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人教版九年级数学上册重难考点专题03实际问题与一元二次方程(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)
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这是一份人教版九年级数学上册重难考点专题03实际问题与一元二次方程(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)，共52页。
专题03 实际问题与一元二次方程 考点类型 知识串讲（一）列方程解应用题的步骤（1）审题；（2）找等量关系；（3）设未知数；（4）列方程；（5）解方程；（6）检验；（7）写出答案．（二）一元二次方程实际问题常见类型（1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）（2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数（3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。（4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。（5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） 考点训练考点1：单双循环问题典例1：（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）初二年级进行篮球比赛，每个班都与其他班级比赛一场，共进行36场比赛，那么初二年级共有_________个班级．【变式1】（2023春·八年级单元测试）毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相约到某礼品店购买礼品，每两个同学都相互赠送一件礼品，共购买礼品30件，设该数学兴趣小组有x人，根据题意，可列方程为 _____________．【变式2】（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，参加比赛的队伍共有______支．【变式3】（2023秋·广东深圳·九年级阶段练习）要组织一场篮球赛，参赛的每两个队之间赛一场，每天进行4场，赛程安排9天，组织者共邀请 _____支篮球队参赛．考点2：传播、传染问题典例2：（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）春季流感病毒传播速度快，我们要做好预防．如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了__________人．【变式1】（2023秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出_____个小分支．【变式2】（2022秋·广东惠州·九年级校考期末）有两人患了流感，经过两轮传染后共有288人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为_____．【变式3】（2023春·安徽·九年级阶段练习）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．考点3：增长率问题典例3：（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意列出方程_______【变式1】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）某厂一月份产值为2万元，以后每月产值的增长率都为x，且第一季度总产值为10万元，那么可以列出方程是__________．【变式2】（2023春·山东临沂·九年级校考阶段练习）某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，现连续两次降价处理，共降价64元后出售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为___________．【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.38万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为___________；预计按此平均增长率，到今年（2022）底全市5G用户数累计达到___________户．（用科学记数法表示）考点4：几何面积问题典例4：（2022春·广西梧州·八年级校考期中）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是 ___________米．【变式1】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子（铁皮厚度忽略不计），且此长方体箱子的底面长比宽多2m，求该长方体的底面宽．设该长方体的底面宽为xm，请列出关于x的方程___________．【变式2】（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x=14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x．根据此法，图中正方形ABCD的面积是________．【变式3】（2023·浙江衢州·统考一模）如图，有一张长方形桌子的桌面长130cm，宽60cm．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为xcm，则可列出x满足的方程为______．（不必化简）考点5：销售利润问题典例5：（2023秋·河北石家庄·九年级校考期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少___________？（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价___________元时，商场日盈利可达到2000元．【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每上涨1元，销售量减少10个，商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设涨价x元，可列方程为___________．【变式2】（2022秋·九年级课时练习）某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为__________________．【变式3】（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则一株的盈利为 ________元，可列出的方程是______________________．考点6：动态几何问题典例6：（2023春·八年级单元测试）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？ 【变式1】（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．(1)用含t的式子表示线段的长：CQ=__________；PB=__________．(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？(3)当t为何值时，四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．【变式2】（2022春·八年级课时练习）距台风中心200km的区域（包括边界）为受台风影响区．如图，如果轮船不改变航向，会进入台风影响区吗？【变式3】（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为xs，求：(1)当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；(2)当x为何值时，△PBQ的面积为5cm2；(3)当x为何值时，△PDQ为等腰三角形．考点7：古代文化问题典例7：（2022春·江苏南通·八年级统考期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步?若设宽为x步，则根据题意可列方程为_________．【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __．【变式2】（2022秋·甘肃·九年级校考期末）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，（如图）题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为_______尺，根据题意列方程为________．【变式3】（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）《九章算术）是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少？（1丈=10尺）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为___________（将方程化简并写成一般形式）． 同步过关一、单选题1．（2023秋·山东德州·九年级校考期中）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制分为主场、客场交替进行，共进行了72场比赛，若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为（ ）A．12 x（x+1）=72 B．x（x+1）=72 C．12x（x-1）=72 D．x（x-1）=722．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商品经过两次连续涨价，由原来的每件10元上涨为现在的14.4元，设平均每次涨价的百分比为x，则可列方程（ ）A．14.41−x2=10 B．101+2x=14.4C．14.41−2x=10 D．101+x2=14.43．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考阶段练习）某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（ ）．A．2981−x2=268 B．2981+x2=268C．2981−2x=268 D．2981−x2=2684．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期末）九（1）班数学兴趣小组的同学在元旦时互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小强统计出全组共互送了72张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为( ）A．x(x−1)=72 B．xx−1=2×72C．2xx−1=72 D．x(x＋1)=725．（2023·安徽·九年级专题练习）2018年一季度，华为某销公营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程( )A．2x=22%+30% B．1+x2=1+22%+30%C．1+2x=1+22%1+30% D．1+x2=1+22%1+30%6．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期末）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）A．60x2=48.6 B．601−x2=48.6 C．601+x2=48.6 D．601−2x=48.67．（2022秋·广西来宾·九年级统考期末）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）A．601+x2=48.6 B．48.61+x2=60 C．601−x2=48.6 D．48.61−x2=608．（2023秋·九年级课时练习）某产品，原来每件的成本价是500元，若每件售价625元，则每件利润率是 .A．12% B．25% C．30% D．50%9．（2022秋·广西河池·九年级统考期中）某校九年组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两个班之间都赛一场，共需安排28场比赛，九年级班级个数为（ ）A．6 B．7 C．8 D．910．（2023秋·山东潍坊·九年级统考期末）某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%，则平均每次的降价率为（ ）A．30% B．40% C．50% D．51%11．（2023春·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考阶段练习）通过抖音等自媒体的宣传，重庆某火锅店生意日渐兴隆，今年1月日均接待顾客500人，3月日均接待顾客720人，设该店日均接待顾客的月平均增长率为x，根据题意下列方程正确的是（ ）A．5001−2x=720 B．5001+2x=720C．7201−x2=500 D．5001+x2=72012．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，设道路宽为x米，则可列方程为（ ）A．32−2x20−x=570 B．32−x20−2x=570C．32−2x20−x=570×6 D．32−3x20−x=57013．（2023·湖南郴州·统考一模）用长4m的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为2425m2，若设它的一边长为xm，根据题意列出关于x的方程为（ ）A．x(4−x)=2425 B．2x(2−x)=2425 C．x(4−2x)=2425 D．x(2−x)=242514．（2023·湖北恩施·校考二模）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共有比赛55场，总共有（ ）支球队参加比赛．A．9 B．10 C．11 D．1215．（2023春·浙江·八年级阶段练习）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（ ）A．1s B．1.2s C．2s D．4s二、填空题16．（2023秋·上海普陀·八年级校联考期末）某商场八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，若九、十月份营业额的月增长率相同为x，那么由题意可列得方程为_______________________17．（2023秋·江苏宿迁·九年级开学考试）某农家前年水蜜桃亩产量为800千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程________________.18．（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）某件商品原价200元，经过两次降价（每次降价的百分数相同）后，现价162元，每次降价的百分数为x,则可列方程为____________________．19．（2023春·湖南岳阳·九年级校考期中）已知等腰三角形的一边为3，另两边是方程x2−4x+m=0的两个实根，则m的值为______．20．（2023秋·四川成都·九年级统考阶段练习）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：___________．21．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，阴影部分的面积为33，得到大正方形的面积为33+16=49，所以x+2+22=49，则该方程的正数解为7−4=3”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x=m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为x=______．22．（2022秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2021年底有5G用户20万户，计划到2023年底该市5G用户数累计达到33.8万户，设该市5G用户数年平均增长率为x，则x的值是______．23．（2023秋·江苏南通·九年级阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则经过三轮传染后共有_______人患流感．24．（2023秋·全国·九年级统考期中）某公司今年一月份的利润为100万元，三月份的利润下降到81万元，为量化该公司一月份至三月份利润下降的速度，请你提出一个数字问题为________．25．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知一次函数y=−12x+52的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线AB上一点．当∠OCB=45°时，点C的坐标是__________．三、解答题26．（2022秋·山西·九年级山西实验中学校考期中）商场销售某种商品，进价200元，每件售价250元，平均每天售出30件，经调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．(1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到____________件，每天盈利__________元；(2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2100元？(3)在（2）题条件下，降价后每件商品的利润率是____________．27．（2023秋·八年级课时练习）农机厂计划用两年时间把产量提高69%．如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数．28．（2023春·浙江·八年级专题练习）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，设南瓜种植面积的增长率为x．(1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______kg（用含x的代数式表示）(2)今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．29．（2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？30．（2023·安徽·九年级专题练习）为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；（2）如果每年的增长率相同，预计2018年图书借阅总量是多少本？31．（2023秋·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）参加研讨会的教师每两人握一次手，共握手36次，这次参加研讨会的教师共有多少名？32．（2022秋·湖南怀化·九年级统考期末）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个,因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价为多少元？33．（2023·安徽·九年级专题练习）2014年初，某市开始实施“旧物循环计划”，为旧物品二次利用提供了公益平台，到2014年底，全年回收旧物3万件，随着宣传力度的加大，2016年底全年回收旧物已经达6.75万件，若每年回收旧物的增长率相同．（1）求每年回收旧物的增长率；（2）按着这样的增长速度，请预测2017年全年回收旧物能超过10万件吗？34．（2023·重庆·统考中考真题）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了ａ%（其中a>0）.则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%，求ａ的值.35．（2023秋·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）2020鼠年伊始，新冠病毒肆虐全球，在以习近平为核心的党中央的英明领导下，我国的疫情很快得到了控制．为了更好的保护人民，党中央决定免费为全国人民接种疫苗，康心医院成为我市定点疫苗接种医院．（1）已知在康心医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共2900支，两种疫苗每天按定量接种．其中，“智飞”疫苗可供接种5天，“科兴”疫苗可供接种3天，“智飞”疫苗每天接种的数量比“科兴”多100支，则康心医院每天接种“智飞”疫苗多少支？（2）投放第二批疫苗时，预计两种疫苗每日投放虽均为400支，且均投放m天，实际上“智飞”疫苗每日投放量比预计每日投放量少2a支，投放天数比预计天数多2a%，“科兴”疫苗实际每日投放量和预计每日投放量一样，投放天数比预计天数少a%，则第二批疫苗实际投放总量比预计投放总量提高3%，若a<25，求a的值． 专题03 实际问题与一元二次方程 考点类型 知识串讲（一）列方程解应用题的步骤（1）审题；（2）找等量关系；（3）设未知数；（4）列方程；（5）解方程；（6）检验；（7）写出答案．（二）一元二次方程实际问题常见类型（1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）（2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数（3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。（4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。（5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） 考点训练考点1：单双循环问题典例1：（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）初二年级进行篮球比赛，每个班都与其他班级比赛一场，共进行36场比赛，那么初二年级共有_________个班级．【答案】9【分析】设这个学校初二年级共有x个班级，根据该校初二年级共进行了36场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这个学校初二年级共有x个班级，依题意得：12xx−1=36，整理得：x2−x−72=0，解得：x1=9，x2=−8（x=−8不符合题意，舍去）．答：这个学校初二年级共有9个班级．故答案为：9．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式1】（2023春·八年级单元测试）毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相约到某礼品店购买礼品，每两个同学都相互赠送一件礼品，共购买礼品30件，设该数学兴趣小组有x人，根据题意，可列方程为 _____________．【答案】xx−1=30【分析】由题意，列出一元二次方程即可得到答案．【详解】解：设该数学兴趣小组有x人，根据题意得xx−1=30，故答案为：xx−1=30．【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用题，根据题意建立等量关系是解题的关键．【变式2】（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，参加比赛的队伍共有______支．【答案】10【分析】设有x支队伍，根据题意，得12x(x−1)=45，解方程即可．【详解】解：设有x支队伍，根据题意，得12x(x−1)=45 ，解方程，得x1=10 ，x2=−9 （舍去）故答案为：10【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【变式3】（2023秋·广东深圳·九年级阶段练习）要组织一场篮球赛，参赛的每两个队之间赛一场，每天进行4场，赛程安排9天，组织者共邀请 _____支篮球队参赛．【答案】9【分析】设组织者共邀请x支篮球队参赛，根据题意列出方程进行求解即可．【详解】解：设组织者共邀请x支篮球队参赛，依题意得：12x（x−1）=4×9，整理得：x2−x−72=0 ，解得：x1=9，x2=−8 （不符合题意，舍去），∴组织者共邀请9支篮球队参赛．故答案为：9．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意正确的列出方程是解题的关键．考点2：传播、传染问题典例2：（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）春季流感病毒传播速度快，我们要做好预防．如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了__________人．【答案】15【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程，解方程即可求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：1+x+x(1+x)=256，即(1+x)2=256解得：x1=15，x2=−17(舍去)故答案为：15．【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，根据题意正确列出方程是解题的关键．【变式1】（2023秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出_____个小分支．【答案】10【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是111，列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得，1+x+x×x=111即x2+x−110=0，x−10x+11=0解得：x1=10,x2=−11（舍去）故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式2】（2022秋·广东惠州·九年级校考期末）有两人患了流感，经过两轮传染后共有288人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为_____．【答案】2+2x+x2+2x=288【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后患流感的人数是：2+2x，第二轮传染后患流感的人数是：2+2x+x2+2x，而已知经过两轮传染后共有288人患了流感，则可得方程：2+2x+x2+2x=288．故答案为：2+2x+x2+2x=288．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．【变式3】（2023春·安徽·九年级阶段练习）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．【答案】12【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意，得：1+x+x2=157，解得：x1=12，x2=−13(不合题意，舍去)．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．考点3：增长率问题典例3：（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意列出方程_______【答案】4001+x2=625【分析】设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据“第一年植树400棵，第三年植树625棵”列出方程，即可求解．【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得：4001+x2=625．故答案为：4001+x2=625【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【变式1】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）某厂一月份产值为2万元，以后每月产值的增长率都为x，且第一季度总产值为10万元，那么可以列出方程是__________．【答案】2+21+x+21+x2=10【分析】由题意可求出二月份产值为21+x万元，三月份产值为21+x2万元．再根据第一季度总产值为10万元即可列出方程．【详解】由题意可求出二月份产值为21+x万元，∴三月份产值为21+x2万元．∵第一季度总产值为10万元，∴可以列出方程是2+21+x+21+x2=10．故答案为：2+21+x+21+x2=10．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．【变式2】（2023春·山东临沂·九年级校考阶段练习）某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，现连续两次降价处理，共降价64元后出售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为___________．【答案】20%【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解．【详解】解：设每次降价的百分率为x，依题意得，1001−x2=64，解得：x1=0.2=20%,x2=1.8（舍去），故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.38万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为___________；预计按此平均增长率，到今年（2022）底全市5G用户数累计达到___________户．（用科学记数法表示）【答案】 30% 4.394×104【分析】先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底5G用户的数量，然后根据题意即可得关于x的方程，解方程即得答案．【详解】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意，得：21+x2=3.38，解这个方程，得：x1=0.3=30%，x2=−2.3（不合题意，舍去）．∴x的值为30%．∴2022年底全市5G用户数=3.38×104×1+30%=4.394×104故答案为：30%；4.394×104．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．考点4：几何面积问题典例4：（2022春·广西梧州·八年级校考期中）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是 ___________米．【答案】2【分析】设人行道的宽度为x米，根据两块相同的矩形绿地的面积之和为56平方米，列出一元二次方程，再求解方程即可得出答案．【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得：20−3x8−2x=56，整理得，3x2−32x+52=0，解得：x1=2，x2=263（不合题意，舍去），即：人行通道的宽度是2米．故答案是：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系正确列出方程是解题的关键．【变式1】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子（铁皮厚度忽略不计），且此长方体箱子的底面长比宽多2m，求该长方体的底面宽．设该长方体的底面宽为xm，请列出关于x的方程___________．【答案】x2+2x=15【分析】表示出长方体运输箱底面的宽为xm，则长为x+2m，由围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，列方程即可．【详解】解：长方体运输箱底面的宽为xm，则长为x+2m．由题意得xx+2×1=15，即x2+2x=15．故答案为：x2+2x=15．【点睛】此题考查由实际问题列一元二次方程，利用长方体的体积计算公式来解决问题．【变式2】（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x=14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x．根据此法，图中正方形ABCD的面积是________．【答案】81【分析】通过解方程求得x的值；然后利用正方形的面积公式得到(x+x+5)2，代入求值即可．【详解】解：由x2+5x=14得到：(x+52)2=814．解得：x1=2,x2=−7（负值舍去），所以正方形ABCD的面积=(x+x+5)2=(4+5)2=81，故答案为：81．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．【变式3】（2023·浙江衢州·统考一模）如图，有一张长方形桌子的桌面长130cm，宽60cm．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为xcm，则可列出x满足的方程为______．（不必化简）【答案】130+2x60+2x=2×130×60【分析】设各边垂下的长度为x cm，则台布的长为(130+2x)cm，宽为(60+2x)cm，根据台布的面积是桌面面积的2倍．即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设各边垂下的长度为x cm，则台布的长为(130+2x)cm，宽为(60+2x)cm，依题意，得：130+2x60+2x=2×130×60，故答案为：130+2x60+2x=2×130×60．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．考点5：销售利润问题典例5：（2023秋·河北石家庄·九年级校考期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少___________？（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价___________元时，商场日盈利可达到2000元．【答案】 1692 25【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；（2）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．【详解】解：（1）当天盈利：50−3×30+2×3=1692（元）；故答案为：1692．（2）设每件商品降价x元，根据题意，得：50−x30+2x=2000，整理，得：x2−35x+250=0，解得：x1=10，x2=25，∵商城要尽快减少库存，∴x=25．故答案为：25．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每上涨1元，销售量减少10个，商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设涨价x元，可列方程为___________．【答案】(12+x)(180−10x)=2000【分析】由涨价x元，可表示出减少的销售量、实际的销售量及实际销售价，从而可表示出利润，根据利润列出方程即可．【详解】涨价x元，则可减少销售量为10x个，实际销售量为(180−10x)个，实际销售价为(52+x)元，则所获利润为(52+x−40)(180−10x)元，由题意得：(12+x)(180−10x)=2000，故答案为：(12+x)(180−10x)=2000．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是理解题意，表示出涨价后的销量、价格及利润，由等量关系列出方程．【变式2】（2022秋·九年级课时练习）某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为__________________．【答案】（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450【分析】首先设每件应降价x元，利用销售量×每件利润＝450元列出方程．【详解】解：设设每件应降价x元，则每件定价为（30﹣x）元，根据题意，得：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450，故答案是：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每件利润，再列出方程．【变式3】（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则一株的盈利为 ________元，可列出的方程是______________________．【答案】 4−0.5x 4−0.5x3+x=15【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x＋3）株，得出平均单株盈利为（4−0.5x）元，由题意得（x＋3）（4−0.5x）＝15即可．【详解】解：设每盆应该多植x株，则一株的盈利为（4−0.5x），由题意得（3＋x）（4−0.5x）＝15，故答案为：（4−0.5x），（3＋x）（4−0.5x）＝15．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．考点6：动态几何问题典例6：（2023春·八年级单元测试）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？ 【答案】经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于8cm2【分析】设经过t秒钟，△PBQ的面积等于8cm2，则AP=t，BQ=2t，PB=6−t，根据S△PBQ=12×PB×BQ=12×6−t×2t=8，计算求解满足要求的t值即可．【详解】解：设经过t秒钟，△PBQ的面积等于8cm2，∴AP=t，BQ=2t，PB=6−t，∴S△PBQ=12×PB×BQ=12×6−t×2t=8，整理得，t2−6t+8=0，∴t−2t−4=0，令t−2=0，t−4=0，解得t1=2，t2=4，∴经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于8cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的列一元二次方程．【变式1】（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．(1)用含t的式子表示线段的长：CQ=__________；PB=__________．(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？(3)当t为何值时，四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)2tcm，15−3tcm(2)P、Q出发0.6和5.4秒时，P，Q间的距离是13cm(3)P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）可通过构建直角三角形来求解．过Q作QM⊥AB于M，如果设出发t秒后，QP=13cm．那么可根据路程=速度×时间，用未知数表示出PM的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知数的值．（3）利用矩形的性质得出当AP=DQ时，四边形APQD为矩形求出即可【详解】（1）解：由题意得：CQ=2tcm,AP=3tcm，∵AB=15cm，∴PB=15−3tcm；故答案为2tcm，15−3tcm；（2）解：设出发t秒后P、Q两点间的距离是13cm．则AP=3t，CQ=2t，作QM⊥AB于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=ABC=90°，∴四边形QMBC是矩形，∴∠QMP=90°,QM=BC=5cm，∴PM=15−2t−3t=15−5t，由勾股定理得：(15−5t)2+52=132，解得：t=0.6或t=5.4，答：P、Q出发0.6和5.4秒时，P，Q间的距离是13cm；（3）解：四边形APDQ的形状有可能为矩形；理由如下：当四边形APQD为矩形，则AP=DQ，即3t=15−2t，解得：t=3．答：当P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，本题结合几何知识并根据题意列出方程是解题的关键．【变式2】（2022春·八年级课时练习）距台风中心200km的区域（包括边界）为受台风影响区．如图，如果轮船不改变航向，会进入台风影响区吗？【答案】如果轮船不改变航向，会进入台风影响区．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再设当轮船接到报警后经过t小时受到台风影响，根据勾股定理列出关于t的方程，根据根的判别式即可判断．【详解】解：轮船会受到台风影响．如图，∵BC=500km，BA=300km，∴AC=5002−3002=400km．设当轮船接到报警后经过t小时后，轮船到达点D，台风到达点E，由勾股定理得：400−30t2+300−20t2=2002，整理得13t2−360t+2100=0，Δ=−3602−4×13×2100=20400>0，方程有两个不相等的实数解，∴如果轮船不改变航向，会进入台风影响区．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，一元二次方程根的判别式的应用，正确的理解题意是解题的关键．【变式3】（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为xs，求：(1)当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；(2)当x为何值时，△PBQ的面积为5cm2；(3)当x为何值时，△PDQ为等腰三角形．【答案】(1)当x=2时，△PBQ是等腰三角形(2)x为1或5时，△PBQ的面积为5cm2(3)x为8−213或613−18时，△PDQ是等腰三角形【分析】（1）由题意得AP=xcm，BQ=2xcm，得BP=(6−x)cm，CQ=(12−2x)cm，当△PBQ为等腰三角形时，BP=BQ，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据题意，分两种情况：①当DP=DQ时，在Rt△APD和Rt△CDQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当QP=DQ时，在Rt△BPQ和Rt△CDQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6cm，AD=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=90°，根据题意得：AP=xcm，BQ=2xcm，∴BP=(6−x)cm，CQ=(12−2x)cm，当△PBQ为等腰三角形时，BP=BQ，∴6−x=2x，解得：x=2，即当x=2时，△PBQ是等腰三角形；（2）解：由题意得：126−x⋅2x=5，整理得：x2−6x+5=0，解得：x1=1，x2=5，答：当x为1或5时，△PBQ的面积为5cm2；（3）解：根据题意，分两种情况：①当DP=DQ时，如图1所示：在Rt△APD和Rt△CDQ中，由勾股定理得：DP2=x2+122，DQ2=62+12−2x2，∴x2+122=62+12−2x2，解得：x=8−213或x=8+213（不合题意舍去），∴x=8−213；②当QP=DQ时，如图2所示：在Rt△BPQ和Rt△CDQ中，PQ2=6−x2+2x2，DQ2=62+12−2x2，∴6−x2+2x2=62+12−2x2，解得：x=613−18或x=−613−18（不合题意舍去），∴x=613−18．综上所述，当x为8−213或613−18时，△PDQ是等腰三角形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．考点7：古代文化问题典例7：（2022春·江苏南通·八年级统考期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步?若设宽为x步，则根据题意可列方程为_________．【答案】x（60-x）＝864【分析】由宽和长共六十步，可得出长为（60-x）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设宽为x步，则长为（60-x）步，根据题意得：x（60-x）＝864．故答案为：x（60-x）＝864．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准题目中的等量关系，是解题的关键．【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __．【答案】492【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t−10)步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其正值代入3t中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t−10)步，则依题意得：102+(3t)2=(7t−10)2，整理得：40t2−140t=0，解得：t1=72，t2=0（不合题意，舍去），∴7t=7×72=492，即甲走的步数是492，故答案为：492．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式2】（2022秋·甘肃·九年级校考期末）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，（如图）题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为_______尺，根据题意列方程为________．【答案】 （x+1）； x2+52=x+12.【详解】试题分析：设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为（x+1）尺，根据题意列方程为x2+52=x+12.故答案为（x+1），x2+52=x+12.考点：由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用．【变式3】（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）《九章算术）是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少？（1丈=10尺）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为___________（将方程化简并写成一般形式）．【答案】x2−6x−32=0【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：由题可知 1丈= 10尺，门的对角线距离恰好为1丈，∴门的对角线距离恰好为10尺，∵高比宽多6尺，设门高 AB为x尺，∴BC=x−6尺，∴可列方程为：x2+x−62=102，整理得：x2−6x−32=0故答案为：x2−6x−32=0．【点睛】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可． 同步过关一、单选题1．（2023秋·山东德州·九年级校考期中）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制分为主场、客场交替进行，共进行了72场比赛，若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为（ ）A．12 x（x+1）=72 B．x（x+1）=72 C．12x（x-1）=72 D．x（x-1）=72【答案】D【分析】根据题意，注意区分交替进行比赛，还是单循环进行比赛，再列式．【详解】题中说交替进行比赛，即每支球队都要参与(x−1)场比赛，所以总共进行x(x−1)场，结合题意得x(x−1)=72，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，注意区分是单循环赛制还是交替进行是解决问题的关键．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商品经过两次连续涨价，由原来的每件10元上涨为现在的14.4元，设平均每次涨价的百分比为x，则可列方程（ ）A．14.41−x2=10 B．101+2x=14.4C．14.41−2x=10 D．101+x2=14.4【答案】D【分析】设平均每次涨价的百分率为x，则等量关系为：原价×(1+x)2=现价，据此列方程．【详解】解：设平均每次涨价的百分比为x，则可列方程10(1+x)2=14.4，故选：D．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2)，增长后的量为b，则有表达式a(1+x)n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．3．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考阶段练习）某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（ ）．A．2981−x2=268 B．2981+x2=268C．2981−2x=268 D．2981−x2=268【答案】D【分析】根据该商品的原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：298（1-x）2=268．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期末）九（1）班数学兴趣小组的同学在元旦时互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小强统计出全组共互送了72张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为( ）A．x(x−1)=72 B．xx−1=2×72C．2xx−1=72 D．x(x＋1)=72【答案】A【分析】根据题意，每个同学可送出x−1张贺年卡，据此可列出方程．【详解】解：设数学兴趣小组人数为x人，根据题意，得x(x−1)=72，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．5．（2023·安徽·九年级专题练习）2018年一季度，华为某销公营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程( )A．2x=22%+30% B．1+x2=1+22%+30%C．1+2x=1+22%1+30% D．1+x2=1+22%1+30%【答案】D【分析】利用两种方法算出2019年第一季度的收入，因所得结果是一致的，进而得出等式即可．【详解】解：如果2017年第一季度收入为a，则根据题意2019年第一季度的收入为：a（1+22%）（1+30%），设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，根据题意又可得2019年第一季度收入为：a1+x2，此2种方式结果一样，可得：a（1+22%）（1+30%）=a1+x2，即1+x2=1+22%1+30%，故选择：D.【点睛】此题主要考查了根据实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．6．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期末）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）A．60x2=48.6 B．601−x2=48.6 C．601+x2=48.6 D．601−2x=48.6【答案】B【分析】根据等量关系：原价×（1－x）2=现价列方程即可．【详解】解：根据题意，得：601−x2=48.6，故答案为：B．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解答的关键．7．（2022秋·广西来宾·九年级统考期末）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）A．601+x2=48.6 B．48.61+x2=60C．601−x2=48.6 D．48.61−x2=60【答案】C【分析】根据降价后的价格=原价×（1－降价率），列出方程；【详解】解：第一次降价后价格为：60×（1－x），第二次降价后价格为：60×（1－x）（1－x）=48.6，即601−x2=48.6，故选：C；【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，根据降价计算方式列出等量关系．8．（2023秋·九年级课时练习）某产品，原来每件的成本价是500元，若每件售价625元，则每件利润率是 .A．12% B．25% C．30% D．50%【答案】B【详解】根据利润率=利润÷成本可得，这件产品的利润率为625−500500=125500=25% ，故选B.9．（2022秋·广西河池·九年级统考期中）某校九年组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两个班之间都赛一场，共需安排28场比赛，九年级班级个数为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】设九年级有x个班，利用比赛的总场数=九年级的班级数×（九年级的班级数−1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．【分析】解：设九年级有x个班，根据题意得：12xx−1=28，整理得：x2−x−56=0，解得：x1=8，x2=−7（不符合题意，舍去），∴九年级有8个班，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2023秋·山东潍坊·九年级统考期末）某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%，则平均每次的降价率为（ ）A．30% B．40% C．50% D．51%【答案】A【分析】根据数量关系：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．【详解】设原价为100，平均每次降价率是x，根据题意得：100（1-x）2=49，解得：x=310=30%或x=1710（舍去）．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格．11．（2023春·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考阶段练习）通过抖音等自媒体的宣传，重庆某火锅店生意日渐兴隆，今年1月日均接待顾客500人，3月日均接待顾客720人，设该店日均接待顾客的月平均增长率为x，根据题意下列方程正确的是（ ）A．5001−2x=720 B．5001+2x=720C．7201−x2=500 D．5001+x2=720【答案】D【分析】根据题意，找出等量关系：1月日均接待顾客数×1+x2=3月日均接待顾客数，即可列出方程．【详解】解：设该店日均接待顾客的月平均增长率为x，可列方程为：5001+x2=720．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．12．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，设道路宽为x米，则可列方程为（ ）A．32−2x20−x=570 B．32−x20−2x=570C．32−2x20−x=570×6 D．32−3x20−x=570【答案】A【分析】利用平移的知识可知把试验田的形状看成是一个长为（32-2x）m，宽为（20-x）m的长方形，再根据长方形的面积=长×宽，列出方程即可．【详解】解：设道路宽为x米，依题意得：32−2x20−x=570故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．13．（2023·湖南郴州·统考一模）用长4m的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为2425m2，若设它的一边长为xm，根据题意列出关于x的方程为（ ）A．x(4−x)=2425 B．2x(2−x)=2425 C．x(4−2x)=2425 D．x(2−x)=2425【答案】D【分析】本题依题意可知矩形边框的周长为4米，即已知矩形相邻两边的和是2，再结合矩形的面积公式得出答案．【详解】解：依题意得：另一边长=4÷2-x=2-x，∴矩形的面积为：x(2−x)=2425；故选：D．【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要灵活地运用矩形的周长和面积公式对题意进行分析从而列出方程．14．（2023·湖北恩施·校考二模）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共有比赛55场，总共有（ ）支球队参加比赛．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】每个队都要与其余队比赛一场，而两队之间只赛1场．所以等量关系为：队的个数×（队的个数-1）×12=55，把相关数值代入计算即可．【详解】设有x队参加比赛.12x(x−1)=55，(x−11)(x+10)=0，解得x1=11，x2=−10(不合题意，舍去).故选C.15．（2023春·浙江·八年级阶段练习）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（ ）A．1s B．1.2s C．2s D．4s【答案】A【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解．【详解】解：设约用了x秒．汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8，∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．∴（20﹣4x）×x=16，解得：x1=1，x2=4，∵20﹣8x＞0，∴x=1，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值．二、填空题16．（2023秋·上海普陀·八年级校联考期末）某商场八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，若九、十月份营业额的月增长率相同为x，那么由题意可列得方程为_______________________【答案】100(1+x)2=144【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）n，如果平均每月的增长率为x，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均每月的增长率为x，则九月份的营业额为100（1+x），十月份的营业额为100（1+x）2，由此列出方程：100（1+x）2=144．故答案为100(1+x)2=144【点睛】本题主要考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握复利公式：“a（1+x）n=b”，理解公式是解决本题的关键．17．（2023秋·江苏宿迁·九年级开学考试）某农家前年水蜜桃亩产量为800千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程________________.【答案】800（1+x）2=1200.【详解】试题分析：可先表示出去年水蜜桃的亩产量，那么去年水蜜桃的亩产量×（1+增长率）=1200，把相应数值代入即可求解．试题解析：去年水蜜桃的亩产量为800×（1+x），今年水蜜桃的亩产量在去年水蜜桃的亩产量的基础上增加x，为800×（1+x）×（1+x），则列出的方程是800（1+x）2=1200.考点：由实际问题抽象出一元二次方程．18．（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）某件商品原价200元，经过两次降价（每次降价的百分数相同）后，现价162元，每次降价的百分数为x,则可列方程为____________________．【答案】200(1−x)2=162【分析】依据题中每次降价相同，经过两次降价，即可列出一元二次方程．【详解】解：根据题意，每次降价的百分数为x，则可列方程为：200(1−x)2=162，故答案为：200(1−x)2=162．【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．19．（2023春·湖南岳阳·九年级校考期中）已知等腰三角形的一边为3，另两边是方程x2−4x+m=0的两个实根，则m的值为______．【答案】3或4/4或3【分析】此题应该分情况考虑，①若腰是3，②若底是3．结合一元二次方程根与系数的关系，可求出m的值．【详解】①腰是3，则说明方程有一个根是3，设方程的另一根是x，那么有x+3=4，3x=m，解得x=1，那么m=3．②底是3，则说明方程有两个相等的实数根，设这个相等的根是x，那么有2x=4，x2=m，解得x=2，那么m=4．故答案为3或4．【点睛】有两边相等的三角形是等腰三角形；一元二次方程ax2+bx+c=0中，两根x1，x2有如下关系：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．20．（2023秋·四川成都·九年级统考阶段练习）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：___________．【答案】125（1-x）2=80【分析】等量关系为：原价×（1-下降率）2=80，把相关数值代入即可．【详解】解：第一次降价后的价格为125（1-x），第二次降价后的价格为125（1-x）（1-x）=125（1-x）2，则列的方程为125（1-x）2=80，故答案为：125（1-x）2=80．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．21．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，阴影部分的面积为33，得到大正方形的面积为33+16=49，所以x+2+22=49，则该方程的正数解为7−4=3”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x=m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为x=______．【答案】4【分析】根据阴影部分的面积+四个小正方形的面积＝大正方形的面积可得64+32×4=100=x+3+32，计算求解即可．【详解】解：∵阴影部分的面积+四个小正方形的面积＝大正方形的面积，∴64+32×4=100=x+3+32，即100=x+62，解得x1=4，x2=−16（舍去），∴x的正数解为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意并正确运算求解．22．（2022秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2021年底有5G用户20万户，计划到2023年底该市5G用户数累计达到33.8万户，设该市5G用户数年平均增长率为x，则x的值是______．【答案】30%【分析】利用2023年底该市5G用户数=2021年底该市5G用户数×（1+5G用户数年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意得：20（1+x）2=33.8，解得：x1=0.3=30%，x2=-2.3（不合题意，舍去），∴该市5G用户数年平均增长率为30%．故答案为：30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（2023秋·江苏南通·九年级阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则经过三轮传染后共有_______人患流感．【答案】1331.【详解】试题分析：设流感的传染人的增长率为x,根据题意则有：(1+x)2=121，解之得x=11，则经过三轮传染后共有人患上流感.考点：增长率问题.24．（2023秋·全国·九年级统考期中）某公司今年一月份的利润为100万元，三月份的利润下降到81万元，为量化该公司一月份至三月份利润下降的速度，请你提出一个数字问题为________．【答案】该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？【分析】根据公司今年一月份的利润为100万元，三月份的利润下降到81万元，为量化该公司一月份至三月份利润下降的速度，可利用一元二次方程进行解答，据此即可以提出问题．【详解】答案不唯一，如：①该公司三月份利润比一月份下降百分之几？②该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？③若每月利润下降的百分率相同，则四月份的利润为多少？故答案为该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，为开放性试题，答案不唯一．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，提出合适的问题．25．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知一次函数y=−12x+52的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线AB上一点．当∠OCB=45°时，点C的坐标是__________．【答案】（-1，3）或（3，1）【分析】求出点A和点B坐标，过点O作OE⊥AB交于点E，利用面积法求出OE的长，再根据∠OCB=45°，得到OC的长，设C（x，−12x+52），得到关于x的方程，解之，可得点C坐标．【详解】解：由题意可得：令y=−12x+52=0，得x=5，即A（5，0），令x=0，得：y=52，即B（0，52），过点O作OE⊥AB交于点E，则AB=5−02+0−522=552，OA=5，OB=52，∴S△AOB=12×OB×OA=12×AB×OE，即OB×OA=AB×OE，即52×5=552×OE，得OE=5，若∠OCB=45°，则△OEC为等腰直角三角形，∴OC=2OE，设C（x，−12x+52），则OC=x2+−12x+522=54x2+254−52x=2OE=10，解得：x1=−1，x2=3，当x=-1时，y=3，此时C（-1，3），当x=3时，y=1，此时C（3，1），综上：点C的坐标为（-1，3）或（3，1）．【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，面积法，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程，解题的关键是利用坐标与图形的性质，将坐标和线段长度进行转化．三、解答题26．（2022秋·山西·九年级山西实验中学校考期中）商场销售某种商品，进价200元，每件售价250元，平均每天售出30件，经调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．(1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到____________件，每天盈利__________元；(2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2100元？(3)在（2）题条件下，降价后每件商品的利润率是____________．【答案】(1)40；1800(2)降价20元(3)15%【分析】（1）商品售价降价5元时，则现在的售价是250−5=245元，售出30+2×5=40件，每件的利润是245−200=45元，由此即可求解；（2）设每件商品降价x元，则现在售价是(250−x)元，利润是(50−x)元，售出件数是(30+2x)件，利润达到2100元，由此即可求解；（3）根据利润率等于利润除以进价乘以百分之百，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得，现在售出的件数是30+2×5=40，利润是(245−200)×40=45×40=1800元．（2）解：设每件商品降价x元，则现在售价是(250−x)元，利润是(250−x−200)元，售出件数是(30+2x)件，利润达到2100元，∴(250−x−200)(30+2x)=2100，解方程得，x1=20，x2=15，∵为了让顾客得到更多的实惠，∴x=20，即商品降价20元．（3）解：售价是250−20=230元，利润是230−200=30元，∴利润率是30200×100%=15%．【点睛】本题主要考查一元二次方程在销售中的问题，根据题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．27．（2023秋·八年级课时练习）农机厂计划用两年时间把产量提高69%．如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数．【答案】30%.【分析】可设原来的产量为1，等量关系为：原来的产量×(1+增长率）2=原来的产量×(1+69%) ×2，把相关数值代入求得正数解即可．【详解】解：设这个百分数为x，原来的产量为1，依题意有(1+x)2=1+69%，解得x1=0.3=30%，x2=−2.3（不合题意，舍去）．答：这个百分数是30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；根据两年后的产量得到等量关系是解决本题的关键．28．（2023春·浙江·八年级专题练习）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，设南瓜种植面积的增长率为x．(1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______kg（用含x的代数式表示）(2)今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．【答案】(1)101+x，20001+x2(2)100%【分析】（1）南瓜种植面积的增长率为x，去年种植了10亩地的南瓜，可求出南瓜种植面积，南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，则南瓜亩产量的增长率为12x，由此即可求解；（2）去年南瓜亩产量为2000kg，今年南瓜的总产量为60000kg，南瓜亩产量的增长率为12x，由此列出方程，即可求解．【详解】（1）解：去年种植了10亩地的南瓜，南瓜种植面积的增长率为x，∴今年南瓜的种植面积为101+x，∵去年种植南瓜亩产量为2000kg，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，∴南瓜亩产量的增长率是12x，∴今年南瓜亩产量为20001+x2，故答案为：101+x，20001+x2．（2）解：根据题意得：101+x×20001+x2=60000，∴x2+3x−4=0，解方程得，x=1=100%或x=−4=−400%（舍去），∴南瓜亩产量的增长率为100%．【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，掌握题目中的数量关系列方程是解题的关键．29．（2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？【答案】道路的宽应为2米【分析】设道路的宽为x米，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长为100−x米，宽为80−x米的矩形，根据矩形的面积公式列方程并求解即可．【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得：100−x80−x=7644，整理得：x2−180x+356=0，∴x−2x−178=0，解得：x1=2，x2=178，∵100−x>0800−x>0，解得：x<80，∴x=178不合题意，舍去，∴x=2．答∶道路的宽应为2米．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的解法，一元一次不等式组．把修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边，然后利用矩形的面积公式列方程是解答本题的关键．30．（2023·安徽·九年级专题练习）为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；（2）如果每年的增长率相同，预计2018年图书借阅总量是多少本？【答案】(1) 20%,(2) 12960本【详解】试题分析：(1)、首先设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，然后根据增长前的数量×(1+增长率)增长次数=增长后的数量列出一元二次方程，从而得出x的值；(2)、根据增长率求出2018年的数量．试题解析：解：(1)、设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得：7500（1+x）2=10800， 即（1+x）2=1.44， 解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；(2)、10800（1+0.2）=12960（本）．答：预计2018年图书借阅总量是12960本．31．（2023秋·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）参加研讨会的教师每两人握一次手，共握手36次，这次参加研讨会的教师共有多少名？【答案】9人【分析】设参加研讨会的教师有x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x−1）次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有12x（x−1）次，设出未知数列方程解答即可．【详解】设参加研讨会的教师有x人，根据题意列方程得，12x（x−1）＝36，解得x1＝9，x2＝−8（不合题意，舍去）；答：参加研讨会的教师有9人．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，理解：设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x−1）次是关键．32．（2022秋·湖南怀化·九年级统考期末）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个,因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价为多少元？【答案】该商品定价60元．【分析】设每个商品定价x元，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设每个商品定价x元，由题意得：x−40180−10x−52=2000解得x1=50，x2=60 当x=50时，进货180-10（50-52）=200，不符题意，舍去当x=60时，进货180-10（60-52）=100，符合题意．答：当该商品定价60元，进货100个．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数然后列方程求解即可．33．（2023·安徽·九年级专题练习）2014年初，某市开始实施“旧物循环计划”，为旧物品二次利用提供了公益平台，到2014年底，全年回收旧物3万件，随着宣传力度的加大，2016年底全年回收旧物已经达6.75万件，若每年回收旧物的增长率相同．（1）求每年回收旧物的增长率；（2）按着这样的增长速度，请预测2017年全年回收旧物能超过10万件吗？【答案】（1）50%． （2）10万件．【分析】（1）本题考查的是平均增长率问题，设年平均增长率为x，根据题意列出方程即可；（2）根据第一问的平均增长率，求出2017年回收旧物的件数，进行比较即可.【详解】解：（1）设年平均增长率为x， 根据题意得31+x2=6.75． 解得x1=0.5,x2=−2.5（舍去），答：平均增长率为50%． （2）6.75×（1+50%）=10.125万件＞10万件．∴2017年全年回收旧物能超过10万件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解列取是解题关键．34．（2023·重庆·统考中考真题）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了ａ%（其中a>0）.则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%，求ａ的值.【答案】（1）7500元；（2）50.【详解】试题分析：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000-x）元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式求解即可；（2）根据“自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%，且总集资额为20000元”列出方程求解即可．试题解析：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000-x）元，根据题意得：30000-x≥3x，解得：x≤7500．答：最多用7500元购买书桌、书架等设施；（2）根据题意得：200（1+a%）×150（1-109a%）=20000整理得：a2+10a-3000=0，解得：a=50或a=-60（舍去），所以a的值是50．考点：1.一元二次方程的应用;2.一元一次不等式的应用.35．（2023秋·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）2020鼠年伊始，新冠病毒肆虐全球，在以习近平为核心的党中央的英明领导下，我国的疫情很快得到了控制．为了更好的保护人民，党中央决定免费为全国人民接种疫苗，康心医院成为我市定点疫苗接种医院．（1）已知在康心医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共2900支，两种疫苗每天按定量接种．其中，“智飞”疫苗可供接种5天，“科兴”疫苗可供接种3天，“智飞”疫苗每天接种的数量比“科兴”多100支，则康心医院每天接种“智飞”疫苗多少支？（2）投放第二批疫苗时，预计两种疫苗每日投放虽均为400支，且均投放m天，实际上“智飞”疫苗每日投放量比预计每日投放量少2a支，投放天数比预计天数多2a%，“科兴”疫苗实际每日投放量和预计每日投放量一样，投放天数比预计天数少a%，则第二批疫苗实际投放总量比预计投放总量提高3%，若a<25，求a的值．【答案】（1）400；（2）20【分析】（1）设康心医院每天接种“智飞”疫苗x支，则每天接种“科兴”疫苗（x-100）支，根据“两种疫苗共2900支”列出方程，解方程即可求解；（2）根据“第二批疫苗实际投放总量比预计投放总量提高3%”列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）设康心医院每天接种“智飞”疫苗x支，则每天接种“科兴”疫苗（x-100）支，由题意可得，5x+3（x-100）=2900，解得，x=400，∴康心医院每天接种“智飞”疫苗400支．答：康心医院每天接种“智飞”疫苗400支．（2）由题意可知，“智飞”疫苗实际每日投放量为（400-2a）支，实际投放天数为（1+2a%）m天，“科兴”疫苗实际每日投放量为400支，实际投放天数为（1-a%）m天，∴（400-2a）（1+2a%）m+400（1-a%）m=（400m+400m）（1+3%），整理得，a2−50a+600=0，解得，a=20或a=30，∵a<25，∴a=20．答：a的值为20．【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程的应用，根据题目中的等量关系正确列出方程是解决问题的关键．
专题03 实际问题与一元二次方程 考点类型 知识串讲（一）列方程解应用题的步骤（1）审题；（2）找等量关系；（3）设未知数；（4）列方程；（5）解方程；（6）检验；（7）写出答案．（二）一元二次方程实际问题常见类型（1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）（2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数（3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。（4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。（5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） 考点训练考点1：单双循环问题典例1：（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）初二年级进行篮球比赛，每个班都与其他班级比赛一场，共进行36场比赛，那么初二年级共有_________个班级．【变式1】（2023春·八年级单元测试）毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相约到某礼品店购买礼品，每两个同学都相互赠送一件礼品，共购买礼品30件，设该数学兴趣小组有x人，根据题意，可列方程为 _____________．【变式2】（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，参加比赛的队伍共有______支．【变式3】（2023秋·广东深圳·九年级阶段练习）要组织一场篮球赛，参赛的每两个队之间赛一场，每天进行4场，赛程安排9天，组织者共邀请 _____支篮球队参赛．考点2：传播、传染问题典例2：（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）春季流感病毒传播速度快，我们要做好预防．如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了__________人．【变式1】（2023秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出_____个小分支．【变式2】（2022秋·广东惠州·九年级校考期末）有两人患了流感，经过两轮传染后共有288人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为_____．【变式3】（2023春·安徽·九年级阶段练习）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．考点3：增长率问题典例3：（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意列出方程_______【变式1】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）某厂一月份产值为2万元，以后每月产值的增长率都为x，且第一季度总产值为10万元，那么可以列出方程是__________．【变式2】（2023春·山东临沂·九年级校考阶段练习）某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，现连续两次降价处理，共降价64元后出售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为___________．【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.38万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为___________；预计按此平均增长率，到今年（2022）底全市5G用户数累计达到___________户．（用科学记数法表示）考点4：几何面积问题典例4：（2022春·广西梧州·八年级校考期中）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是 ___________米．【变式1】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子（铁皮厚度忽略不计），且此长方体箱子的底面长比宽多2m，求该长方体的底面宽．设该长方体的底面宽为xm，请列出关于x的方程___________．【变式2】（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x=14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x．根据此法，图中正方形ABCD的面积是________．【变式3】（2023·浙江衢州·统考一模）如图，有一张长方形桌子的桌面长130cm，宽60cm．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为xcm，则可列出x满足的方程为______．（不必化简）考点5：销售利润问题典例5：（2023秋·河北石家庄·九年级校考期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少___________？（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价___________元时，商场日盈利可达到2000元．【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每上涨1元，销售量减少10个，商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设涨价x元，可列方程为___________．【变式2】（2022秋·九年级课时练习）某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为__________________．【变式3】（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则一株的盈利为 ________元，可列出的方程是______________________．考点6：动态几何问题典例6：（2023春·八年级单元测试）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？ 【变式1】（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．(1)用含t的式子表示线段的长：CQ=__________；PB=__________．(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？(3)当t为何值时，四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．【变式2】（2022春·八年级课时练习）距台风中心200km的区域（包括边界）为受台风影响区．如图，如果轮船不改变航向，会进入台风影响区吗？【变式3】（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为xs，求：(1)当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；(2)当x为何值时，△PBQ的面积为5cm2；(3)当x为何值时，△PDQ为等腰三角形．考点7：古代文化问题典例7：（2022春·江苏南通·八年级统考期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步?若设宽为x步，则根据题意可列方程为_________．【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __．【变式2】（2022秋·甘肃·九年级校考期末）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，（如图）题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为_______尺，根据题意列方程为________．【变式3】（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）《九章算术）是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少？（1丈=10尺）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为___________（将方程化简并写成一般形式）． 同步过关一、单选题1．（2023秋·山东德州·九年级校考期中）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制分为主场、客场交替进行，共进行了72场比赛，若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为（ ）A．12 x（x+1）=72 B．x（x+1）=72 C．12x（x-1）=72 D．x（x-1）=722．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商品经过两次连续涨价，由原来的每件10元上涨为现在的14.4元，设平均每次涨价的百分比为x，则可列方程（ ）A．14.41−x2=10 B．101+2x=14.4C．14.41−2x=10 D．101+x2=14.43．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考阶段练习）某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（ ）．A．2981−x2=268 B．2981+x2=268C．2981−2x=268 D．2981−x2=2684．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期末）九（1）班数学兴趣小组的同学在元旦时互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小强统计出全组共互送了72张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为( ）A．x(x−1)=72 B．xx−1=2×72C．2xx−1=72 D．x(x＋1)=725．（2023·安徽·九年级专题练习）2018年一季度，华为某销公营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程( )A．2x=22%+30% B．1+x2=1+22%+30%C．1+2x=1+22%1+30% D．1+x2=1+22%1+30%6．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期末）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）A．60x2=48.6 B．601−x2=48.6 C．601+x2=48.6 D．601−2x=48.67．（2022秋·广西来宾·九年级统考期末）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）A．601+x2=48.6 B．48.61+x2=60 C．601−x2=48.6 D．48.61−x2=608．（2023秋·九年级课时练习）某产品，原来每件的成本价是500元，若每件售价625元，则每件利润率是 .A．12% B．25% C．30% D．50%9．（2022秋·广西河池·九年级统考期中）某校九年组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两个班之间都赛一场，共需安排28场比赛，九年级班级个数为（ ）A．6 B．7 C．8 D．910．（2023秋·山东潍坊·九年级统考期末）某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%，则平均每次的降价率为（ ）A．30% B．40% C．50% D．51%11．（2023春·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考阶段练习）通过抖音等自媒体的宣传，重庆某火锅店生意日渐兴隆，今年1月日均接待顾客500人，3月日均接待顾客720人，设该店日均接待顾客的月平均增长率为x，根据题意下列方程正确的是（ ）A．5001−2x=720 B．5001+2x=720C．7201−x2=500 D．5001+x2=72012．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，设道路宽为x米，则可列方程为（ ）A．32−2x20−x=570 B．32−x20−2x=570C．32−2x20−x=570×6 D．32−3x20−x=57013．（2023·湖南郴州·统考一模）用长4m的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为2425m2，若设它的一边长为xm，根据题意列出关于x的方程为（ ）A．x(4−x)=2425 B．2x(2−x)=2425 C．x(4−2x)=2425 D．x(2−x)=242514．（2023·湖北恩施·校考二模）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共有比赛55场，总共有（ ）支球队参加比赛．A．9 B．10 C．11 D．1215．（2023春·浙江·八年级阶段练习）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（ ）A．1s B．1.2s C．2s D．4s二、填空题16．（2023秋·上海普陀·八年级校联考期末）某商场八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，若九、十月份营业额的月增长率相同为x，那么由题意可列得方程为_______________________17．（2023秋·江苏宿迁·九年级开学考试）某农家前年水蜜桃亩产量为800千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程________________.18．（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）某件商品原价200元，经过两次降价（每次降价的百分数相同）后，现价162元，每次降价的百分数为x,则可列方程为____________________．19．（2023春·湖南岳阳·九年级校考期中）已知等腰三角形的一边为3，另两边是方程x2−4x+m=0的两个实根，则m的值为______．20．（2023秋·四川成都·九年级统考阶段练习）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：___________．21．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，阴影部分的面积为33，得到大正方形的面积为33+16=49，所以x+2+22=49，则该方程的正数解为7−4=3”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x=m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为x=______．22．（2022秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2021年底有5G用户20万户，计划到2023年底该市5G用户数累计达到33.8万户，设该市5G用户数年平均增长率为x，则x的值是______．23．（2023秋·江苏南通·九年级阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则经过三轮传染后共有_______人患流感．24．（2023秋·全国·九年级统考期中）某公司今年一月份的利润为100万元，三月份的利润下降到81万元，为量化该公司一月份至三月份利润下降的速度，请你提出一个数字问题为________．25．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知一次函数y=−12x+52的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线AB上一点．当∠OCB=45°时，点C的坐标是__________．三、解答题26．（2022秋·山西·九年级山西实验中学校考期中）商场销售某种商品，进价200元，每件售价250元，平均每天售出30件，经调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．(1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到____________件，每天盈利__________元；(2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2100元？(3)在（2）题条件下，降价后每件商品的利润率是____________．27．（2023秋·八年级课时练习）农机厂计划用两年时间把产量提高69%．如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数．28．（2023春·浙江·八年级专题练习）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，设南瓜种植面积的增长率为x．(1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______kg（用含x的代数式表示）(2)今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．29．（2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？30．（2023·安徽·九年级专题练习）为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；（2）如果每年的增长率相同，预计2018年图书借阅总量是多少本？31．（2023秋·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）参加研讨会的教师每两人握一次手，共握手36次，这次参加研讨会的教师共有多少名？32．（2022秋·湖南怀化·九年级统考期末）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个,因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价为多少元？33．（2023·安徽·九年级专题练习）2014年初，某市开始实施“旧物循环计划”，为旧物品二次利用提供了公益平台，到2014年底，全年回收旧物3万件，随着宣传力度的加大，2016年底全年回收旧物已经达6.75万件，若每年回收旧物的增长率相同．（1）求每年回收旧物的增长率；（2）按着这样的增长速度，请预测2017年全年回收旧物能超过10万件吗？34．（2023·重庆·统考中考真题）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了ａ%（其中a>0）.则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%，求ａ的值.35．（2023秋·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）2020鼠年伊始，新冠病毒肆虐全球，在以习近平为核心的党中央的英明领导下，我国的疫情很快得到了控制．为了更好的保护人民，党中央决定免费为全国人民接种疫苗，康心医院成为我市定点疫苗接种医院．（1）已知在康心医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共2900支，两种疫苗每天按定量接种．其中，“智飞”疫苗可供接种5天，“科兴”疫苗可供接种3天，“智飞”疫苗每天接种的数量比“科兴”多100支，则康心医院每天接种“智飞”疫苗多少支？（2）投放第二批疫苗时，预计两种疫苗每日投放虽均为400支，且均投放m天，实际上“智飞”疫苗每日投放量比预计每日投放量少2a支，投放天数比预计天数多2a%，“科兴”疫苗实际每日投放量和预计每日投放量一样，投放天数比预计天数少a%，则第二批疫苗实际投放总量比预计投放总量提高3%，若a<25，求a的值． 专题03 实际问题与一元二次方程 考点类型 知识串讲（一）列方程解应用题的步骤（1）审题；（2）找等量关系；（3）设未知数；（4）列方程；（5）解方程；（6）检验；（7）写出答案．（二）一元二次方程实际问题常见类型（1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）（2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数（3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。（4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。（5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） 考点训练考点1：单双循环问题典例1：（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）初二年级进行篮球比赛，每个班都与其他班级比赛一场，共进行36场比赛，那么初二年级共有_________个班级．【答案】9【分析】设这个学校初二年级共有x个班级，根据该校初二年级共进行了36场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这个学校初二年级共有x个班级，依题意得：12xx−1=36，整理得：x2−x−72=0，解得：x1=9，x2=−8（x=−8不符合题意，舍去）．答：这个学校初二年级共有9个班级．故答案为：9．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式1】（2023春·八年级单元测试）毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相约到某礼品店购买礼品，每两个同学都相互赠送一件礼品，共购买礼品30件，设该数学兴趣小组有x人，根据题意，可列方程为 _____________．【答案】xx−1=30【分析】由题意，列出一元二次方程即可得到答案．【详解】解：设该数学兴趣小组有x人，根据题意得xx−1=30，故答案为：xx−1=30．【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用题，根据题意建立等量关系是解题的关键．【变式2】（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，参加比赛的队伍共有______支．【答案】10【分析】设有x支队伍，根据题意，得12x(x−1)=45，解方程即可．【详解】解：设有x支队伍，根据题意，得12x(x−1)=45 ，解方程，得x1=10 ，x2=−9 （舍去）故答案为：10【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【变式3】（2023秋·广东深圳·九年级阶段练习）要组织一场篮球赛，参赛的每两个队之间赛一场，每天进行4场，赛程安排9天，组织者共邀请 _____支篮球队参赛．【答案】9【分析】设组织者共邀请x支篮球队参赛，根据题意列出方程进行求解即可．【详解】解：设组织者共邀请x支篮球队参赛，依题意得：12x（x−1）=4×9，整理得：x2−x−72=0 ，解得：x1=9，x2=−8 （不符合题意，舍去），∴组织者共邀请9支篮球队参赛．故答案为：9．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意正确的列出方程是解题的关键．考点2：传播、传染问题典例2：（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）春季流感病毒传播速度快，我们要做好预防．如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了__________人．【答案】15【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程，解方程即可求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：1+x+x(1+x)=256，即(1+x)2=256解得：x1=15，x2=−17(舍去)故答案为：15．【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，根据题意正确列出方程是解题的关键．【变式1】（2023秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出_____个小分支．【答案】10【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是111，列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得，1+x+x×x=111即x2+x−110=0，x−10x+11=0解得：x1=10,x2=−11（舍去）故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式2】（2022秋·广东惠州·九年级校考期末）有两人患了流感，经过两轮传染后共有288人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为_____．【答案】2+2x+x2+2x=288【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后患流感的人数是：2+2x，第二轮传染后患流感的人数是：2+2x+x2+2x，而已知经过两轮传染后共有288人患了流感，则可得方程：2+2x+x2+2x=288．故答案为：2+2x+x2+2x=288．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．【变式3】（2023春·安徽·九年级阶段练习）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．【答案】12【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意，得：1+x+x2=157，解得：x1=12，x2=−13(不合题意，舍去)．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．考点3：增长率问题典例3：（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意列出方程_______【答案】4001+x2=625【分析】设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据“第一年植树400棵，第三年植树625棵”列出方程，即可求解．【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得：4001+x2=625．故答案为：4001+x2=625【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【变式1】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）某厂一月份产值为2万元，以后每月产值的增长率都为x，且第一季度总产值为10万元，那么可以列出方程是__________．【答案】2+21+x+21+x2=10【分析】由题意可求出二月份产值为21+x万元，三月份产值为21+x2万元．再根据第一季度总产值为10万元即可列出方程．【详解】由题意可求出二月份产值为21+x万元，∴三月份产值为21+x2万元．∵第一季度总产值为10万元，∴可以列出方程是2+21+x+21+x2=10．故答案为：2+21+x+21+x2=10．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．【变式2】（2023春·山东临沂·九年级校考阶段练习）某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，现连续两次降价处理，共降价64元后出售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为___________．【答案】20%【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解．【详解】解：设每次降价的百分率为x，依题意得，1001−x2=64，解得：x1=0.2=20%,x2=1.8（舍去），故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.38万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为___________；预计按此平均增长率，到今年（2022）底全市5G用户数累计达到___________户．（用科学记数法表示）【答案】 30% 4.394×104【分析】先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底5G用户的数量，然后根据题意即可得关于x的方程，解方程即得答案．【详解】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意，得：21+x2=3.38，解这个方程，得：x1=0.3=30%，x2=−2.3（不合题意，舍去）．∴x的值为30%．∴2022年底全市5G用户数=3.38×104×1+30%=4.394×104故答案为：30%；4.394×104．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．考点4：几何面积问题典例4：（2022春·广西梧州·八年级校考期中）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是 ___________米．【答案】2【分析】设人行道的宽度为x米，根据两块相同的矩形绿地的面积之和为56平方米，列出一元二次方程，再求解方程即可得出答案．【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得：20−3x8−2x=56，整理得，3x2−32x+52=0，解得：x1=2，x2=263（不合题意，舍去），即：人行通道的宽度是2米．故答案是：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系正确列出方程是解题的关键．【变式1】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子（铁皮厚度忽略不计），且此长方体箱子的底面长比宽多2m，求该长方体的底面宽．设该长方体的底面宽为xm，请列出关于x的方程___________．【答案】x2+2x=15【分析】表示出长方体运输箱底面的宽为xm，则长为x+2m，由围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，列方程即可．【详解】解：长方体运输箱底面的宽为xm，则长为x+2m．由题意得xx+2×1=15，即x2+2x=15．故答案为：x2+2x=15．【点睛】此题考查由实际问题列一元二次方程，利用长方体的体积计算公式来解决问题．【变式2】（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x=14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x．根据此法，图中正方形ABCD的面积是________．【答案】81【分析】通过解方程求得x的值；然后利用正方形的面积公式得到(x+x+5)2，代入求值即可．【详解】解：由x2+5x=14得到：(x+52)2=814．解得：x1=2,x2=−7（负值舍去），所以正方形ABCD的面积=(x+x+5)2=(4+5)2=81，故答案为：81．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．【变式3】（2023·浙江衢州·统考一模）如图，有一张长方形桌子的桌面长130cm，宽60cm．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为xcm，则可列出x满足的方程为______．（不必化简）【答案】130+2x60+2x=2×130×60【分析】设各边垂下的长度为x cm，则台布的长为(130+2x)cm，宽为(60+2x)cm，根据台布的面积是桌面面积的2倍．即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设各边垂下的长度为x cm，则台布的长为(130+2x)cm，宽为(60+2x)cm，依题意，得：130+2x60+2x=2×130×60，故答案为：130+2x60+2x=2×130×60．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．考点5：销售利润问题典例5：（2023秋·河北石家庄·九年级校考期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少___________？（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价___________元时，商场日盈利可达到2000元．【答案】 1692 25【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；（2）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．【详解】解：（1）当天盈利：50−3×30+2×3=1692（元）；故答案为：1692．（2）设每件商品降价x元，根据题意，得：50−x30+2x=2000，整理，得：x2−35x+250=0，解得：x1=10，x2=25，∵商城要尽快减少库存，∴x=25．故答案为：25．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每上涨1元，销售量减少10个，商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设涨价x元，可列方程为___________．【答案】(12+x)(180−10x)=2000【分析】由涨价x元，可表示出减少的销售量、实际的销售量及实际销售价，从而可表示出利润，根据利润列出方程即可．【详解】涨价x元，则可减少销售量为10x个，实际销售量为(180−10x)个，实际销售价为(52+x)元，则所获利润为(52+x−40)(180−10x)元，由题意得：(12+x)(180−10x)=2000，故答案为：(12+x)(180−10x)=2000．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是理解题意，表示出涨价后的销量、价格及利润，由等量关系列出方程．【变式2】（2022秋·九年级课时练习）某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为__________________．【答案】（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450【分析】首先设每件应降价x元，利用销售量×每件利润＝450元列出方程．【详解】解：设设每件应降价x元，则每件定价为（30﹣x）元，根据题意，得：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450，故答案是：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每件利润，再列出方程．【变式3】（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则一株的盈利为 ________元，可列出的方程是______________________．【答案】 4−0.5x 4−0.5x3+x=15【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x＋3）株，得出平均单株盈利为（4−0.5x）元，由题意得（x＋3）（4−0.5x）＝15即可．【详解】解：设每盆应该多植x株，则一株的盈利为（4−0.5x），由题意得（3＋x）（4−0.5x）＝15，故答案为：（4−0.5x），（3＋x）（4−0.5x）＝15．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．考点6：动态几何问题典例6：（2023春·八年级单元测试）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？ 【答案】经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于8cm2【分析】设经过t秒钟，△PBQ的面积等于8cm2，则AP=t，BQ=2t，PB=6−t，根据S△PBQ=12×PB×BQ=12×6−t×2t=8，计算求解满足要求的t值即可．【详解】解：设经过t秒钟，△PBQ的面积等于8cm2，∴AP=t，BQ=2t，PB=6−t，∴S△PBQ=12×PB×BQ=12×6−t×2t=8，整理得，t2−6t+8=0，∴t−2t−4=0，令t−2=0，t−4=0，解得t1=2，t2=4，∴经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于8cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的列一元二次方程．【变式1】（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．(1)用含t的式子表示线段的长：CQ=__________；PB=__________．(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？(3)当t为何值时，四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)2tcm，15−3tcm(2)P、Q出发0.6和5.4秒时，P，Q间的距离是13cm(3)P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）可通过构建直角三角形来求解．过Q作QM⊥AB于M，如果设出发t秒后，QP=13cm．那么可根据路程=速度×时间，用未知数表示出PM的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知数的值．（3）利用矩形的性质得出当AP=DQ时，四边形APQD为矩形求出即可【详解】（1）解：由题意得：CQ=2tcm,AP=3tcm，∵AB=15cm，∴PB=15−3tcm；故答案为2tcm，15−3tcm；（2）解：设出发t秒后P、Q两点间的距离是13cm．则AP=3t，CQ=2t，作QM⊥AB于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=ABC=90°，∴四边形QMBC是矩形，∴∠QMP=90°,QM=BC=5cm，∴PM=15−2t−3t=15−5t，由勾股定理得：(15−5t)2+52=132，解得：t=0.6或t=5.4，答：P、Q出发0.6和5.4秒时，P，Q间的距离是13cm；（3）解：四边形APDQ的形状有可能为矩形；理由如下：当四边形APQD为矩形，则AP=DQ，即3t=15−2t，解得：t=3．答：当P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，本题结合几何知识并根据题意列出方程是解题的关键．【变式2】（2022春·八年级课时练习）距台风中心200km的区域（包括边界）为受台风影响区．如图，如果轮船不改变航向，会进入台风影响区吗？【答案】如果轮船不改变航向，会进入台风影响区．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再设当轮船接到报警后经过t小时受到台风影响，根据勾股定理列出关于t的方程，根据根的判别式即可判断．【详解】解：轮船会受到台风影响．如图，∵BC=500km，BA=300km，∴AC=5002−3002=400km．设当轮船接到报警后经过t小时后，轮船到达点D，台风到达点E，由勾股定理得：400−30t2+300−20t2=2002，整理得13t2−360t+2100=0，Δ=−3602−4×13×2100=20400>0，方程有两个不相等的实数解，∴如果轮船不改变航向，会进入台风影响区．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，一元二次方程根的判别式的应用，正确的理解题意是解题的关键．【变式3】（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为xs，求：(1)当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；(2)当x为何值时，△PBQ的面积为5cm2；(3)当x为何值时，△PDQ为等腰三角形．【答案】(1)当x=2时，△PBQ是等腰三角形(2)x为1或5时，△PBQ的面积为5cm2(3)x为8−213或613−18时，△PDQ是等腰三角形【分析】（1）由题意得AP=xcm，BQ=2xcm，得BP=(6−x)cm，CQ=(12−2x)cm，当△PBQ为等腰三角形时，BP=BQ，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据题意，分两种情况：①当DP=DQ时，在Rt△APD和Rt△CDQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当QP=DQ时，在Rt△BPQ和Rt△CDQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6cm，AD=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=90°，根据题意得：AP=xcm，BQ=2xcm，∴BP=(6−x)cm，CQ=(12−2x)cm，当△PBQ为等腰三角形时，BP=BQ，∴6−x=2x，解得：x=2，即当x=2时，△PBQ是等腰三角形；（2）解：由题意得：126−x⋅2x=5，整理得：x2−6x+5=0，解得：x1=1，x2=5，答：当x为1或5时，△PBQ的面积为5cm2；（3）解：根据题意，分两种情况：①当DP=DQ时，如图1所示：在Rt△APD和Rt△CDQ中，由勾股定理得：DP2=x2+122，DQ2=62+12−2x2，∴x2+122=62+12−2x2，解得：x=8−213或x=8+213（不合题意舍去），∴x=8−213；②当QP=DQ时，如图2所示：在Rt△BPQ和Rt△CDQ中，PQ2=6−x2+2x2，DQ2=62+12−2x2，∴6−x2+2x2=62+12−2x2，解得：x=613−18或x=−613−18（不合题意舍去），∴x=613−18．综上所述，当x为8−213或613−18时，△PDQ是等腰三角形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．考点7：古代文化问题典例7：（2022春·江苏南通·八年级统考期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步?若设宽为x步，则根据题意可列方程为_________．【答案】x（60-x）＝864【分析】由宽和长共六十步，可得出长为（60-x）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设宽为x步，则长为（60-x）步，根据题意得：x（60-x）＝864．故答案为：x（60-x）＝864．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准题目中的等量关系，是解题的关键．【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __．【答案】492【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t−10)步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其正值代入3t中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t−10)步，则依题意得：102+(3t)2=(7t−10)2，整理得：40t2−140t=0，解得：t1=72，t2=0（不合题意，舍去），∴7t=7×72=492，即甲走的步数是492，故答案为：492．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式2】（2022秋·甘肃·九年级校考期末）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，（如图）题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为_______尺，根据题意列方程为________．【答案】 （x+1）； x2+52=x+12.【详解】试题分析：设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为（x+1）尺，根据题意列方程为x2+52=x+12.故答案为（x+1），x2+52=x+12.考点：由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用．【变式3】（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）《九章算术）是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少？（1丈=10尺）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为___________（将方程化简并写成一般形式）．【答案】x2−6x−32=0【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：由题可知 1丈= 10尺，门的对角线距离恰好为1丈，∴门的对角线距离恰好为10尺，∵高比宽多6尺，设门高 AB为x尺，∴BC=x−6尺，∴可列方程为：x2+x−62=102，整理得：x2−6x−32=0故答案为：x2−6x−32=0．【点睛】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可． 同步过关一、单选题1．（2023秋·山东德州·九年级校考期中）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制分为主场、客场交替进行，共进行了72场比赛，若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为（ ）A．12 x（x+1）=72 B．x（x+1）=72 C．12x（x-1）=72 D．x（x-1）=72【答案】D【分析】根据题意，注意区分交替进行比赛，还是单循环进行比赛，再列式．【详解】题中说交替进行比赛，即每支球队都要参与(x−1)场比赛，所以总共进行x(x−1)场，结合题意得x(x−1)=72，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，注意区分是单循环赛制还是交替进行是解决问题的关键．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商品经过两次连续涨价，由原来的每件10元上涨为现在的14.4元，设平均每次涨价的百分比为x，则可列方程（ ）A．14.41−x2=10 B．101+2x=14.4C．14.41−2x=10 D．101+x2=14.4【答案】D【分析】设平均每次涨价的百分率为x，则等量关系为：原价×(1+x)2=现价，据此列方程．【详解】解：设平均每次涨价的百分比为x，则可列方程10(1+x)2=14.4，故选：D．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2)，增长后的量为b，则有表达式a(1+x)n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．3．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考阶段练习）某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（ ）．A．2981−x2=268 B．2981+x2=268C．2981−2x=268 D．2981−x2=268【答案】D【分析】根据该商品的原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：298（1-x）2=268．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期末）九（1）班数学兴趣小组的同学在元旦时互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小强统计出全组共互送了72张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为( ）A．x(x−1)=72 B．xx−1=2×72C．2xx−1=72 D．x(x＋1)=72【答案】A【分析】根据题意，每个同学可送出x−1张贺年卡，据此可列出方程．【详解】解：设数学兴趣小组人数为x人，根据题意，得x(x−1)=72，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．5．（2023·安徽·九年级专题练习）2018年一季度，华为某销公营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程( )A．2x=22%+30% B．1+x2=1+22%+30%C．1+2x=1+22%1+30% D．1+x2=1+22%1+30%【答案】D【分析】利用两种方法算出2019年第一季度的收入，因所得结果是一致的，进而得出等式即可．【详解】解：如果2017年第一季度收入为a，则根据题意2019年第一季度的收入为：a（1+22%）（1+30%），设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，根据题意又可得2019年第一季度收入为：a1+x2，此2种方式结果一样，可得：a（1+22%）（1+30%）=a1+x2，即1+x2=1+22%1+30%，故选择：D.【点睛】此题主要考查了根据实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．6．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期末）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）A．60x2=48.6 B．601−x2=48.6 C．601+x2=48.6 D．601−2x=48.6【答案】B【分析】根据等量关系：原价×（1－x）2=现价列方程即可．【详解】解：根据题意，得：601−x2=48.6，故答案为：B．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解答的关键．7．（2022秋·广西来宾·九年级统考期末）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）A．601+x2=48.6 B．48.61+x2=60C．601−x2=48.6 D．48.61−x2=60【答案】C【分析】根据降价后的价格=原价×（1－降价率），列出方程；【详解】解：第一次降价后价格为：60×（1－x），第二次降价后价格为：60×（1－x）（1－x）=48.6，即601−x2=48.6，故选：C；【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，根据降价计算方式列出等量关系．8．（2023秋·九年级课时练习）某产品，原来每件的成本价是500元，若每件售价625元，则每件利润率是 .A．12% B．25% C．30% D．50%【答案】B【详解】根据利润率=利润÷成本可得，这件产品的利润率为625−500500=125500=25% ，故选B.9．（2022秋·广西河池·九年级统考期中）某校九年组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两个班之间都赛一场，共需安排28场比赛，九年级班级个数为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】设九年级有x个班，利用比赛的总场数=九年级的班级数×（九年级的班级数−1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．【分析】解：设九年级有x个班，根据题意得：12xx−1=28，整理得：x2−x−56=0，解得：x1=8，x2=−7（不符合题意，舍去），∴九年级有8个班，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2023秋·山东潍坊·九年级统考期末）某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%，则平均每次的降价率为（ ）A．30% B．40% C．50% D．51%【答案】A【分析】根据数量关系：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．【详解】设原价为100，平均每次降价率是x，根据题意得：100（1-x）2=49，解得：x=310=30%或x=1710（舍去）．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格．11．（2023春·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考阶段练习）通过抖音等自媒体的宣传，重庆某火锅店生意日渐兴隆，今年1月日均接待顾客500人，3月日均接待顾客720人，设该店日均接待顾客的月平均增长率为x，根据题意下列方程正确的是（ ）A．5001−2x=720 B．5001+2x=720C．7201−x2=500 D．5001+x2=720【答案】D【分析】根据题意，找出等量关系：1月日均接待顾客数×1+x2=3月日均接待顾客数，即可列出方程．【详解】解：设该店日均接待顾客的月平均增长率为x，可列方程为：5001+x2=720．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．12．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，设道路宽为x米，则可列方程为（ ）A．32−2x20−x=570 B．32−x20−2x=570C．32−2x20−x=570×6 D．32−3x20−x=570【答案】A【分析】利用平移的知识可知把试验田的形状看成是一个长为（32-2x）m，宽为（20-x）m的长方形，再根据长方形的面积=长×宽，列出方程即可．【详解】解：设道路宽为x米，依题意得：32−2x20−x=570故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．13．（2023·湖南郴州·统考一模）用长4m的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为2425m2，若设它的一边长为xm，根据题意列出关于x的方程为（ ）A．x(4−x)=2425 B．2x(2−x)=2425 C．x(4−2x)=2425 D．x(2−x)=2425【答案】D【分析】本题依题意可知矩形边框的周长为4米，即已知矩形相邻两边的和是2，再结合矩形的面积公式得出答案．【详解】解：依题意得：另一边长=4÷2-x=2-x，∴矩形的面积为：x(2−x)=2425；故选：D．【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要灵活地运用矩形的周长和面积公式对题意进行分析从而列出方程．14．（2023·湖北恩施·校考二模）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共有比赛55场，总共有（ ）支球队参加比赛．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】每个队都要与其余队比赛一场，而两队之间只赛1场．所以等量关系为：队的个数×（队的个数-1）×12=55，把相关数值代入计算即可．【详解】设有x队参加比赛.12x(x−1)=55，(x−11)(x+10)=0，解得x1=11，x2=−10(不合题意，舍去).故选C.15．（2023春·浙江·八年级阶段练习）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（ ）A．1s B．1.2s C．2s D．4s【答案】A【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解．【详解】解：设约用了x秒．汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8，∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．∴（20﹣4x）×x=16，解得：x1=1，x2=4，∵20﹣8x＞0，∴x=1，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值．二、填空题16．（2023秋·上海普陀·八年级校联考期末）某商场八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，若九、十月份营业额的月增长率相同为x，那么由题意可列得方程为_______________________【答案】100(1+x)2=144【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）n，如果平均每月的增长率为x，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均每月的增长率为x，则九月份的营业额为100（1+x），十月份的营业额为100（1+x）2，由此列出方程：100（1+x）2=144．故答案为100(1+x)2=144【点睛】本题主要考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握复利公式：“a（1+x）n=b”，理解公式是解决本题的关键．17．（2023秋·江苏宿迁·九年级开学考试）某农家前年水蜜桃亩产量为800千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程________________.【答案】800（1+x）2=1200.【详解】试题分析：可先表示出去年水蜜桃的亩产量，那么去年水蜜桃的亩产量×（1+增长率）=1200，把相应数值代入即可求解．试题解析：去年水蜜桃的亩产量为800×（1+x），今年水蜜桃的亩产量在去年水蜜桃的亩产量的基础上增加x，为800×（1+x）×（1+x），则列出的方程是800（1+x）2=1200.考点：由实际问题抽象出一元二次方程．18．（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）某件商品原价200元，经过两次降价（每次降价的百分数相同）后，现价162元，每次降价的百分数为x,则可列方程为____________________．【答案】200(1−x)2=162【分析】依据题中每次降价相同，经过两次降价，即可列出一元二次方程．【详解】解：根据题意，每次降价的百分数为x，则可列方程为：200(1−x)2=162，故答案为：200(1−x)2=162．【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．19．（2023春·湖南岳阳·九年级校考期中）已知等腰三角形的一边为3，另两边是方程x2−4x+m=0的两个实根，则m的值为______．【答案】3或4/4或3【分析】此题应该分情况考虑，①若腰是3，②若底是3．结合一元二次方程根与系数的关系，可求出m的值．【详解】①腰是3，则说明方程有一个根是3，设方程的另一根是x，那么有x+3=4，3x=m，解得x=1，那么m=3．②底是3，则说明方程有两个相等的实数根，设这个相等的根是x，那么有2x=4，x2=m，解得x=2，那么m=4．故答案为3或4．【点睛】有两边相等的三角形是等腰三角形；一元二次方程ax2+bx+c=0中，两根x1，x2有如下关系：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．20．（2023秋·四川成都·九年级统考阶段练习）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：___________．【答案】125（1-x）2=80【分析】等量关系为：原价×（1-下降率）2=80，把相关数值代入即可．【详解】解：第一次降价后的价格为125（1-x），第二次降价后的价格为125（1-x）（1-x）=125（1-x）2，则列的方程为125（1-x）2=80，故答案为：125（1-x）2=80．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．21．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，阴影部分的面积为33，得到大正方形的面积为33+16=49，所以x+2+22=49，则该方程的正数解为7−4=3”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x=m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为x=______．【答案】4【分析】根据阴影部分的面积+四个小正方形的面积＝大正方形的面积可得64+32×4=100=x+3+32，计算求解即可．【详解】解：∵阴影部分的面积+四个小正方形的面积＝大正方形的面积，∴64+32×4=100=x+3+32，即100=x+62，解得x1=4，x2=−16（舍去），∴x的正数解为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意并正确运算求解．22．（2022秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2021年底有5G用户20万户，计划到2023年底该市5G用户数累计达到33.8万户，设该市5G用户数年平均增长率为x，则x的值是______．【答案】30%【分析】利用2023年底该市5G用户数=2021年底该市5G用户数×（1+5G用户数年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意得：20（1+x）2=33.8，解得：x1=0.3=30%，x2=-2.3（不合题意，舍去），∴该市5G用户数年平均增长率为30%．故答案为：30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（2023秋·江苏南通·九年级阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则经过三轮传染后共有_______人患流感．【答案】1331.【详解】试题分析：设流感的传染人的增长率为x,根据题意则有：(1+x)2=121，解之得x=11，则经过三轮传染后共有人患上流感.考点：增长率问题.24．（2023秋·全国·九年级统考期中）某公司今年一月份的利润为100万元，三月份的利润下降到81万元，为量化该公司一月份至三月份利润下降的速度，请你提出一个数字问题为________．【答案】该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？【分析】根据公司今年一月份的利润为100万元，三月份的利润下降到81万元，为量化该公司一月份至三月份利润下降的速度，可利用一元二次方程进行解答，据此即可以提出问题．【详解】答案不唯一，如：①该公司三月份利润比一月份下降百分之几？②该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？③若每月利润下降的百分率相同，则四月份的利润为多少？故答案为该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，为开放性试题，答案不唯一．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，提出合适的问题．25．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知一次函数y=−12x+52的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线AB上一点．当∠OCB=45°时，点C的坐标是__________．【答案】（-1，3）或（3，1）【分析】求出点A和点B坐标，过点O作OE⊥AB交于点E，利用面积法求出OE的长，再根据∠OCB=45°，得到OC的长，设C（x，−12x+52），得到关于x的方程，解之，可得点C坐标．【详解】解：由题意可得：令y=−12x+52=0，得x=5，即A（5，0），令x=0，得：y=52，即B（0，52），过点O作OE⊥AB交于点E，则AB=5−02+0−522=552，OA=5，OB=52，∴S△AOB=12×OB×OA=12×AB×OE，即OB×OA=AB×OE，即52×5=552×OE，得OE=5，若∠OCB=45°，则△OEC为等腰直角三角形，∴OC=2OE，设C（x，−12x+52），则OC=x2+−12x+522=54x2+254−52x=2OE=10，解得：x1=−1，x2=3，当x=-1时，y=3，此时C（-1，3），当x=3时，y=1，此时C（3，1），综上：点C的坐标为（-1，3）或（3，1）．【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，面积法，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程，解题的关键是利用坐标与图形的性质，将坐标和线段长度进行转化．三、解答题26．（2022秋·山西·九年级山西实验中学校考期中）商场销售某种商品，进价200元，每件售价250元，平均每天售出30件，经调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．(1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到____________件，每天盈利__________元；(2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2100元？(3)在（2）题条件下，降价后每件商品的利润率是____________．【答案】(1)40；1800(2)降价20元(3)15%【分析】（1）商品售价降价5元时，则现在的售价是250−5=245元，售出30+2×5=40件，每件的利润是245−200=45元，由此即可求解；（2）设每件商品降价x元，则现在售价是(250−x)元，利润是(50−x)元，售出件数是(30+2x)件，利润达到2100元，由此即可求解；（3）根据利润率等于利润除以进价乘以百分之百，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得，现在售出的件数是30+2×5=40，利润是(245−200)×40=45×40=1800元．（2）解：设每件商品降价x元，则现在售价是(250−x)元，利润是(250−x−200)元，售出件数是(30+2x)件，利润达到2100元，∴(250−x−200)(30+2x)=2100，解方程得，x1=20，x2=15，∵为了让顾客得到更多的实惠，∴x=20，即商品降价20元．（3）解：售价是250−20=230元，利润是230−200=30元，∴利润率是30200×100%=15%．【点睛】本题主要考查一元二次方程在销售中的问题，根据题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．27．（2023秋·八年级课时练习）农机厂计划用两年时间把产量提高69%．如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数．【答案】30%.【分析】可设原来的产量为1，等量关系为：原来的产量×(1+增长率）2=原来的产量×(1+69%) ×2，把相关数值代入求得正数解即可．【详解】解：设这个百分数为x，原来的产量为1，依题意有(1+x)2=1+69%，解得x1=0.3=30%，x2=−2.3（不合题意，舍去）．答：这个百分数是30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；根据两年后的产量得到等量关系是解决本题的关键．28．（2023春·浙江·八年级专题练习）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，设南瓜种植面积的增长率为x．(1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______kg（用含x的代数式表示）(2)今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．【答案】(1)101+x，20001+x2(2)100%【分析】（1）南瓜种植面积的增长率为x，去年种植了10亩地的南瓜，可求出南瓜种植面积，南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，则南瓜亩产量的增长率为12x，由此即可求解；（2）去年南瓜亩产量为2000kg，今年南瓜的总产量为60000kg，南瓜亩产量的增长率为12x，由此列出方程，即可求解．【详解】（1）解：去年种植了10亩地的南瓜，南瓜种植面积的增长率为x，∴今年南瓜的种植面积为101+x，∵去年种植南瓜亩产量为2000kg，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，∴南瓜亩产量的增长率是12x，∴今年南瓜亩产量为20001+x2，故答案为：101+x，20001+x2．（2）解：根据题意得：101+x×20001+x2=60000，∴x2+3x−4=0，解方程得，x=1=100%或x=−4=−400%（舍去），∴南瓜亩产量的增长率为100%．【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，掌握题目中的数量关系列方程是解题的关键．29．（2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？【答案】道路的宽应为2米【分析】设道路的宽为x米，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长为100−x米，宽为80−x米的矩形，根据矩形的面积公式列方程并求解即可．【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得：100−x80−x=7644，整理得：x2−180x+356=0，∴x−2x−178=0，解得：x1=2，x2=178，∵100−x>0800−x>0，解得：x<80，∴x=178不合题意，舍去，∴x=2．答∶道路的宽应为2米．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的解法，一元一次不等式组．把修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边，然后利用矩形的面积公式列方程是解答本题的关键．30．（2023·安徽·九年级专题练习）为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；（2）如果每年的增长率相同，预计2018年图书借阅总量是多少本？【答案】(1) 20%,(2) 12960本【详解】试题分析：(1)、首先设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，然后根据增长前的数量×(1+增长率)增长次数=增长后的数量列出一元二次方程，从而得出x的值；(2)、根据增长率求出2018年的数量．试题解析：解：(1)、设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得：7500（1+x）2=10800， 即（1+x）2=1.44， 解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；(2)、10800（1+0.2）=12960（本）．答：预计2018年图书借阅总量是12960本．31．（2023秋·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）参加研讨会的教师每两人握一次手，共握手36次，这次参加研讨会的教师共有多少名？【答案】9人【分析】设参加研讨会的教师有x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x−1）次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有12x（x−1）次，设出未知数列方程解答即可．【详解】设参加研讨会的教师有x人，根据题意列方程得，12x（x−1）＝36，解得x1＝9，x2＝−8（不合题意，舍去）；答：参加研讨会的教师有9人．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，理解：设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x−1）次是关键．32．（2022秋·湖南怀化·九年级统考期末）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个,因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价为多少元？【答案】该商品定价60元．【分析】设每个商品定价x元，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设每个商品定价x元，由题意得：x−40180−10x−52=2000解得x1=50，x2=60 当x=50时，进货180-10（50-52）=200，不符题意，舍去当x=60时，进货180-10（60-52）=100，符合题意．答：当该商品定价60元，进货100个．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数然后列方程求解即可．33．（2023·安徽·九年级专题练习）2014年初，某市开始实施“旧物循环计划”，为旧物品二次利用提供了公益平台，到2014年底，全年回收旧物3万件，随着宣传力度的加大，2016年底全年回收旧物已经达6.75万件，若每年回收旧物的增长率相同．（1）求每年回收旧物的增长率；（2）按着这样的增长速度，请预测2017年全年回收旧物能超过10万件吗？【答案】（1）50%． （2）10万件．【分析】（1）本题考查的是平均增长率问题，设年平均增长率为x，根据题意列出方程即可；（2）根据第一问的平均增长率，求出2017年回收旧物的件数，进行比较即可.【详解】解：（1）设年平均增长率为x， 根据题意得31+x2=6.75． 解得x1=0.5,x2=−2.5（舍去），答：平均增长率为50%． （2）6.75×（1+50%）=10.125万件＞10万件．∴2017年全年回收旧物能超过10万件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解列取是解题关键．34．（2023·重庆·统考中考真题）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了ａ%（其中a>0）.则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%，求ａ的值.【答案】（1）7500元；（2）50.【详解】试题分析：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000-x）元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式求解即可；（2）根据“自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%，且总集资额为20000元”列出方程求解即可．试题解析：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000-x）元，根据题意得：30000-x≥3x，解得：x≤7500．答：最多用7500元购买书桌、书架等设施；（2）根据题意得：200（1+a%）×150（1-109a%）=20000整理得：a2+10a-3000=0，解得：a=50或a=-60（舍去），所以a的值是50．考点：1.一元二次方程的应用;2.一元一次不等式的应用.35．（2023秋·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）2020鼠年伊始，新冠病毒肆虐全球，在以习近平为核心的党中央的英明领导下，我国的疫情很快得到了控制．为了更好的保护人民，党中央决定免费为全国人民接种疫苗，康心医院成为我市定点疫苗接种医院．（1）已知在康心医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共2900支，两种疫苗每天按定量接种．其中，“智飞”疫苗可供接种5天，“科兴”疫苗可供接种3天，“智飞”疫苗每天接种的数量比“科兴”多100支，则康心医院每天接种“智飞”疫苗多少支？（2）投放第二批疫苗时，预计两种疫苗每日投放虽均为400支，且均投放m天，实际上“智飞”疫苗每日投放量比预计每日投放量少2a支，投放天数比预计天数多2a%，“科兴”疫苗实际每日投放量和预计每日投放量一样，投放天数比预计天数少a%，则第二批疫苗实际投放总量比预计投放总量提高3%，若a<25，求a的值．【答案】（1）400；（2）20【分析】（1）设康心医院每天接种“智飞”疫苗x支，则每天接种“科兴”疫苗（x-100）支，根据“两种疫苗共2900支”列出方程，解方程即可求解；（2）根据“第二批疫苗实际投放总量比预计投放总量提高3%”列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）设康心医院每天接种“智飞”疫苗x支，则每天接种“科兴”疫苗（x-100）支，由题意可得，5x+3（x-100）=2900，解得，x=400，∴康心医院每天接种“智飞”疫苗400支．答：康心医院每天接种“智飞”疫苗400支．（2）由题意可知，“智飞”疫苗实际每日投放量为（400-2a）支，实际投放天数为（1+2a%）m天，“科兴”疫苗实际每日投放量为400支，实际投放天数为（1-a%）m天，∴（400-2a）（1+2a%）m+400（1-a%）m=（400m+400m）（1+3%），整理得，a2−50a+600=0，解得，a=20或a=30，∵a<25，∴a=20．答：a的值为20．【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程的应用，根据题目中的等量关系正确列出方程是解决问题的关键．
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