数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式单元测试随堂练习题

这是一份数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式单元测试随堂练习题，共12页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.已知且则下列命题正确的是 （ ）
A．如果那么 B．如果那么
C．如果那么 D．如果，那么
2.若，则的最小值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．
3.不等式的解集为R，则的所有取值集合为 （ ）
A． B．
C． D．
4.已知,则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
5. “”的充分不必要条件是 （ ）
A． B． C． D．
6.已知，不等式有解,则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
7.在上定义运算“＊”：＊，则满足＊的
实数的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0分)
8.不等式的解集为，则实数可能是 （ ）
A． B． C． D．
9.下列说法不正确的有
A．不等式的解集为 B．
C．的最大值为-2 D．是的充分不必要条件
10.已知下列说法成立的是 （ ）
A． B．
C．的最小值为1 D．
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中13题第一个空2分，第二个空3分）
11.已知则的最大值是________.
12.若命题 为真命题，则实数的取值范围是_____________.
13．若不等式的解集是,则________，不等式的解集是________.
14.做一个体积为64 m3，高为4m的长方体纸盒，则它底面周长的最小值为_______m.
四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.设，求的取值范围.
16.已知
（1）求的最小值并说明取得最小值时满足的条件.
（2）,恒成立，求的取值范围.
17.如图，在一面墙的同侧，用彩带围成四个大小相同的矩形区域，若围成四个区域的彩带总长度为96 m，若要使四个区域的总面积最大，则每个区域的长和宽分别是多少米？求四个区域总面积的最大值.

(第17题)
第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试B卷参考答案
一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.B.解析：当时,但无法判断的正负,所以无法确定与的大小关系,所以排除A、C两选项；B选项中由于则,当时成立,B正确；D选项中,由于无法判断的正负，因此得不到的结论. 故选B.
2.B.解析：则,要求的最小值,由于加号左右的两项均为正数，不妨构造乘积为定值的形式利用基本不等式求其最小值.
由于,,则,当且仅当时等号成立,因此,当且仅当时等号成立,所以的最小值为3. 故选B.
3.C.解析：
方法一：不等式的解集为R,则函数的图象始终在轴的上方,则一元二次方程没有实数根,所以即,解得,故选C
方法二：不等式的解集为R,也就是说对于任意恒成立,则函数时函数的最小值满足,
解得,故选C.
方法指导：利用一元二次函数的图象,运用数形结合的思想是解决一元二次不等式问题的常见思路;将一元二次不等式恒成立问题转化为函数的最值问题是常见的解题策略，即若恒成立则只需,这一结论是解决这类问题的关键,也是解决恒成立问题的总的思考方向.
4.B.解析：,,设函数,该函数的最大值为,则.,当时所以,当且仅当即时等号成立,所以,
当且仅当时等号成立,所以,,所以的最小值为,故选B.
5.C. 分析：要找“”的充分不必要条件, 则设该条件为,则条件满足
,,在四个选项中找出同时满足这两个条件的选项即可.
解析：A选项中时,和可能满足,不能推出,充分性不
成立所以选项A错误；B选项中时, ,也不能推出,
所以选项B错误；C选项中时, 则即,因
此充分性成立,当时,由于无法确定和的正负,所以无法推出,
所以是的充分不必要条件,符合题意. D选项中时,,由于无法确定的正负, 不能推出,所以选项D错误.综上所述
选C.
6.B. 分析：，不等式有解,由于有的限制条件,如果移项运用二次函数求解必须讨论参数的取值范围,这样会带来很多麻烦,观察不等式的特征及已知条件不妨将不等式两边同时除以构造基本不等式的形式.
解析：,不等式有解,则即有解,设,
时所以,当且仅当时等号成立,即时的最小值为,已知且有解,则即,故
选B.
7.D. 分析：本道题考查学生对已知中给出新定义的理解能力,对新定义的本质理解清楚后,即可将所学知识与新定义有机结合解决问题.
解析：在上定义运算“＊”：＊则＊ .＊时,即,解得,所以满足＊的实数的取值范围为,故选D.
二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0分)
8.ABC.思路：不等式的解集为,由于不清楚参数的取值范围,即不清楚参数是否为,因此不确定该不等式是否为一元二次不等式,因此可以对参数参数是否为进行分类讨论.
解析：不等式的解集为.
当参数时原不等式化为,满足解集为,符合题意,答案A正确.
当参数时一元二次不等式的解集为,则恒成立,则二次函数的图象开口向上,且图象与轴最多有一个交点,则解得,答案BC正确.
综上所述正确答案是ABC.
9.AD.解析：方程的解为,,所以不等式的解集为,因此A选项的说法不正确；当时则符合
基本不等式的条件,因此,因此B选项的说法正确；当时
,则,当且仅当,即时等号
成立, ,因此,所以当且仅当时有最大值为-2,
因此C选项的说法正确；D．当时,由于则,
当时,说明,所以,所以是的必要不充分条件,因此D选项的说法不正确.题目中要求选说法不正
确的选项,因此选择AD.
10.BD 解析：
所以,
因此A选项的说法不成立；由于则, ,所以,即,当且仅当,,时等号成立,但是无解,所以不能说明的最小值为1,因此B选项的说法正确, C选项的说法不正确；当时基本不等式成立，所以，因此D选项的说法正确.综上所述正确答案为BD. 注意：加强对基本不等式的理解,明确利用基本不等式求最大（小）值时的条件.
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中13题第一个空2分，第二个空3分）
11.4
分析：已知求的最大值,由于可知,所以如果为常数,则可利用基本不等式求解 的最大值,由可知,因此可以尝试利用基本不等式求解,特别要注意基本不等式求最大（小）值的条件.
解析：由于可知,由可知
所以,当且仅当即且时
取得最大值4.（注意基本不等式的变形表达式当且仅当时等号成立）.
12.
分析：若命题 为真命题,则不等式的解集为,由于不清楚参数的取值范围,即不清楚参数是否为,因此不确定该不等式是否为一元二次不等式,因此可以对参数参数是否为进行分类讨论.
解析：命题 为真命题,则不等式的解集为
时当不等式化为,解集为,不符合题意；
当时一元二次不等式的解集为
说明二次函数的图象开口向上,且图象与轴没有交点,即一元二次方程没有实数根,所以解得.
综上所述实数的取值范围是
13. 第一空：,第二空：
解析：不等式的解集是,所以方程是一元二次方程,且有两个根,,因此且,解得,
所以；由于,,解不等式即,由于一元二次方程的解为,,因此的解集为.
14.16
分析：长方体体积等于底面积与高的乘积,题目中给出了体积和高的值,底面周长和底面积均可用长方体的长和宽表示,因此可以利用长方体的长和宽搭建等量关系,从而解决问题.
解析：设长方体底面的长和宽分别为m和m. 长方体体积为64 m3,高为4m,则有即,,长方体底面周长为m. 由于,
当且仅当时等号成立,所以,即当且仅当时长方体底面周长取得最小值, 最小值为m.
且和的算术平均数是，和的几何平均数是，因此“和的算术平均数不小于它们的几何平均数”的符号表达式为；由变形可知,当且仅当时等号成立, ,,所以当且仅当时的最大值16.
四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.解：,则不等式有实数解.
当时当不等式化为,解集为,符合题意,此时；
当时,二次函数的图象开口向上, 因为一元二次不等式有解,则二次函数的图象与轴有两个交点,一元二次方程有两个不相等的实数根,因此有解得,此时；
当时, 二次函数的图象开口向下, 则不等式有实数解,符合题意, 此时.
综上所述的取值范围是，即的取值范围是.
方法指导：不等式有实数解,由于不清楚参数的取值范围,即不清楚参数是否为,因此不确定该不等式是否为一元二次不等式,因此可以对参数参数是否为进行分类讨论,注意同时满足的条件分别求出各自参数取值集合,然后取交集,不同情况均满足时取几种情况的并集.
16. 解：（1）,则, ,
当且仅当即时等号成立,所以
因此有最小值,当满足时取得最小值.
（2）设函数则,因为则,所以
当且仅当即时等号成立,所以当时有最小值.
,恒成立,则,所以的取值范围为.
方法指导：,求的最小值,由于为固定常数,则考虑“1代换法”构造基本不等式的形式. ,恒成立, 要求的取值 范围,则可设函数,则小于或等于函数的最小值,因此可以通过求 函数的最小值,进而得到的取值范围.
17. 解：设每个区域矩形的长和宽分别是m和m,四个区域的总面积为m2.
,若围成四个区域的彩带总长度为96 m,则,由于则,所以,当且仅当时等号成立, ,384,当且仅当即时四个区域总面
积有最大值384 m2.
方法指导：求实际问题中最值的一般思路
（1）先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式,注意变量的取值范围；（2）把实际问题抽象成求函数最大值或最小值问题.（3）在定义域内求函数的最大值或最小值,一般考虑应用基本不等式,当用基本不等式求最值的条件不具备时则考虑其他方法.