福建省厦门重点中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份福建省厦门重点中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案），共18页。试卷主要包含了可直接用2B铅笔画图等内容，欢迎下载使用。

（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.全卷三大题，25小题，试卷共5页，另有答题卡；
2.答案一律写在答题卡上，否则不予得分；
3.可直接用2B铅笔画图.
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1.用求根公式计算方程的根，公式中的值是（ ）
A.B.3C.2D.
2.抛物线的对称轴是（ ）
A.B.C.D.
3.下列几何图形，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
4.小明在解方程时，只得一个根，他漏掉的另一个根是（ ）
A.B.C.D.
5.用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ）
A.B.C.D.
6.勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形.如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ）
A.30° B.60° C.120°D.150°
7.某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A.B.
C.D.
8.在平面直角坐标系中，将线段绕原点逆时针旋转90°，记点的对应点为，则的坐标为（ ）
A.B.C.D.
9.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
米米C.7米米
10.已知等边的边长为8，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转60°得到，点是边的中点，连接，则的最小值是（ ）
A.B.4C.D.不能确定
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11.化简：______.
12.已知在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______.
13.已知是方程的一个根，则______.
14.如图，将绕直角顶点顺时针旋转90°，得到，连接，若，则的度数是______.
15.已知抛物线的顶点在第一象限
（1）点的坐标是______；
（2）若抛物线与轴交于，两点；是直角三角形，则______.
16.已知（）上有和两点.
若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是______.
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17.（本题满分8分）
解方程：.
18.（本题满分8分）
化简并求值：，其中.
19.（本题满分8分）
已知抛物线的顶点，且过，与轴交于，两点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求的面积.
20.（本题满分8分）
已知关于的方程有两个不相等的实数根，
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值.
21.（本题满分8分）
如图，在中，，是中线；（）
绕点顺时针旋与重合，点，的对应点分别为点，.
（1）尺规作图：作（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，求证：，，三点在同一直线上.
22.（本题满分10分）
某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品，该产品销售量（万件）与售价（元/件）之间的函数关系式为：（）.
（1）当销售总额为120万元时，求每件售价多少元；
（2）若总成本（万元）与销售量（万件）之间存在如上图所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线，问售价为多少元时，总利润最大，最大值是多少？
23.（本题10分）
1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”.
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程：
①当的三个内角均小于120°时，
如图231，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，
图1 图2
绕点顺时针旋转60°得到
，
为________三角形，
由几何公理：________可得：
当，，，在同一条直线上时，取最小值，
如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，
且有______°.
②当有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略
（2）如图3，在中，三个内角均小于120°，且，，，若为的“费马点”，求的值；
图3 图4
（3）如图4，设村庄，，的连线构成一个三角形，且已知，，.现欲建一中转站沿直线向，，三个村庄铺设电缆，已知由中转站到村庄，，的铺设成本分别为1万元，万元，万元，则总的铺设成本最少是______万元.
24.（本题12分）
已知顶点为的抛物线（）过点和
（1）求点的坐标；
（2）直线：（）与抛物线相交于不同的两点，（在的左侧），
①若，直线与轴相交于，连接，求证：轴；
②过点作不平行轴的直线，且与抛物线有且只有一个公共点.记点为与轴的交点；点为与轴的交点，求线段长度的最小值.（用含的式子表示）
25.（本题14分）
已知点是正方形的边上一动点，线段绕点顺时针旋转到.
图5 图6 图7
（1）如图5，连接，，若是等边三角形，求；
（2）如图6，连接，，，，若点，关于对称，且，求的值；
（3）如图7，连接，，若，求证：.
2023—2024学年（上）初三年期中考试
数学参考答案
（试卷满分：150分考 试时间：120分钟）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11.4 12.1 13.2 14.65° 15.（1） （2）（每小题2分）
16.（不等号两边的数对一个给2分）
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17.（本题满分8分）
解法一：公式法
，，.
，………………2分
………………5分
.………………7分
，.………………8分
解法二：配方法
.………………1分
.………………3分
………………5分
.………………7分
，.………………8分
18.（本题满分8分）
解：
………………2分
………………5分
………………6分
当时，原式………………8分
19.（本题满分8分）
解：（1）设………………1分
过
………………2分
………………3分
………………4分
（2）当时，………………5分
解得，………………6分
，
………………7分
………………8分
20.（本题满分8分）
解（1）方程有两个不相等的实数根
………………2分
………………4分
（2）由得………………5分
………………6分
………………7分
………………8分
21.（本题满分8分）
方法一：
方法二：
解：（1）为所求
作点的对应点………………1分
作点的对应点………………3分
下结论………………4分
（2），是中线，
………………5分
绕点顺时针旋60°与重合
………………6分
，，
是等边三角形
………………7分
，
，，三点共线………………8分
22.（本题满分10分）
解（1）………………2分
，………………3分
答：每件售价为10元或12元………………4分
（2）当时，设，
，，解得
………………5分
设获得利润为元
当时，
………………6分
开口向下
当时，最大，最大值为46万元，………………7分
方法一：（），
（）………………8分
对称轴：直线………………9分
开口向下，对称轴
当时，随的增大而减小
当时即，最大值为30万元. ………………10分
方法二：，
，
………………8分
对称轴………………9分
开口向下，对称轴
当时，随的增大而增大
当时，最大值为30万元
综上当售价12时，利润最大，最大值为46万元.………………10分
23.（本题满分10分）
（1）为等边三角形，………………1分
由几何公理：两点之间，线段最短………………2分
；………………3分
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，………………4分
由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，……5分
绕点顺时针旋转60°得到，
，
，
过点作交反向延长线于
，，
………………6分
………………7分
（3）………………10分
24.（本题满分12分）
解：（1）抛物线过
………………1分
抛物线过，
………………2分
点………………3分
（2），
由得
方法一：韦达定理
………………5分
设：
过，，
：………………6分
当时，，
………………7分
，轴
方法二：设
直线过点，，
………………4分
由得，
，
………………5分
设：
过，，
：………………6分
当时，，
………………7分
，轴
②设直线：
方法一：由得（☆）
且与抛物线只有一个交点，方程有两个相等的实数根
………………8分
方法二：，
，
由得
且与抛物线只有一个交点
即
，
………………8分
，，
………………9分
：，，
，，，
………………10分
，，
点在点的右侧………………11分
………………12分
方法2 令，，
方程有实数根，，
，，，
………………12分
25.（本题满分14分）
（1）连接
四边形是正方形
，………………1分
是等边三角形
，
，………………2分
线段绕点顺时针旋转到，
，
………………3分
………………4分
（2）延长交于
，关于对称
，………………5分
，
………………6分
，
，
………………7分
设正方形的边长为，，则，
，
………………8分
解得
………………9分
（3）
绕点顺时针旋转90°与重合………………10分
，
，
………………11分
连接
，
………………12分
，
是等腰直角三角形………………13分
是等腰直角三角形………………14分
方法二 供参考
方法二 把绕点逆时针旋转90°得
把绕点顺时针旋转90得
， ，
↓ ↓

↓
，，三点共线
↓
点是的中点→
三角形是 ↓
↑
连接→，，三点共线
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
D
C
B
A
B
C