2022-2023学年北京市北京师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年北京市北京师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.
【详解】解：设直线的方程为，
把点坐标代入直线方程得.
所以所求的直线方程为.
故选：A
2．已知空间向量，则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据向量在坐标平面上的投影的概念确定．
【详解】向量在坐标平面Oxy上的投影向量是．
故选：A．
3．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．4x－3y＝0
C．4x＋3y＝0
D．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
【答案】D
【分析】分截距均为0和截距不为0两种情况，设直线列方程求解即可.
【详解】当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)，代入得k＝－，得直线4x＋3y＝0；
当截距不为0时，设方程为，
将(3，－4)代入得a＝－1，得直线x＋y＋1＝0.
故选D.
【点睛】本题主要考查了直线的截距的概念及直线的截距式，属于基础题.
4．直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．
【详解】设所求直线上任一点（），则它关于对称点为在直线上，∴化简得故选答案D．
故选D．
【点睛】本题考查了相关点法：求轨迹方程法属于基础题．
5．已知空间向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当时，，所以，即，故充分；
当时，，即解得，故不必要；
故选：A
【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及空间向量的数量积运算，属于基础题.
6．如图，已知锐二面角的平面角为，m是内异于l的一条直线，则m与所成角的范围是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】在直线取一点作，根据线面角的定义，得到即为直线与平面所成的角，再过点作，根据平面角的定义，得到为锐二面角的平面角，结合，即可求解.
【详解】如图所示，在直线取一点作，垂足为，
所以即为直线与平面所成的角，设，且
过点作，连接，
因为，，所以，
而且平面，所以平面，
又因为平面，，
所以为锐二面角的平面角，即，其中
在直角中，可得，所以，即，
所以，即，
当点与重合时，此时，即
综上可得，直线与平面所成的角的范围是.
故选：A.

7．已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ）
A．0B．5C．9D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用空间向量基本定理即可求解出结果.
【详解】因为，，
所以与不共线，又，，三向量不能构成空间向量的一组基底，
所以，，三向量共面，
所以存在唯一的实数对，使，即，
解得．
故选：D.
8．在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】由已知求得三角形的面积，再由等积法求点到平面的距离．
【详解】如图，在正方体中，，是的中点，
则，，．
．
设点到平面的距离为，
由，得，
解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查空间中点到面的距离，训练了利用等积法求多面体的体积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
9．已知四边形ABCD满足：，，，，则该四边形为（ ）
A．以下答案都不对B．不确定
C．空间四边形D．矩形
【答案】D
【分析】利用反证法证明共面，再根据向量数量积为0，则向量垂直，即可判断四边形形状.
【详解】若共面，因为，，，，
所以，，，，所以此时该四边形为矩形；
若不共面，
在平面内过作，且，连接，
则四边形为平行四边形，由得，
所以四边形为矩形，所以，由得，
又因为，平面，
所以平面，因为，
所以平面，因为平面，所以，，
，因为，面，
平面，又因为，所以，因为，
，平面，所以平面，
所以，所以四点共面，
这与假设矛盾，故共面，
综上：该四边形为矩形.
故选：D.

10．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则
.因为，所以.所以，.选B.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.
二、填空题
11．已知直线l的一方向向量为.则直线l的倾斜角为 .
【答案】/
【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率，进而根据斜率求解倾斜角.
【详解】解：因为直线l的一方向向量为，
所以直线的斜率为，，
设直线l的倾斜角，则，
所以，即.
故答案为：
12．已知，若直线与直线平行，则m＝ ．
【答案】3
【分析】根据两直线平行，得到方程，计算求得m值．
【详解】由题意得：，且，
解得：m＝3，
故答案为：3．
13．如图，是单位正方体的面对角线上的一动点．则的最小值为 ．
【答案】
【详解】如图，将沿翻转，使点转到的对应点在平面内．则
．
故．
从而， ．
当且仅当为与的交点时，上式等号成立．
14．如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是 ．
【答案】
【分析】以为原点，为轴、轴、为轴建立空间直角坐标系，设，且，其中，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，求得的范围，即可求解.
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
易得不重合，设，其中，且，
所以，所以，，
因为平面，所以，可得，所以，，
因为平面，所以的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
则，
当，可得，因为，所以
当，可得，因为，所以，
所以与平面所成的角的范围是为.
故答案为：
15．从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的，则经过坐标原点的不同直线有 条（用数值表示）
【答案】54
【分析】根据给定条件可得，再从任取两个不同元素分别作为值的种数中减去重合的直线条数即可作答.
【详解】依题意，，从任取两个不同元素分别作为的值有种，
其中重合的直线，按有序数对，
有：重合，重合，重合，重合，重合，
有：重合，重合，重合，重合，重合，
所以经过坐标原点的不同直线条数是.
故答案为：54
【点睛】思路点睛：涉及部分排列组合问题，用直接法求解，分类复杂，可以求出不考虑条件的所有结果，再去掉不符合要求的结果，即运用逆向思维，间接求解．
三、解答题
16．如图，在三棱柱中，AB⊥平面，点E为的中点.
(I)求证：平面ABC；
(II)求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】(I) 证，在同一平面内用“数据说话”，证 用线面垂直的性质；
(II) 以为原点，建立空间直角坐标系，求出 求出平面求出的法向量，利用空间向量夹角公式可得.
【详解】(I)⊥平面平面，，
在中，，
， ，，
平面ABC；
(II)由(I)知,则建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
故 ，.
令，，
，又平面的法向量为，
.
由题知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.
【点睛】本题考查线面垂直判定及利用空间向量计算二面角大小.
计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小
17．已知过点的直线与直线垂直.
（1） 若，且点在函数的图象上，求直线的一般式方程；
（2）若点在直线上，判断直线是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点，理由见解析
【分析】（1）根据点在函数的图象上，求出点的坐标，再利用直线与直线垂直求出直线的斜率，由点斜式方程即可求出直线的一般式方程；
（2）根据点在直线上，找到 之间的关系，消元转化为，则有，即可解出定点坐标．
【详解】（1）点在函数的图象上，，即点
由，得，即直线的斜率为，
又直线与直线垂直，则直线的斜率满足：，即，
所以直线的方程为，一般式方程为：．
（2）点在直线上，所以，即，
代入中，整理得，
由，解得，
故直线必经过定点，其坐标为.
【点睛】本题主要考查直线与直线的位置关系应用、直线方程的求法以及过定点的直线系中的定点求法．
18．如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在一点E，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；
【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可；
（2）由勾股定理得出，进而得，再由面面垂直的性质定理即可证明平面；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】证明：（1）因为，
平面，
平面，
所以平面.
（2）取的中点N，连接.
在直角梯形中，
易知，且.
在中，由勾股定理得.
在中，由勾股定理逆定理可知.
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面.
（3）取的中点O，连接，.
所以，
因为平面，
所以平面.
因为，
所以.
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
易知平面的一个法向量为.
假设在棱上存在一点E，使得二面角的大小为.
不妨设（），
所以，
设为平面的一个法向量，
则 即
令，，所以.
从而.
解得或.
因为，所以.
由题知二面角为锐二面角.
所以在棱上存在一点E，使得二面角的大小为，
此时.
【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.