2025届甘肃省金昌市金川区宁远中学数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2025届甘肃省金昌市金川区宁远中学数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如果，为有理数，那么（ ）
A．3B．C．2D．﹣2
3、（4分）一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．，D．
4、（4分）在对某社会机构的调查中收集到以下数据，你认为最能够反映该机构年龄特征的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．方差D．标准差
5、（4分）样本数据3、6、a、4、2的平均数是5，则这个样本的方差是（ ）
A．8B．5C．D．3
6、（4分）下列说法，你认为正确的是（ ）
A．0 的倒数是 0B．3-1=-3C．是有理数D． 3
7、（4分）在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的( )
A．众数B．方差C．中位数D．平均数
8、（4分）若点P在一次函数的图像上，则点P一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC上一点（不与B、C重合），点P在边CD上运动，M、N分别是AE、PE的中点，线段MN长度的最大值是_____．
10、（4分）若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是 ㎝1．
11、（4分）已知x+y＝0.2，2x+3y＝2.2，则x2+4xy+4y2＝_____．
12、（4分）已知：函数，，若，则__________(填“”或“”或 “”)．
13、（4分）的化简结果为________
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点、，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴交于点.
（1）线段的长度为__________；
（2）求直线所对应的函数解析式；
（3）若点在线段上，在线段上是否存在点，使四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
15、（8分）如图所示，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．
（1）直接写出直线L的解析式；
（2）设OP＝t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；
（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．
16、（8分）已知：如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2.求BC边的长.
17、（10分）（1）解方程组；（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18、（10分）朗读者自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，岳池县某中学开展“朗读”比赛活动，九年级、班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩满分为100分如图所示．
根据图示填写表格；
结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，字母A所代表的正方形面积为____．
20、（4分）如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3,则△ABC的周长是_______.
21、（4分）已知（m，n）是函数y=-与y=3x+9的一个交点，则-的值为______．
22、（4分）函数y＝与y＝x－1的图象的交点坐标为（x0，y0），则的值为_____________.
23、（4分）正比例函数（）的图象过点（-1，3），则=__________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为，、.

（1）平移，使点移到点，画出平移后的，并写出点的坐标.
（2）将绕点旋转，得到，画出旋转后的，并写出点的坐标.
（3）求（2）中的点旋转到点时，点经过的路径长（结果保留）.
25、（10分）为迎接4月23日的世界读书日，某书店制定了活动计划，如表是活动计划的部分信息：
(1)杨经理查看计划时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍.若顾客用540元购买图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本.请求出A、B两类图书的标价.
(2)经市场调查后，杨经理发现他们高估了“读书日”对图书销售的影响，便调整了销售方案：A类图书每本按标价降低a元()销售，B类图书价格不变.那么书店应如何进货才能获得最大利润.
26、（12分）如图，在正方形中，点分别在和上，．
（1）求证：；
（2）连接交于点，延长至点，使，连结，试证明四边形是菱形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【详解】
根据题意得，x+3⩾0，
解得x⩾−3.
故选B.
2、A
【解析】
直接利用完全平方公式化简进而得出a，b的值求出答案即可．
【详解】
解：∵=a+b，
∵a，b为有理数，
∴a=7，b=4，
∴a-b=7-4=1．
故选：A．
此题主要考查了实数运算，正确应用完全平方公式是解题关键．
3、C
【解析】
试题解析：,
或,
.
故选C.
4、B
【解析】
分析：根据平均数的意义，众数的意义，方差的意义进行选择．
详解：由于14岁的人数是533人，影响该机构年龄特征，因此，最能够反映该机构年龄特征的统计量是众数．
故选B．
点睛：本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
5、A
【解析】
本题可先求出a的值，再代入方差的公式即可．
【详解】
∵3、6、a、4、2的平均数是5，
∴a=10，
∴方差．
故选A．
本题考查的知识点是平均数和方差的求法，解题关键是熟记计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．
6、D
【解析】
根据1没有倒数对A进行判断；根据负整数指数幂的意义对B进行判断；根据实数的分类对C进行判断；根据算术平方根的定义对D进行判断．
【详解】
A．1没有倒数，所以A选项错误；
B．3﹣1，所以B选项错误；
C．π是无理数，所以C选项错误；
D．3，所以D选项正确．
故选D．
本题考查了算术平方根：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根，1的算术平方根为1．也考查了倒数、实数以及负整数指数幂．
7、C
【解析】
由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义解答即可．
【详解】
解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，
而且5个不同的分数按从大到小排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了；
故选：C．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
8、C
【解析】
根据一次函数的性质进行判定即可.
【详解】
一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，
所以一次函数y=-x+4的图象经过二、一、四象限，
又点P在一次函数y=-x+4的图象上，
所以点P一定不在第三象限，
故选C.
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握是解题的关键.
y=kx+b：当 k>0，b>0时，函数的图象经过一，二，三象限；当 k>0，b<0时，函数的图象经过一，三，四象限；当 k<0，b>0时，函数的图象经过一，二，四象限；当 k<0，b<0时，函数的图象经过二，三，四象限.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、5
【解析】
由条件可先求得MN=AP，则可确定出当P点运动到点C时，PA有最大值，即可求得MN的最大值
【详解】
∵M为AE中点，N为EP中点
∴MN为△AEP的中位线，
∴MN= AP
若要MN最大，则AP最大．
P在CD上运动，当P运动至点C时PA最大，
此时PA=CA是矩形ABCD的对角线
AC==10,
MN的最大值= AC=5
故答案为5
此题考查了三角形中位线定理和矩形的性质，解题关键在于先求出MN=AP
10、14
【解析】
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S=ab=×6×8=14cm1，
故答案为14．
11、4
【解析】
因为x2+4xy+4y2=(x+2y)²，只要求出x+2y即可，因为2x+3y＝2.2减去x+y＝0.2，刚好得到x+2y=2，所以结果为4，当然后你也可以用解二元一次方程组求出x，y然后再求代数x2+4xy+4y2的值
【详解】
解：用方程+3y＝2.2减去方程x+y＝0.2，得x+2y=2，故x2+4xy+4y2=(x+2y)²=4
本题利用了整式的乘法解决的，还可以用解一元二次方程的方法求解。
12、＜
【解析】
联立方程组，求出方程组的解，根据方程组的解以及函数的图象进行判断即可得解.
【详解】
根据题意联立方程组得，
解得，，
画函数图象得，
所以，当，则＜.
故答案为：＜.
本题考查了一次函数图象的性质与特征，求出两直线的交点坐标是解决此题的关键.
13、
【解析】
根据二次根式的乘法，化简二次根式即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）1；（2）；（3）
【解析】
（1）根据勾股定理即可解决问题；
（2）设AD=x，则OD=OA=AD=12-x，根据轴对称的性质，DE=x，BE=AB=9，又OB=1，可得OE=OB-BE=1-9=6，在Rt△OED中，根据OE2+DE2=OD2，构建方程即可解决问题；
（3）过点E作EP∥BD交BC于点P，过点P作PQ∥DE交BD于点Q，则四边形DEPQ是平行四边形，再过点E作EF⊥OD于点F，想办法求出最小PE的解析式即可解决问题。
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，∵OA=12，AB=9，
故答案为1．
（2）如图，
设，则
根据轴对称的性质，，
又，
∴，
在中，，
即，则，
∴，
∴
设直线所对应的函数表达式为：
则，
解得
∴直线所对应的函数表达式为：．
故答案为：
（3）过点作交于点，过点作交于点，则四边形是平行四边形，再过点作于点，
由
得，即点的纵坐标为，
又点在直线：上，
∴，解得，

由于，所以可设直线，
∵在直线上
∴，解得
∴直线为，
令，则，解得，
∴
本题考查一次函数综合题、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．
15、（1）y＝1﹣x；（2），S有最大值；（3）存在点C（1，1）．
【解析】
（1）已知直线L过A，B两点，可将两点的坐标代入直线的解析式中，用待定系数法求出直线L的解析式；
（2）求三角形OPQ的面积，就需知道底边OP和高QM的长，已知了OP为t，关键是求出QM的长．已知了QM垂直平分OP，那么OM＝t，然后要分情况讨论：①当OM＜OB时，即0＜t＜2时，BM＝OB﹣OM，然后在等腰直角三角形BQM中，即可得出QM＝BM，由此可根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式；②当OM＞OB时，即当t≥2时，BM＝OM﹣OB，然后根据①的方法即可得出S与t的函数关系式，然后可根据0＜t＜2时的函数的性质求出S的最大值；
（3）如果存在这样的点C，那么CQ＝QP＝OQ，因此C，O就关于直线BL对称，因此C的坐标应该是（1，1）．那么只需证明CQ⊥PQ即可．分三种情况进行讨论：①当Q在线段AB上（Q，B不重合），且P在线段OB上时．要证∠CQP＝90°，那么在四边形CQPB中，就需先证出∠QCB与∠QPB互补，由于∠QPB与∠QPO互补，而∠QPO＝∠QOP，因此只需证∠QCB＝∠QOB即可，根据折叠的性质，这两个角相等，由此可得证；②当Q在线段AB上，P在OB的延长线上时，根据①已得出∠QPB＝∠QCB，那么这两个角都加上一个相等的对顶角后即可得出∠CQP＝∠CBP＝90度；③当Q与B重合时，很显然，三角形CQP应该是个等腰直角三角形．综上所述即可得出符合条件C点的坐标．
【详解】
（1）y＝1﹣x；
（2）∵OP＝t，
∴Q点的横坐标为t，
①当，即0＜t＜2时，QM=1-t，
∴S△OPQ＝t（1﹣t），
②当t≥2时，QM＝|1﹣t|＝t﹣1，
∴S△OPQ＝t（t﹣1），
∴
当0＜t＜1，即0＜t＜2时，S＝t（1﹣t）＝﹣（t﹣1）2+，
∴当t＝1时，S有最大值；
（3）由OA＝OB＝1，故△OAB是等腰直角三角形，
若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，
则PQ＝QC，
所以OQ＝QC，又L1∥x轴，则C，O两点关于直线L对称，
所以AC＝OA＝1，得C（1，1）．下面证∠PQC＝90度．连CB，则四边形OACB是正方形．
①当点P在线段OB上，Q在线段AB上（Q与B、C不重合）时，如图﹣1，
由对称性，得∠BCQ＝∠QOP，∠QPO＝∠QOP，
∴∠QPB+∠QCB＝∠QPB+∠QPO＝180°，
∴∠PQC＝360°﹣（∠QPB+∠QCB+∠PBC）＝90度；
②当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图﹣2，如图﹣3
∵∠QPB＝∠QCB，∠1＝∠2，
∴∠PQC＝∠PBC＝90度；
③当点Q与点B重合时，显然∠PQC＝90度，
综合①②③，∠PQC＝90度，
∴在L1上存在点C（1，1），使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．
本题结合了三角形的相关知识考查了一次函数及二次函数的应用，要注意的是（2）中为保证线段的长度不为负数要分情况进行求解．（3）中由于Q，P点的位置不确定，因此要分类进行讨论不要漏解．
16、.
【解析】
过点C作CD⊥BA，垂足为D．根据平角的定义可得∠DAC=60°，在Rt△ACD中，根据三角函数可求AD，BD的长；在Rt△BCD中，根据勾股定理可求BC的长．
【详解】
解:过点作，垂足为
∵
∴
在Rt中
∴
在Rt中
本题考查解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．同时考查了勾股定理．
17、（1）；（2）-2≤x＜0，见解析.
【解析】
（1）根据加减消元法解方程即可求解；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来即可．
【详解】
解：（1），
②×3-①×2得5x=15，
解得：x=3，
把x=3代入②得3×3-2y=7，
解得：y=1．
故原方程组的解为；
（2），
解不等式①得：x＜0，
解不等式②得：x≥-2，
故不等式组的解集为-2≤x＜0，
在数轴上表示为：
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集、解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解找出不等式组的解集是解（2）的关键．
18、（1）详见解析；（2）九班成绩好些；（3）九班的成绩更稳定，能胜出．
【解析】
由条形图得出两班的成绩，根据中位数、平均数及众数分别求解可得；
由平均数相等得前提下，中位数高的成绩好解答可得；
分别计算两班成绩的方差，由方差小的成绩稳定解答．
【详解】
解：九班5位同学的成绩为：75、80、85、85、100，
其中位数为85分；
九班5位同学的成绩为：70、100、100、75、80，
九班的平均数为分，其众数为100分，
补全表格如下：
九班成绩好些，
两个班的平均数都相同，而九班的中位数高，
在平均数相同的情况下，中位数高的九班成绩好些．
九班的成绩更稳定，能胜出．
分，
分，
，
九班的成绩更稳定，能胜出．
本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义即运用方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【详解】
解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2=225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2=PQ2+QR2，
∴QR2=PR2-PQ2=289-225=1，
则正方形QMNR的面积为1．
故答案为：1．
此题考查了勾股定理以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
20、41
【解析】
证明△ABN≌△ADN，求得AD=AB=10，BN=DN，继而可和CD长，结合M为BC的中点判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD长，再根据三角形周长公式进行计算即可得.
【详解】
在△ABN和△ADN中，
，
∴△ABN≌△ADN，
∴BN=DN，AD=AB=10，
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴CD=2MN=6，
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41，
故答案为：41.
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定等，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．
21、-
【解析】
根据函数解析式得出mn=-，n-3m=9，代入变形后代数式求出即可．
【详解】
解：∵（m，n）是函数y=-与y=3x+9的一个交点，
∴mn=-，n-3m=9，
∴-===-．
故答案为：-．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及分式的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力．
22、
【解析】
解 ，得 或 .
当时， ；
当时，；
所以的值为
23、-1
【解析】
将（-1，1）代入y=kx，求得k的值即可．
【详解】
∵正比例函数（）的图象经过点（-1，1），
∴1=-k，
解得k=-1，
故答案为：-1．
此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1），见解析；（2），见解析；（3）.
【解析】
（1）根据点移到点，可得出平移的方向和距离，然后利用平移的性质分别求出点A1、B1的坐标即可解决问题；
（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2，进一步即可解决问题；
（3）利用勾股定理计算CC2的长，再判断出点C经过的路径长是以CC2为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算即可.
【详解】
解：解：（1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，点A1的坐标是（﹣4，﹣1）；
（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，点A2的坐标是（4，2）；
（3）点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2为直径的半圆，由勾股定理得：CC2=，∴点C经过的路径长：×π×=2π．
本题考查平移变换、旋转变换和勾股定理等知识，解题的关键是正确作出平移和旋转后的对应点.
25、 (1)A、B两类图书的标价分别是27元、18元；(2)当书店进A类600本，B类200本时，书店获最大利润.
【解析】
（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．
（2）先设购进A类图书m本，总利润为w元，则购进B类图书为（800-m）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出m的取值范围，然后根据总利润w=总售价-总成本，求出最佳的进货方案．
【详解】
解：(1)设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，则可列方程
解得：x=18
经检验：x=18是原分式方程的解
则A、B两类图书的标价分别是27元、18元
(2)设A类进货m本，则B类进货(800-m)本，利润为W元.
由题知：
解得：.
W=(27-a-18)m+(18-12)(800-m)=(3-a)m+4800
∵
∴
∴W随m的增大而增大
∴当m=600时，W取最大值
则当书店进A类600本，B类200本时，书店获最大利润
本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．
26、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）根据正方形的性质，可得∠B=∠D=90°，进而证得Rt△ABE≌Rt△ADF即可；
（2）由（1）中结论可证得，从而可证垂直平分，再证明垂直平分即可．
【详解】
解：（1）∵正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，
又AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF．
（2）∵，
∴，又，为公共边，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
又，
∴垂直平分，
∴，
∴四边形是菱形．
本题考查了正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质，菱形的判定，掌握直角三角形全等的判定和性质以及菱形的判定是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
年龄
13
14
15
25
28
30
35
其他
人数
30
533
17
12
20
9
2
3
平均数
中位数
众数
九班
85
85
九班
80
平均数
中位数
众数
九班
85
85
85
九班
85
80
100