2025届湖南省长沙外国语学校数学九年级第一学期开学监测模拟试题【含答案】

这是一份2025届湖南省长沙外国语学校数学九年级第一学期开学监测模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某篮球队 10 名队员的年龄结构如下表：
已知该队队员年龄的中位数为 21.5，则众数是（ ）
A．21 岁B．22 岁C．23 岁D．24 岁
2、（4分）下列命题中，错误的是（ ）．
A．矩形的对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．正方形的对角线互相垂直平分D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
3、（4分）如图，在△ABC中，若AB＝AC＝6，BC＝4，D是BC的中点，则AD的长等于（ ）
A．4B．2C．2D．4
4、（4分）若等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．10B．7或10C．4D．7或4
5、（4分）已知不等式mx+n＞2的解集是x＜0，则下列图中有可能是函数y=mx+n的图象的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）不等式组的解集是
A．x≥8B．x＞2C．0＜x＜2D．2＜x≤8
7、（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4, 5, 6B．5, 12， 13C．2, 3, 4D．1， ，3
8、（4分）如图，在菱形ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=6，当△OPD是以PD为底的等腰三角形时，CP的长为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）要使四边形ABCD是平行四边形，已知∠A＝∠C＝120°，则还需补充一个条件是_____．
10、（4分）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为________．
11、（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值为_____．
12、（4分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（－1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是_____．
13、（4分）如图，是矩形的边上一点，以为折痕翻折，使得点的对应点落在矩形内部点处，连接，若，，当是以为底的等腰三角形时， ___________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F．
求证：四边形AECF是平行四边形．
15、（8分）如图，在四边形ABCD中，，，，，E是BC的中点，P是AB上的任意一点，连接PE，将PE绕点P逆时针旋转得到PQ，过A点，D点分别作BC的垂线，垂足分别为M，N．
求AM的值；
连接AC，若P是AB的中点，求PE的长；
若点Q落在AB或AD边所在直线上，请直接写出BP的长．
16、（8分）某校举办“书香校园”读书活动，经过对八年级（2）班的全体学生的每人每月读书的数量（单位：本）进行统计分析，得到条形统计图如图所示：
（1）填空：该班学生读书数量的众数是 本，中位数是 本；
（2）求该班学生每月的平均读书数量？（结果精确到0.1）
17、（10分）近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售．若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元，且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同．
（1）求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？
（2）若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共30台，且进货花费不超过42000元，问最少进货甲种空气净化器多少台？
18、（10分）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，、、三点在同一直线上，，，，，量得.
（1）试求点到的距离.（2）试求的长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）方程的两个根是和，则的值为____．
20、（4分）当x________时，分式有意义.
21、（4分）计算 +（ ）2=________．
22、（4分）如图，正方形ABCD的边长为10,点A的坐标为,点B在y轴上.若反比例函数的图像经过点C,则k的值为_____.
23、（4分）已知一组数据11、17、11、17、11、24共六个数，那么数11在这组数据中的频率是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）遂宁骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，某车行经营的A型车去年2月份销售总额为3万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加300元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加20%．
（1）求今年2月份A型车每辆销售价多少元？
（2）该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共40辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，A、B两种型号车的进货和销售价格如表，问应如何进货才能使这批车获利最多？
25、（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE
（1）求证：△ADE≌△CBF.
（2）若AE=3，AD=4，∠DAE=90°，该判断当BE的长度为多少时，四边形AECF为菱形，并说明理由.
26、（12分）计算
（1）
（2）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
先根据数据的总个数及中位数得出、，再利用众数的定义求解可得.
【详解】
共有10个数据，
，
又该队队员年龄的中位数为，即，
，
、，
则这组数据的众数为.
故选：.
本题主要考查了中位数、众数，解题的关键是根据中位数的定义得出、的值.
2、B
【解析】
根据矩形，正方形的性质判断A，C，根据菱形的判定方法判断B，根据等腰三角形的性质判断D．
【详解】
解：A、矩形的对角线互相平分且相等，故正确； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故B错误； C、正方形的对角线互相垂直平分，正确； D、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，正确，
故选：B．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解矩形，正方形的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，掌握相关知识点是关键．
3、A
【解析】
根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝BC＝1，根据勾股定理计算即可．
【详解】
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝1，
∴AD＝＝4，
故选：A．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a1+b1＝c1．
4、C
【解析】
根据等腰三角形性质分为两种情况解答：当边长4cm为腰或者4cm为底时
【详解】
当4cm是等腰三角形的腰时，则底边长18-8=10cm，此时4,4,10不能组成三角形，应舍去；当4cm是等腰三角形的底时，则腰长为（18-4）÷2=7cm，此时4,7,7能组成三角形，所以此时腰长为7，底边长为4，故选C
本题考查等腰三角形的性质与三角形三边的关系，本题关键在于分情况计算出之后需要利用三角形等边关系判断
5、B
【解析】
根据各选项图象找出mx+n＞2时x的取值范围，即可判断．
【详解】
A、不等式mx+n＞2的解集是x＞0，故选项错误；
B、不等式mx+n＞2的解集是x＜0，故选项正确；
C、不等式mx+n＞2的解集不是x＜0，故选项错误；
D、不等式mx+n＞2的解集不是x＜0，故选项错误．
故选：B．
此题考查的是利于一次函数图象判断不等式的解集，掌握一次函数的图象和不等式的解集之间的关系是解决此题的关键．
6、D
【解析】
试题分析：解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．因此，
．故选D．
7、B
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．
【详解】
解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
B、∵52+122=132，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形；
C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
D、∵12+（）2≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形．
故选：B．
本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
8、C
【解析】
过O作OE⊥CD于E．根据菱形的对角线互相垂直平分得出OB，OC的长，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出CD，然后根据三角形的面积公式求出OE．在Rt△OED中，利用勾股定理求出ED．根据等腰三角形三线合一的性质得出PE ，利用CP=CD-PD即可得出结论．
【详解】
过O作OE⊥CD于E．
∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OBBD6=3，OA=OCAC3=2，AC⊥BD，由勾股定理得：CD1．
∵OC×OD=CD×OE，∴12=1OE，∴OE=2.2．在Rt△ODE中，DE===1.3．
∵OD=OP，∴PE=ED=1.3，∴CP=CD-PD=1-1.3-1.3=1.2=．
故选C．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求出OE的长是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、∠B＝∠D＝60°
【解析】
由条件∠A＝∠C＝120°，再加上条件∠B＝∠D＝60°，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形．
【详解】
解：添加条件∠B＝∠D＝60°，
∵∠A＝∠C＝120°，∠B＝∠D＝60°，
∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠D＝180°
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
故答案是：∠B＝∠D＝60°.
考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
10、1.2
【解析】
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°.
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP.
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴AM的最小值是1.2.
11、2
【解析】
连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝4，A、C关于BD对称，
∴连AM交BD于P，
则PM+PC=PM+AP=AM，
根据两点之间线段最短，AM的长即为PM+PC的最小值．
∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
又∵BM=CM，
∴AM⊥BC，
∴AM=，
故答案为：2.
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称中的最短路径问题，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
12、（3，1）
【解析】
关于y轴对称的点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
【详解】
由题意得点C（－3，1）的对应点C′的坐标是（3，1）．
考点：关于y轴对称的点的坐标
本题属于基础题，只需学生熟练掌握关于y轴对称的点的坐标的特征，即可完成.
13、
【解析】
过点B'作B'F⊥AD，延长FB'交BC与点G，可证四边形ABGF是矩形，AF=BG=4，∠BGF=90°，由勾股定理可求B'F=3，可得B'G=2，由勾股定理可求BE的长.
【详解】
解：如图，过点B'作B'F⊥AD，延长FB'交BC与点G，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=8，∠DAB=∠ABC=90°
∵AB'=B'D，B'F⊥AD
∴AF=FD=4，
∵∠DAB=∠ABC=90°，B'F⊥AD
∴四边形ABGF是矩形
∴AF=BG=4，∠BGF=90°
∵将△ABE以AE为折痕翻折，
∴BE=B'E，AB=AB'=5
在Rt△AB'F中，
∴B'G=2
在Rt△B'EG中，B'E2=EG2+B'G2，
∴BE2=（4-BE）2+4
∴BE=
故答案为：.
本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求B'G的长是本题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、详见解析
【解析】
平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD是平行四边形，可证OF=OE，OA=OC，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
∵AB∥CD，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，
∴在△FDO和△EBO中，

∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
15、（1）12；（2）10；（3）PB的值为或．
【解析】
作等腰梯形的双高，把问题转化为矩形，全等三角形即可解决问题；
如图2中，连接利用勾股定理求出AC，再利用三角形的中位线定理求出PE；
分两种情形分别讨论求解即可解决问题.
【详解】
如图1中，作用M，于N．
，
，
，
四边形AMND是矩形，
，
，
≌，
，
，，
，
，
如图2中，连接AC．
在中，，
，，
，
如图3中，当点Q落在直线AB上时，
∽，
，
，
．
如图4中，当点Q在DA的延长线上时，作交DA的延长线于H，延长HP交BC于G．
设，则．
，
，
，，
，
≌，
，
，
．
综上所述，满足条件的PB的值为或．
本题考查四边形综合题、等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
16、（1）4,4；（2）3.6本
【解析】
（1）生读书数量的众数是4，中位数是4，
故答案为4，4；
（2）该班学生每月的平均读书数量≈3.6本．
17、（1）每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元（2）至少进货甲种空气净化器10台．
【解析】
(1)设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为(x+300)元，根据用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同，列出方程求解即可；
(2)设甲种空气净化器为y台，乙种净化器为(30﹣y)台，根据进货花费不超过42000元，列出不等式求解即可．
【详解】
(1)设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为(x+300)元，由题意得：
，
解得：x＝1200，
经检验得：x＝1200是原方程的解，
则x+300＝1500，
答：每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元．
(2)设甲种空气净化器为y台，乙种净化器为(30﹣y)台，根据题意得：
1200y+1500(30﹣y)≤42000，
y≥10，
答：至少进货甲种空气净化器10台．
本题考查分式方程和不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系列出方程和不等式是解决问题的关键．
18、（1）点与之间的距离为：；（2）.
【解析】
（1）根据题意得出∠DFE=30°，则EF=2DE=16，进而利用勾股定理得出DF的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出DM的长，进而得出MB=FM，求出答案．
【详解】
解：（1）如图，
过点作于点，
在中，，，，
则，
故，
，
∵，
∴，
在中，，
即点与之间的距离为：；
（2）在中，，
∵，
∴，
又∵，
是等腰直角三角形，
∴，
∴．
此题考查勾股定理，平行线的性质，解题关键在于作辅助线
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据韦达定理求解即可．
【详解】
∵方程的两个根是和
∴由韦达定理得
故答案为：．
本题考查了一元二次方程根的问题，掌握韦达定理是解题的关键．
20、
【解析】
根据分母不等于0列式求解即可．
【详解】
由题意得，x−1≠0，
解得x≠1.
故答案为：≠1.
本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的基本性质是解题关键.
21、6
【解析】
根据二次根式的性质计算．
【详解】
原式=3+3
=6.
故答案为:6.
考查二次根式的运算，掌握是解题的关键.
22、1
【解析】
过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
【详解】
解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
故答案为1．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
23、0.1
【解析】
根据公式：频率=即可求解．
【详解】
解：11的频数是3，则频率是：=0.1．
故答案是：0.1．
本题考查了频率公式：频率=，理解公式是关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）今年的销售价为1800元；（2）购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多．
【解析】
（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元，然后依据今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同列方程求解即可；
（2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆，然后列出W与m的函数关系式，然后依据一次函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，
则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元，
根据题意得：，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，
则今年的销售价为1500+300＝1800元．
（2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆，
根据题意得：
w＝（1800﹣900）m+（2000﹣1000）（40﹣m）＝﹣10m+1．
又∵40﹣m≤2m，
∴m≥13．
∵k＝﹣100＜0，
∴当m＝14时，w取最大值．
答：购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多．
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，依据题意列出分式方程、得到W与m的函数关系式是解题的关键．
25、（1）证明见解析；（2）BE的长度为时，四边形AECF为菱形.
【解析】
（1）由平行四边形的性质可得∠ADE=∠CBF，AD=BC，利用SAS即可证明△ADE≌△CBF；（2）连接AC，设BE=x，AC、EF相交于O，利用勾股定理可求出DE的长，即可用x表示出OE和OB的长，由菱形的性质可得AC⊥EF，即可证明平行四边形ABCD是菱形，可得AB=AD=4，在Rt△AOB和Rt△AOE中，分别利用勾股定理表示出OA2，列方程求出x的值即可得答案.
【详解】
（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD//BC，
∴∠∠ADE=∠CBF，AD=BC，
又∵BF=DE，
∴△ADE≌△CBF.
（2）BE的长度为时，四边形AECF为菱形.理由如下：
连接AC，设BE=x，AC、EF相交于O，
∵AE=3，AD=4，∠DAE=90°，
∴BF=DE==5，
∴OE=，OB=，
∵四边形AECF为菱形，
∴AC⊥EF，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=4，
在Rt△AOB和Rt△AOE中，OA2=AB2-OB2=AE2-OE2，即42-()2=32-()2，
解得：x=.
∴BE的长度为时，四边形AECF为菱形.
本题考查了全等三角形的判定、菱形的判定与性质，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出平行四边形ABCD是菱形，进而求出AB的长是解题关键.
26、（1）（2）
【解析】
（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据多项式除以单项式法则展开，再进行计算即可．
【详解】
解：（1）原式=
=
（2）原式=
=
本题考查了二次根式的加减混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
年龄/岁
19
20
21
22
24
26
人数
1
1
x
y
2
1
A型车
B型车
进货价格（元/辆）
900
1000
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2000