹣＝分钟．
故答案为：．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
16．【分析】依题意a≤b≤c≤d 原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，所以d＝9，a＝1，即可求解．
【解答】解：依题意a≤b≤c≤d，
则原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，
则d＝9，a＝1 四位数要取最小值且可以重复，
故答案为1119．
【点评】此题考查了绝对值的性质，同时要根据低位上的数字不小于高位上的数字进行逻辑推理．
三.解答题（本大题共5大题，满分52分）
17．【分析】首先计算a＝＝1﹣+﹣+﹣+...+﹣＝1++++...++﹣2（+++...+）＝++...+，即可得到答案．
【解答】解：∵a＝
＝1﹣+﹣+﹣+...+﹣
＝1++++...++﹣2（+++...+）
＝++...+
＝b，
∴a＝b．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，注意数字的特点，找到规律是解答此题的关键．
18．【分析】先根据题意求出m与n的值，然后根据整式的加减运算法则对所求式子进行化简，最后代入化简后的式子即可求出答案．
【解答】解：4x2﹣mx﹣3y+4﹣（8nx2﹣x+2y﹣3）
＝4x2﹣mx﹣3y+4﹣8nx2+x﹣2y+3
＝（4﹣8n）x2+（1﹣m）x﹣5y+7，
由题意可知：4﹣8n＝0，1﹣m＝0，
∴m＝1，n＝，
∴﹣m2+2mn﹣n2﹣2（mn﹣3m2）+3（2n2﹣mn）
＝﹣m2+2mn﹣n2﹣2mn+6m2+6n2﹣3mn
＝5m2+5n2﹣3mn
＝5+5×﹣3×1×
＝．
【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
19．【分析】（1）根据圆周是360°，分别计算时针和分针的转速即可，再根据3：30时时针和分针夹角是2.5个大格计算夹角度数即可；
（2）设x分钟后分针第一次追上时针，根据题意列方程求解即可；
（3）根据题意分情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）分针每分钟转＝6°，时针每分钟转＝0.5°，
∵3：30时时针和分针夹角是2.5个大格，
∴3：30时，分针和时针的夹角为30°×2.5＝75°，
故答案为：6，0.5，75；
（2）设x分钟后分针第一次追上时针，
由题意得，6x﹣0.5x＝60，
解得x＝，
∴分钟后分针第一次追上时针；
（3）①OM没追上ON之前，由题意知，+＝45，
解得t＝，
②OM超过ON之后，由题意知，＝45，
解得t＝，
∴分钟或分钟后（t＜60），∠MON＝45°．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
20．【分析】（1）根据平角、直角以及角平分线的定义进行计算即可；
（2）根据图形中各个角之间的和差关系以及平角、直角、角平分线的定义进行计算即可；
（3）画出相应的图形，结合图形利用角平分线、平角、直角的定义进行解答即可．
【解答】解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝36°，
∴∠EOF＝90°﹣36°＝54°，
∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE＝2∠EOF＝108°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE
＝180°﹣108°
＝72°；
同理，∵∠COE是直角，∠COF＝m，
∴∠EOF＝90°﹣m，
∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2m，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE
＝180°﹣180°+2m
＝2m；
∴∠BOE＝2∠COF，
故答案为：72°，2m，∠BOE＝2∠COF；
（2）成立，理由：
∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE＝2∠EOF＝2∠AOF，
∵∠COF+∠EOF＝90°，
∴2∠COF+2∠EOF＝180°，
∵∠AOE+∠BOE＝180°
∴∠AOE+∠BOE＝2∠COF+2∠EOF，
∵∠AOE＝2∠EOF，
∴∠BOE＝2∠COF；
（3）射线OD不能平分∠BOF，理由如下：
如图，∵∠COE＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DOF＝90°+∠EOF＞90°，即∠DOF为钝角，
若OD平分∠BOF，则∠BOF大于平角，此时OE就不在AB的上方，
所以在图2中，射线OD不能平分∠BOF．
【点评】本题考查平角、直角、角平分线，理解平角、直角、角平分线的定义是正确解答的前提．
21．【分析】（1）①利用数轴上的点对应 的数字和线段中点的定义解答即可；
②分别表示出点E，F对应的数字，再利用中点的定义得到点M，N对应的数字，利用MN＝1列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，利用m，n和中点的定义求得点D对应的数字，进而得到AD，BD的值，利用已知条件列出关于n﹣m的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2，
∴AB＝2﹣（﹣8）＝10．
∵AC﹣AB＝2，
∴AC＝12，
∴点C对应的数字为4，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AC＝6，
设点D表示的数为x，
∴4﹣x＝6，
∴x＝﹣2．
∴点D表示的数为﹣2．
故答案为：﹣2；
②设EF运动的时间为t秒，
则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a，
∵点M是EC的中点，N是BF的中点，
∴点M对应的数字为＝，点N对应的数字为＝，
∵MN＝1，
∴||＝1．
解得：a＝0或a＝4，
∵a＞0，
∴a＝4；
（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，
∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2，
∴c＝n+2，AB＝n﹣m．
∵点D是AC的中点，
∴d＝，
∴AD＝m＝，BD＝n﹣＝，
∵AD+3BD＝4，
∴＝4，
解得：n﹣m＝3．
∴AB＝3．
【点评】本题主要考查了数轴的简单应用，线段中点的定义，利用点在数轴上对应的数字表示出相应线段的长度是解题的关键．