(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第1章第05讲1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(学生版+解析)

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第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置1、用向量表示点的位置：在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.2、直线的方向向量如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即3、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①或②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.知识点02：平面的法向量及其应用1、平面法向量的概念如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．2、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为选向量：选取两不共线向量列方程组：由列出方程组解方程组：解方程组赋非零值：取其中一个为非零值（常取)得结论：得到平面的一个法向量. 【即学即练1】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.   知识点03：空间中直线、平面的平行设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则【即学即练2】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面.知识点04：空间中直线、平面的垂直设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则【即学即练3】（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.  (1)求证：；(2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.题型01平面的法向量及其求法 【典例1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为 ．【典例3】（2024高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量．【变式1】（23-24高一上·江苏·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为 .  【变式2】（23-24高二·全国·课堂例题）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．  【变式3】（23-24高二上·广东广州·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.  题型02利用向量方法证明线线平行 【典例1】（23-24高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．【典例2】（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在正方体中，点分别在棱上， (1)证明：;【变式1】（23-24高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）.A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（2024·山东泰安·一模）如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点．(1)求证：；题型03利用向量方法证明线面平行 【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面；【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面.【变式2】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.题型04利用向量方法证明面面平行【典例1】1．（23-24高二·全国·随堂练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【典例2】（2024高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.  【变式1】（23-24高二下·江苏·课后作业）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.【变式2】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在正方体中，M，N分别是的中点．(1)如果正方体的边长为6，求点到直线距离；(2)证明：平面平面．题型05利用向量方法证明线线垂直 【典例1】（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点．(1)证明：∥平面；(2)证明：【典例2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点.  (1)试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标；(2)求的长(3)求证：.【典例3】（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.  (1)证明：直线∥平面；(2)证明：.【典例4】（2024高三·全国·专题练习）斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【变式2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．  (1)证明：；(2)求平面的法向量．【变式3】（23-24高二·全国·课堂例题）如图所示，已知是一个正方体，求证：．  题型06利用向量方法证明线面垂直 【典例1】（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD．【典例2】（2024·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．  (1)当E,F为中点时，证明：平面；(2)若平面，求的最大值及此时的长．【典例3】（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.  (1)若点满足，求证：平面；(2)底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.【变式1】（23-24高二上·广东·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点.    (1)求证：.(2)已知点在平面内，且平面，试确定点的位置.【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点，．证明：平面．  【变式3】（23-24高二上·全国·单元测试）如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：  (1)平面平面；(2)平面.题型07利用向量方法证明面面垂直 【典例1】（2024陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形是等腰梯形， (1)若为线段的中点，证明：平面；(2)若平面平面，求的值.【变式1】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.  (1)求证：平面；(2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【变式2】（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.  (1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【变式3】（23-24高二上·北京东城·期中）如图，在矩形ABCD中，，P，Q分别为线段AB，CD的中点，平面ABCD.  (1)求证：∥平面CEP；(2)求证：平面平面DEP.A夯实基础 B能力提升 (1)求证：平面；(2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．B能力提升 1．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（    ）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ）A．（1）（2） B．（1）（3）C．（1）（4） D．（2）（4）3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.点（不与端点重合）在线段上，使平面与平面垂直，则 4．（2024·河北邢台·二模）直三棱柱中，，，，(1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值；(2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？  课程标准学习目标①理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.②会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念并会求出直线的方向向量与平面的法向量.能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明.线线平行⇔⇔()线面平行⇔⇔面面平行⇔⇔线线垂直⇔⇔线面垂直⇔⇔⇔面面垂直⇔⇔⇔ 第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置1、用向量表示点的位置：在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.2、直线的方向向量如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即3、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①或②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.知识点02：平面的法向量及其应用1、平面法向量的概念如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．2、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为选向量：选取两不共线向量列方程组：由列出方程组解方程组：解方程组赋非零值：取其中一个为非零值（常取)得结论：得到平面的一个法向量. 【即学即练1】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.   【答案】（答案不唯一）.【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案.【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点，所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面.连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以.综上可知，直线两两垂直，所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：  由题意，在正和正中，，则， 所以，设平面的一个法向量为，则，即，化简得，令，则，即所以平面的一个法向量为（答案不唯一）.知识点03：空间中直线、平面的平行设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则【即学即练2】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面.【答案】证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解.【详解】由题意可知底面为正方形，因为平面，平面，所以两两垂直，如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系，则有关点及向量的坐标为：，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，取可得平面的一个法向量为，因为，又在平面外，所以平面.知识点04：空间中直线、平面的垂直设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则【即学即练3】（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.  (1)求证：；(2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在点，点在直线（点在直线上且）上【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论.（2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论.【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点，且.又平面平面，平面平面平面，平面.又平面.（2）由（1）知，.以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则.，设为平面的一个法向量，则，取，则.假设在平面内存在点，使得平面平面.连接.若，则设.设平面的一个法向量为.由，取，则.平面的法向量.由知，此情况不成立.若与不共线，设，连接.  设，则.当，即时，.又平面，即平面平面，也即平面平面.所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时，平面平面.题型01平面的法向量及其求法 【典例1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可.【详解】由知，设平面的一个法向量为，所以，取，解得，选项D符合，另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线.故选：D【典例2】（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为 ．【答案】（答案不唯一）【分析】根据向量垂直求平面的法向量即可.【详解】根据题意可得：，设，与平面垂直，则，可得，当时，则，的坐标为．故答案为：（答案不唯一）【典例3】（2024高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量．【答案】答案见解析【分析】根据空间直角坐标系的性质，利用线面垂直的性质建立合适的坐标系，再根平面法向量的性质求解即可.【详解】因为平面，平面，所以又，，所以，所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，  则，所以是平面的一个法向量．因为，设平面的一个法向量， 则     ，取，得，所以是平面的一个法向量．【变式1】（23-24高一上·江苏·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为 .  【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，设，可得,,的坐标，由此可得向量,的坐标，由此可得关于,,的方程组，利用特殊值求出,,的值，即可得答案．【详解】根据题意，设，则, ,，则,，设平面的一个法向量为,,，则有，令，可得，则，故答案为：（答案不唯一）【变式2】（23-24高二·全国·课堂例题）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．  【答案】，【分析】由于轴垂直于平面，则该平面法向量易得，根据法向量的性质列方程组求平面的法向量即可.【详解】由于轴垂直于平面，而z轴可用方向向量表示，因此是平面的一个法向量；设是平面的法向量．由已知得，，因而取，得，则是平面的一个法向量．【变式3】（23-24高二上·广东广州·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.  【答案】（答案不唯一）【分析】利用求解平面的法向量的方法进行求解即可.【详解】因为正方体的棱长为3，，所以，，，则，，设是平面的法向量，则，，所以，取，则，，故，于是是平面的一个法向量（答案不唯一）．题型02利用向量方法证明线线平行 【典例1】（23-24高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．【答案】证明见解析.【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得.【详解】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则、、、、、、、，由题意知、、、，∴，．∴，又，不共线，∴.【典例2】（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在正方体中，点分别在棱上， (1)证明：;【答案】(1)证明见解析【分析】（1）法一：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求即可；法二：取中点E，连结，证明即可；【详解】（1）法一：证明：如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，又不在同一条直线上，；法二：证明：取中点E，连结，是的中点， ，四边形是平行四边形，，又四边形是平行四边形，，；【变式1】（23-24高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由，得到直线与平面的法向量垂直，得出，进而求得的值.【详解】因为，所以，所以，解得．故选：.【变式2】（2024·山东泰安·一模）如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点．(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解，【详解】（1）取中点，连接因为底面为菱形，，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，型03利用向量方法证明线面平行 【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面；【答案】证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而证得，进而得证.【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系， 则∵分别是的中点∴则显然平面的一个法向量为，所以，则，又面 ，所以平面.【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面【答案】证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，应用向量法求证.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，， ．显然平面的一个法向量为，而，∵，平面，∴MN//平面BCE．【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面.【答案】证明见解析【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合，即可证得平面.【详解】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，又因为分别为和的中点，可得，又由向量为平面的一个法向量，且,由此可得，又因为直线平面，所以平面.【变式2】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.【答案】证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可.【详解】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，若，则，，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面平面的其中一个法向量为，所以，即，又因为平面，所以平面.题型04利用向量方法证明面面平行 【典例1】1．（23-24高二·全国·随堂练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，用空间向量分别表示出，，由，得出，，即可证明；（2）由（1）得出是平面的一个法向量，表示出，由得出，即可证明；（3）求出平面的一个法向量 ，由平面的法向量，即可证明．【详解】（1）证明：以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则所以，，因为，，所以，，因为平面，平面，，所以平面．（2）由（1）知，是平面的一个法向量，由点，，得，因为，所以，因为平面，且，所以平面．（3）由题可知，，设平面的一个方向量为，由得，取则，因为，，即，所以，所以平面平面．【典例2】（2024高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.  【答案】证明见解析【分析】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证，同理，再结合面面平行判定定理即可证明结论.【详解】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图  则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，，，同理，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面平面与平面平行．【变式1】（23-24高二下·江苏·课后作业）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.【答案】证明见解析【分析】根据正方体的结构特征，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线线平行，由面面平行的判定定理证明平面平面.【详解】证明:　如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则有，，， ， ， ，于是， ，，，显然有，，所以，， 由，平面，平面，平面，同理平面， 平面，，所以平面平面【变式2】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在正方体中，M，N分别是的中点．(1)如果正方体的边长为6，求点到直线距离；(2)证明：平面平面．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解距离，（2）利用法向量平行即可求证.【详解】（1）建立的空间直角坐标系知，因为正方体的边长为6， 所以直线的方向向量；，，，；所以，点到直线距离为．（2）不妨设正方体边长为1， ，则，，设平面的法向量为，则；即令，可得平面的一个法向量为，，设平面的法向量为，取，故平面的一个法向量为，所以，所以，故平面平面．题型05利用向量方法证明线线垂直 【典例1】（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点．(1)证明：∥平面；(2)证明：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行；（2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直.【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，可得设平面的法向量为，则，令，则，可得，因为，且平面，所以∥平面.（2）由（1）可得：，则，所以.【典例2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点.  (1)试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标；(2)求的长(3)求证：.【答案】(1)坐标系见解析，，(2)(3)证明见解析【分析】（1）以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，即可得到所求点的坐标.（2）根据空间向量坐标运算即可..（3）根据，即可证明结论.【详解】（1）以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.  所以，（2），，，.（3），.，，，所以.【典例3】（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.  (1)证明：直线∥平面；(2)证明：.【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）建系，利用空间向量可得∥，再结合线面平行的判定定理分析证明；（2）由空间向量的坐标运算可得，进而可得结果.【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴所在的直线，建立空间直角坐标系，不妨设，则，可得，可知，则∥，且平面，平面，所以∥平面.  （2）设，则，可得，由（1）可知：，因为，所以.【典例4】（2024高三·全国·专题练习）斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；【答案】存在，【分析】连接，以O点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，根据求解即可.【详解】连接，因为，为的中点，所以，由题意知平面ABC，，又，，所以，以O点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，由得，同理得，设，得，又，，由，则，可得，得，又，即，所以存在点D且满足条件.【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【答案】证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而求解；【详解】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图：则由题意得，，，，，，∴，即：，∴．【变式2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．  (1)证明：；(2)求平面的法向量．【答案】(1)证明见解析(2)法向量为，（答案不唯一）【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量互相垂直的性质进行求解即可；（2）根据平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】（1）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，  ，，设，，所以，所以．（2），，，，设平面的法向量为，则，故可设，平面的法向量为.【变式3】（23-24高二·全国·课堂例题）如图所示，已知是一个正方体，求证：．  【答案】证明见解析【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.【详解】在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，  令正方体棱长为1，则，于是，有，因此，所以.题型06利用向量方法证明线面垂直 【典例1】（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD．【答案】证明见解析【分析】注意到此题中易于建系，可以考虑通过证明与平面的法向量共线推得结论平面PCD.【详解】如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形，故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系. 又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点，则, ,于是，不妨设平面PCD的法向量为，则有令，故可取，因，则平面PCD.【典例2】（2024·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．  (1)当E,F为中点时，证明：平面；(2)若平面，求的最大值及此时的长．【答案】(1)证明见解析(2)最大值为，【分析】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的坐标运算确定线线垂直，结合线面垂直判定定理证明即可；（2）由（1）坐标关系与线面垂直，设，可得，建立坐标等式关系，利用基本不等式求得最值即可.【详解】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，  则，设，当E，F为中点时，，有，所以，，，有，，所以，又平面，所以平面．（2）由（1）可得，，，若平面，则，，所以，设，则，由平面ACE，所以，当时，，有，当时，等号成立，所以，即，综上，的最大值为，．【典例3】（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.  (1)若点满足，求证：平面；(2)底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，.【分析】（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，再计算，从而可证明；（2）假设底面内存在一点，使得平面，从而根据列式可求解.【详解】（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.  所以，，，，，，所以，.设平面的一个法向量，所以，令，解得，，所以平面的一个法向量.若，则，所以，所以，，又平面，所以平面.（2）假设底面内存在一点，使得平面，设，又，所以，又平面的一个法向量，所以，所以，解得，，所以底面内存在一点，使得平面，此时.【变式1】（23-24高二上·广东·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点.    (1)求证：.(2)已知点在平面内，且平面，试确定点的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点为的中点【分析】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，再根据即可证明.（2）设，根据平面PCB得到，，即可得到答案.【详解】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），  设，则，，，，，，所以，，所以，所以.（2）因为平面PAD，设，所以.由（1），知，.因为平面PCB，所以，，所以，，所以点G的坐标为，即点G为AD的中点.【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点，．证明：平面．  【答案】证明见解析【分析】根据已知条件建系，求平面的一个法向量和坐标进而证明线面垂直即可.【详解】由直三棱柱可知平面，因为平面，所以，又因为，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，  设，则，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，即，所以，即，所以平面．【变式3】（23-24高二上·全国·单元测试）如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：  (1)平面平面；(2)平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量来证明平面平面.（2）通过直线的方向向量和平面的法向量来证明平面.【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，.设平面的法向量为，∵，，，，∴，∴令，则，设平面的法向量为，∴，∴令，则，∴，∴平面平面.  （2）∵，分别为，的中点，∵，，∴，∴，∴平面.题型07利用向量方法证明面面垂直 【典例1】（2024陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形是等腰梯形，，三棱锥的体积为，平面与平面垂直.  (1)求直线EF到平面的距离；(2)求证：平面⊥平面.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）作，证明到平面的距离即为的长，即得三棱锥的高等于的长，利用三棱锥的体积，即可求得答案；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间位置的向量证明方法，即可证明结论.【详解】（1）在平面内作，垂足为Z，四边形是等腰梯形，则,故；因为平面与平面垂直，平面平面，且平面，故平面，而，平面,平面，故平面，则到平面的距离即为的长，即E点到平面的距离即为的长，即三棱锥的高等于的长，三棱锥的体积为，且四边形ABCD是边长为1的正方形，则，则,即直线EF到平面ABCD的距离为；（2）证明：四边形是等腰梯形，四边形ABCD是边长为1的正方形，，则,以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，  则，，,设平面的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，则，即，故平面⊥平面.【典例2】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.  (1)若点是棱上的动点，且满足，证明：平面；(2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，.【分析】（1）利用空间向量证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，设，由平面平面解出即可.【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，  则，，，，,因为点是棱上靠近的三等分点，即，则，则，，，设平面的一个法向量为，满足令，则，则．，∴，又平面，所以平面．（2）存在．设，则，，，  设平面的一个法向量为，满足令，则，故取．，，设平面的法向量为，满足令，则，故取，若平面平面，则，即解得，此时为的中点，则．【典例3】（23-24高二上·山西大同·期中）如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点. (1)若为线段的中点，证明：平面；(2)若平面平面，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用棱长求出，进而得到D是中点，利用中位线证明，进而证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，根据面面垂直时两个面的法向量也互相垂直，列出方程进行求解即可.【详解】（1）连接，在直三棱柱中，有，.为中点，又为中点，，，，又平面平面，平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，平面平面，，解得，当平面平面时，.【变式1】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.  (1)求证：平面；(2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)在线段上不存在一点，使平面平面，理由见解析【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再由，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面、平面的法向量，根据得到方程，解得，即可判断.【详解】（1），，，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面；（2）由题意，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，， ，， 所以，设平面的一个法向量为，则，令， 则，设，，则，， 设平面的法向量为，则，取，平面平面，，解得，，在线段上不存在一点，使平面平面．  【变式2】（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.  (1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）构造三角形的中位线得到线线平行，再利用线面平行的判定定理即可得到线面平行；（2）法一：建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，再利用两平面垂直的向量法即可求出结果.法二：利用几何法，先找出平面，使平面平面，再利用几何关系即可求出结果.【详解】（1）连接交于点，连接，因为四边形是菱形，所以点为的中点.又因为为的中点，所以，又因为平面平面，所以平面.  （2）设底面边长为2，连接，由于为菱形，且，故，所以，故有，又三角形为正三角形，为中点，故，又侧面底面，平面平面，面，所以平面，如图，以为原点，方向分别为轴正半轴，建立空间直角坐标系.则，设，则，则，设平面的法向量为，则有，得到，取，得，，所以，又平面法向量可取为，由题可知，即，解得，故存在点使得平面平面，.  法二：三角形为正三角形， 是的中点，又侧面底面，平面平面，面，所以平面，连接，取的中点，连接，则是的中位线，，所以平面，延长交于，又面，所以平面平面.因为，所以，又因为，所以，，故存在点，使得平面平面，.  【变式3】（23-24高二上·北京东城·期中）如图，在矩形ABCD中，，P，Q分别为线段AB，CD的中点，平面ABCD.  (1)求证：∥平面CEP；(2)求证：平面平面DEP.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）建系，利用空间向量可得∥，进而结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）利用空间向量可得，进而结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明.【详解】（1）因为P，Q均为AB，DC的中点，则∥，所以，且平面ABCD，故以P为坐标原点，以PA、PQ、PE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．  设，，则，因为，则，所以∥，即∥，且平面EPC，平面EPC，所以∥平面EPC.（2）因为，则，则，，可得，且，平面EPD，所以平面EPD.又因为平面AEQ，所以平面平面DEP.A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量平行，从而可求出的值.【详解】因为直线垂直于平面α，所以直线的方向向量与平面的法向量平行，即，解得.故选：A.2．（23-24高二上·全国·期中）若直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，则（    ）A． B．C． D．与位置关系不确定【答案】A【分析】根据方向向量与法向量共线即可判断.【详解】由于直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，由于，所以直线与平面的法向量共线，所以．故选：A．3．（23-24高二上·广东深圳·期末）设平面和的法向量分别为．若，则（    ）A．4 B． C．10 D．【答案】C【分析】根据数量积的坐标表示列方程求解可得.【详解】因为，所以，解得.故选：C4．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为（    ）A． B．C．与相交但不垂直 D．【答案】B【分析】由已知向量的坐标知，即可判断直线与平面的位置关系.【详解】由题设，即，又是平面的法向量，所以.故选：B5．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ）A． B． C． D．1【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出两平面的法向量，根据垂直关系得到方程，求出，得到答案.【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设，平面的法向量为，则，解得，令得，则，设平面的法向量为，则，令，则，，故，由题意得，解得，故故选：D6．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得.【详解】如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则有,依题意，，,于是，.又因平面，平面,则,又,平面，故平面,故平面的法向量可取为，因平面，故，即.则，因，故当时，.故选：D.7．（23-24高二上·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ）A．③④ B．①② C．②④ D．②③【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断的值即可.【详解】设正方体的棱长为，对于①：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误；对于②：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以，即，所以②正确；  对于③：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以，即，所以③正确；对于④：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误；故选：D.8．（23-24高二上·陕西·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得直线的方向向量，通过平面，建立关于的方程，确定的值，即可求解.【详解】如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，．  设平面的法向量为，则     令，得．设，则．因为平面，所以，则，解得，．故．故选：D二、多选题9．（23-24高二上·吉林松原·期中）在正方体中，分别为棱，，的中点，则下列直线与垂直的是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设棱长为，结合空间向量的数量积坐标运算，逐项判定，即可求解.【详解】如图，以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设棱长为，则，，，，，，．因为分别为棱，，的中点，可得而，，，所以，，，，，因为，所以，所以A正确；因为，所以，所以B正确；因为，所以C错误；因为，所以D错误．故选：AB.10．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，下列结论正确的是（    ）  A．若平面，则 B．若平面，则C．若平面，则 D．若平面，则【答案】BD【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，，则，，，，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量可以为，设，，则，若平面，则，即，解得，即，故A错误，B正确；若平面，则，则，即，所以，解得，即，故C错误，D正确.故选：BD  三、填空题11．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知，平面的法向量，若，则 ．【答案】【分析】利用直线与平面垂直得到直线的方向向量与平面的法向量共线，从而利用空间向量平行的坐标表示即可得解.【详解】因为，所以与共线，又，，则，所以，.故答案为：.12．（2024高二上·全国·专题练习）如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ .【答案】1【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用向量的数量积为0表示垂直可求得结论．【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1，，则，，.设，则因为， ，，即是AD的中点，故，故选：B.四、解答题13．（23-24高三上·黑龙江大兴安岭地·阶段练习）如图，底面为正方形的四棱锥中，平面为棱上一动点，.    (1)当为中点时，求证:平面;(2)当平面时，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）设，得到为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面 ；（2）以为原点，建立空间坐标系，得到设，求得，结合，求得的值，进而求得的值.【详解】（1）证明：连接 ，设，则为的中点，连接 ，因为和分别为，的中点，所以，因为平面，且平面，所以平面 .  （2）解：以为原点，分别为和轴, 过做的平行线为轴，建立空间坐标系，如图所示，设，（3）（4）则，所以，设，可得，则，由平面，所以，解得，所以.  14．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．(1)求证：平面；(2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到，证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，假设存在M，使得平面，设，求出平面的法向量，得到方程组，方程组无解，假设不成立，不存在点M.【详解】（1）∵，E为BD的中点，∴⊥，又平面⊥平面，且平面平面，平面，∴⊥平面，∵平面，∴，而平面，平面，∴平面；（2）由（1）知，⊥平面，平面，所以⊥，⊥，又⊥，故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，  设平面的法向量为，则，令，则，故，假设在线段AD上存在，使得平面，设，则，∴．则．平面的法向量，则，可知，且，平面，可知：平面，且平面，可得，设，即，则，因为，解得，即；同理可得：平面，，则，，又因为，则三棱锥为正三棱锥，点为等边的中心，在中，结合等边三角形可知：，因为平面，平面，则，可知，当时，取到最小值；当时，取到最大值；综上所述：线段的取值范围为.故选：C.2．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ）A．（1）（2） B．（1）（3）C．（1）（4） D．（2）（4）【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来判断出正确答案.【详解】设正方体的边长为2，对于图（4），建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，直线的方向向量为，因为，所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（4）正确.综上，正确的有图（1）（3）.故选：B.3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.点（不与端点重合）在线段上，使平面与平面垂直，则 【答案】2【分析】建立空间直角坐标系，设，求得点N的坐标，再利用面面垂直得到两平面的法向量互相垂直，进而求得的值，即可得到答案.【详解】在中，因为，故，故在四棱锥中，有，  【答案】(1)(2)存在点在靠近点的三等分点处【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，进而可得出答案；（2）利用向量法求解即可.【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，，故，所以，当时，取得最小值，所以线段长的最小值为；（2）假设存在，设，，故，，设平面的法向量为，则有，可取，因为面，所以，则，解得，所以存在点在靠近点的三等分点处，使得面.  课程标准学习目标①理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.②会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念并会求出直线的方向向量与平面的法向量.能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明.线线平行⇔⇔()线面平行⇔⇔面面平行⇔⇔线线垂直⇔⇔线面垂直⇔⇔⇔面面垂直⇔⇔⇔