2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x+ 3y+1=0的倾斜角是( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
2.已知x2+y2+ax+a=0表示圆，则实数a的取值范围为( )．
A. 0,4B. −∞,0
C. 4,+∞D. −∞,0∪4,+∞
3.从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为( )
A. 10B. 60C. 125D. 243
4.平的内动点Px,y满足方程 (x+1)2+y2+ (x−1)2+y2=2 3，则动点P的轨迹方程为( )
A. x23+y22=1B. x22+y23=1C. x23−y22=1D. y23−x22=1
5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x=−3的距离为5，则|MF|=( )
A. 7B. 6C. 5D. 4
6.刍甍(cℎúméng)是中国古代算数中的一种几何体，它是底面为矩形的屋脊状的
楔体．现有一个刍甍(如图)，底面BCDE为矩形，且BC=3，BD= 13,AF//平
面BCDE,▵ABE和▵CDF为全等的正三角形，AF=1，则平面ABE和底面BCDE的
夹角的余弦值为( )
A. 13B. 33C. 22D. 63
7.如图，某同学用两根木条钉成十字架，并交于点O，制成一个椭圆仪．木条中间分别挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A、B各在一条槽内移动，可以光滑移动以保证PA与PB的长度不变，当A、B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆．已知PA=3AB，且P在椭圆的右顶点时，B恰好在O点，则该椭圆的离心率为( )
A. 32B. 34
C. 74D. 55
8.已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为y= 3x”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.若椭圆x2m+y2=1(m>1)与双曲线x2n−y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点，则▵F1PF2的面积是( )
A. 12B. 1C. 2D. 4
10.已知M=x,y∣y=x+tx2−x,1≤x≤2,0≤t≤1是平自直角坐标系中的点集．设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则( )
A. d=3,S1C. d= 10,S1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知空间向量a=1,−3,5,b=2,x,y，若a//b，则x+y= ．
12.若直线y=kx−3与双曲线x24−y2=1只有一个公共点，则k的一个取值为 ．
13.直线l：x−my+m−1=0被圆O：x2+y2=4截得的弦长最短，则实数m= ．
14.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，点E,F分别为CD,CP的中点，点T为▵PAB内的一个动点(包括边界)，若CT//平面AEF，则点T的轨迹的长度为 ．
15.已知曲线E过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为定值λ(λ>0)，给出下列四个结论：
①曲线E关于y=x对称；
②若点1,1在曲线E上，则其方程为x2+y23=2 2xy；
③对于任意λ，曲线E围成的图形的面积一定小于λ2π8；
④存在λ∈2,6，使得曲线E上有5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
有0,1,2,3四个数字，
(1)可以组成多少个四位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
(3)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？(直接写出答案即可)
17.(本小题12分)
已知点F是抛物线E:y2=4x的焦点，过点F且斜率为k的直线l与抛物线E交于A,B两点，M是线段AB的中点．
(1)当k=1时，求AB与M的坐标．
(2)O为坐标原点，记直线OA,OB的斜率为k1,k2，若k1+k2=1，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥B1−AECD中，底面AECD是菱形，∠DAE=60∘，M是AE的中点，且B1M⊥平面AECD,AD=AB1=2．
(1)求证：AE⊥平面B1DM；
(2)求平面B1MD与平面B1AD夹角的余弦值；
(3)在线段B1C上是否存在点P，使得MP//平面B1AD，若存在，求出B1PB1C的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
已知⊙C过点A4,1,B0,1,D2,3，直线l:y=x+2．
(1)求⊙C的方程；
(2)已知⊙C′与⊙C关于直线l对称，求直线AD被⊙C′截得的弦长；
(3)若P是直线l上的动点，Q为⊙C上的动点，O为坐标原点，直接写出OP+PQ的最小值．
20.(本小题12分)
已知椭圆C:x23+y2=1，过点−1,0的直线l交椭圆C于点A,B．
(1)当直线l与x轴垂直时，求AB；
(2)在x轴上是否存在定点P，使PA⋅PB为定值？若存在，求点P的坐标及PA⋅PB的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点0,1，且离心率e= 22．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知F1、F2是椭圆E的左、右焦点，P是第一象限内椭圆E上的一点，分别连接PF1,PF2并延长交椭圆E于点Q1,Q2.S1,S2分别表示▵PQ1F2和▵PQ2F1的面积，求S1−S2的最大值．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.A
5.D
6.B
7.C
8.D
9.B
10.C
11.4
12.12(或−12，答案不唯一)
13.−1
14. 53/13 5
15.①③④
16.(1)依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理，
共有3×4×4×4=192个；
(2)当个位是0时，共有A33=6个无重复数字的四位偶数；
当个位是2时，千位是1或3，共有2A22=4个无重复数字的四位偶数，
因此，共有6+4=10个；
(3)当千位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有A33=6个；
当千位数字是2百位数字是0时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有A22=2个，
当千位数字是2百位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有A22=2个，
所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，
则第10个四位数是2130．

17.(1)抛物线E:y2=4x的焦点F(1,0)，
当k=1时，直线l:y=x−1
联立y2=4xy=x−1，消去y得：x2−6x+1=0，
Δ=32>0，所以设点Ax1,y1,Bx2,y2，
由韦达定理x1+x2=6,x1x2=1，设中点Mx0,y0，
则x0=x1+x22=62=3，y0=x0−1=3−1=2，所以中点M的坐标为3,2，
所以由过焦点弦长公式得：AB=x1+x2+2=8，
(2)直线l:y=kx−1，
联立y2=4xy=kx−1，消去y得k2x2−2k2+4x+k2=0，
16(k2+1)>0，所以设点Ax1,y1,Bx2,y2，
由韦达定理x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1，
因为x1y2+x2y1=2kx1x2−kx1+x2=−4k，
k1+k2=y1x1+y2x2=x1y2+x2y1x1x2=−4k=1，
解得k=−4，所以l的方程为y=−4x+4．

18.1)在菱形AECD中，连接DE，得等边▵ADE，
因为M是AE的中点，所以DM⊥AE，
因为B1M⊥平面AECD,AE⊂平面AECD，所以B1M⊥AE．
因为B1M⊂平面B1MD,DM⊂平面B1MD，且B1M∩DM=M，
所以AE⊥平面B1DM．
(2)因为B1M⊥平面AECD,DM⊂平面AECD，则有B1M⊥DM，
由(1)知AE⊥B1M,AE⊥DM，故AE,B1M,DM两两垂直，
如图建立空间直角坐标系M−xyz，
因为AB=BE=AE，所以▵ABE为等边三角形，同理▵ADE也为等边三角形，
则B10,0, 3,A−1,0,0,D0, 3,0，
设平面B1AD的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AD=x+ 3y=0,m⋅B1D= 3y− 3z=0,
令y=1得m=− 3,1,1，
又因为AE⊥平面B1MD，所以平面B1MD的一个法向量为n=1,0,0，
所以csm,n=m⋅nm⋅n= 155，
故平面B1MD与平面B1AD夹角的余弦值为 155．
(3)设B1P=λBC，
则P2λ, 3λ,− 3λ+ 3,MP=2λ, 3λ,− 3λ+ 3，
若MP//平面B1AD，则MP⋅m=−2 3λ+ 3=0，
解得λ=12，故存在满足条件的点，且B1PB1C=12．

19.(1)由题知，直线AB的垂直平分线方程为x=2，
由kAD=−1，线段AD中点为3,2，
可知线段AD的垂直平分线方程为y=x−1，
因此联立y=x−1x=2，解得x=2y=1，即点C2,1．
又因为AC=2，
所以，圆C:x−22+y−12=4．
(2)由题知，点C′与C关于直线l对称，
设C′m,n，则n−1m−2×1=−1n+12=m+22+2,
可得点C′−1,4,
直线AD:y=−x+5，即x+y−5=0，
点C′到直线AD的距离为−1+4−5 1+1= 2，
因为⊙C′的半径为2，
所以直线AD截⊙C′所得的弦长为2 22−( 2)2=2 2．
(3)点C到直线l距离为2−1+2 1+1=3 22>2，
设点O′与O关于直线l对称，
设O′a,b，则b−0a−0×1=−1b+02=a+02+2,
可得点O′−2,2，
则作图如下，因为OP+PQ=O′P+PQ≥O′P+PC−2，
所以当O′,P,C三点共线时，OP+PQ取得最小值，
因为O′C= 17，所以OP+PQ最小值为 17−2．

20.解：(Ⅰ)当直线l 斜率不存在时，其方程为 x=−1.
由x23+y2=1,x=−1得x=−1,y= 63或x=−1y=− 63， ∴|AB|=2 63．
(Ⅱ)假设存在P(m,0)，使PA⋅PB为定值.
① 当直线l 斜率存在时，
设直线l 的方程为：y=k(x+1)，A(x1,y1),B(x2,y2),
由 x2+3y2=3y=k(x+1)得(1+3k2)x2+6k2x+3k2−3=0，
则x1+x2=−6k21+3k2,x1x2=3k2−31+3k2，
∴PA⋅PB=(x1−m,y1)⋅(x2−m,y2)
=(x1−m)(x2−m)+y1y2 =x1x2−m(x1+x2)+m2+k2(x1+1)(x2+1) =x1x2−m(x1+x2)+m2+k2x1x2+k2(x1+x2)+k2 =(k2−m)(x1+x2)+(k2+1)x1x2+k2+m2
=(k2−m)(−6k2)1+3k2+(k2+1)(3k2−3)1+3k2+(k2+m2)(1+3k2)1+3k2 =(3m2+6m+1)k2+m2−31+3k2.
若PA⋅PB为常数，只需3m2+6m+13=m2−31，
解得m=−53，此时PA⋅PB=−29．
∴存在点P(−53,0)，使PA⋅PB为定值−29．
②当直线l与x轴垂直时，
不妨设A(−1, 63),B(−1,− 63),
当点P坐标为P(−53,0)时，PA⋅PB=(−1+53, 63)⋅(−1+53,− 63)=49−69=−29．
综上，存在点P(−53,0)，使PA⋅PB为定值−29．
21.(1)依题意可得b=1ca= 22a2=b2+c2，解得a= 2b=1c=1,
所以椭圆E的方程为x22+y2=1．
(2)由(1)可得F1−1,0，F21,0，
设Px0,y0x0>0,y0>0，其中x022+y02=1，
直线PF1:y=y0x0+1x+1，联立y=y0x0+1x+1x22+y2=1,
消去y得2y02x0+12+1x2+4y02x0+12x+2y02x0+12−2=0，
解得xQ1=−4y02x0+122y02x0+12+1−x0=−3x0−42x0+3，
则yQ1=y0x0+1xQ1+1=y0x0+1−3x0−42x0+3+1=−y02x0+3，
即Q1−3x0−42x0+3,−y02x0+3，
同理可得Q2−3x0+4−2x0+3,y02x0−3
所以S1−S2=S▵PQ1F2−S▵PQ2F1=S▵F1Q1F2−S▵F2Q2F1
=12F1F2yQ1−yQ2=4x0y04x02−9=4x0y04x02−9x022+y02
=8x0y0+18y0x0≤82 x0y0⋅18y0x0=2 23，
当且仅当x0=3 55,y0= 1010时，等号成立．
所以S1−S2的最大值为2 23．