人教版九年级数学上册重难考点专题01圆的基本性质+垂径定理(知识串讲+6大考点)特训(原卷版+解析)

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专题01 圆的基本性质+垂径定理 考点类型 知识串讲（一）圆的相关概念（1）圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．（2）确定圆的条件：①圆心；②半径，③其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．（3）相关概念同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆． （二）垂径定理及其推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③圆的两条平行弦所夹的弧相等 （3）常见辅助线做法：①过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度（多为方程勾股）；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 考点训练考点1：圆的相关概念典例1：（2023·福建·九年级专题练习）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（    ）A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大B．同一个圆所有的直径都相等C．圆的周长是直径的π倍D．圆是轴对称图形【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段AB的中点为M，动点P满足AB=2PM，则点P的轨迹是（    ）A．以AB为直径的圆B．AB的延长线 C．AB的垂直平分线 D．平行AB的直线【变式2】（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的（　　）A．直径 B．半径 C．周长 D．面积考点2：利用垂径定理——求线段典例2：（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（       ）A．5 B．6 C．8 D．10【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP交AP于点E，OF⊥PB交PB于点F，则EF等于（    ）  A．2 B．3 C．5 D．6【变式2】（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度AB=8，则该截面中水的最大深度是（    ）  A．5 B．4 C．3 D．2【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB=8cm，CD=6cm，则OD=（　　）A．43cm B．53cm C．83cm D．103cm 考点3：利用垂径定理——求平行弦典例3：（2022秋·天津和平·九年级校考期末）⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为（    ）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【变式1】（2022秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ）A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m【变式2】（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD的距离是（    ）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【变式3】（2023春·全国·九年级专题练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7考点4：利用垂径定理——求同心圆典例4：（2022秋·北京·九年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A2,2，B4,0，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　）A．点D B．点E C．点F D．点G【变式1】（2022春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.A．6 B．42 C．43 D．45【变式2】（2023春·九年级课时练习）已知△ABC的边BC= 23 ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ）A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【变式3】（2021春·九年级课时练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cmA．5 B．4 C．25 D．27考点5：利用垂径定理——实际应用典例5：（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）  A．20m B．28m C．35m D．40m【变式1】（2022秋·河北邢台·九年级校考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（    ）A．1米 B．3+5米 C．3米 D．3−5米【变式2】（2023春·福建南平·九年级专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦AB长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（    ）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【变式3】（2023·河北沧州·统考三模）图1是木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O是AB所在圆的圆心，点A，B离地高度均为15cm，水平距离AB=90cm，则OA的长为（    ）  A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm 考点6：垂径定理的推论——定圆心典例6：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE=DE，则下列说法错误的是（  ）A．CB=BD B．OE=BE C．CA=DA D．AB⊥CD 【变式1】（2022秋·九年级统考期中）如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于（    ）A．7 B．4 C．5 D．6【变式2】（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接BA′，连接AA′交CD于点E，若AB=14cm，BA′=4cm，则CE的长为（    ）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【变式3】（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ）．A．点P B．点Q C．点R D．点M 同步过关一、单选题1．（2022春·九年级单元测试）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   )A．2条 B．3条 C．4条 D．5条2．（2023春·九年级单元测试）在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（　　）．A．23cm B．22cm C．2cm D．1cm3．（2022秋·九年级单元测试）如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为(　　)A．19 B．16 C．18 D．204．（2023春·九年级单元测试）已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP＝6，则过P点，且长度为整数的弦有（   ）A．5条 B．6条 C．8条 D．10条5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，由边长为1的正方形组成的6×5网格中，一块含45°的三角板ABC的斜边AB始终经过格点N，AC始终经过格点M，点A在MN下方运动，格点P到A的距离最小值为（    ）A．1 B．2 C．13﹣1 D．22﹣26．（2022秋·全国·九年级专题练习）小明想知道一块扇形铁片OAB中的AB的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由10cm的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形OAB按如图方式摆放，点O,A,B恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，AB的拱高约是（    ）A．10cm B．20cm C．(30−105)cm D．(1013−30)cm7．（2023·广东梅州·统考一模）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD=3，AB=8，则FC的长是（    ）A．10 B．8 C．6 D．48．（2023春·九年级单元测试）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为(　　)A．6 B．62 C．8 D．829．（2023·九年级单元测试）☉O的半径为10 cm,弦AB=12 cm,则圆心到AB的距离为(　 　)A．2 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm10．（2022秋·浙江杭州·九年级期中）CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（    ）A．AC的长为25 B．CE的长为3C．CD的长为12 D．AD的长为10二、填空题11．（2022秋·九年级课时练习）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为 ．12．（2022春·九年级单元测试）点A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，则∠OAB= ．13．（2022秋·九年级单元测试）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB的长度为 cm．14．（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙o的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm ,那么A、B两点到直线CD的距离之和为 .15．（2022春·九年级课时练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径是6，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为 ．16．（2022秋·九年级课时练习）如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 cm2．三、解答题17．（2022秋·九年级课时练习）已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．18．（2022秋·九年级单元测试）往直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示．若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．19．（2011秋·七年级课时练习）如下图，在半径为5米的圆形花坛周 围修一条宽1米的小路，求小路的面积．20．（2022春·九年级课时练习）为了落实“二十大”报告精神，办人民满意教育，决定重新修建学校运动场，设计图如下：两端是半圆形，中间是长方形．（π 取3 ）(1)求这个运动场的周长．(2)求这个运动场的面积．(3)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑道和草坪的面积比是3 ：7 ，每平方米草坪的价格是5元，比每平方米塑胶的价格低1920，则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元？21．（2021·全国·九年级假期作业）在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cm时，油上升了多少cm？22．（2021秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点G，交⊙O于点E，连接CE交BD于点F，连接FG．(1)求证：FG=12DE；(2)若AB=65，FG=6，求AG的长．23．（2022秋·九年级课时练习）如图，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．24．（2022秋·全国·九年级专题练习）问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是　 　．问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．问题解决（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．25．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=　　BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．专题01 圆的基本性质+垂径定理 考点类型 知识串讲（一）圆的相关概念（1）圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．（2）确定圆的条件：①圆心；②半径，③其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．（3）相关概念同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆． （二）垂径定理及其推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③圆的两条平行弦所夹的弧相等 （3）常见辅助线做法：①过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度（多为方程勾股）；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 考点训练考点1：圆的相关概念典例1：（2023·福建·九年级专题练习）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（    ）A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大B．同一个圆所有的直径都相等C．圆的周长是直径的π倍D．圆是轴对称图形【答案】B【分析】根据圆的特征即可求解．【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去，故选：B．【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键．【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段AB的中点为M，动点P满足AB=2PM，则点P的轨迹是（    ）A．以AB为直径的圆B．AB的延长线 C．AB的垂直平分线 D．平行AB的直线【答案】A【分析】根据圆的有关概念即可分析判断．【详解】解：∵线段AB的中点为M，∴MA=MB=12AB，∵AB=2PM，∴PM=MA=MB=12AB，∴点P在以点M为圆心，AB为直径的圆上，故选：A．【点睛】本题考查了圆的有关认识，掌握圆的有关概念是解题的关键．【变式2】（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可．【详解】∵圆的半径为2，∴圆的直径为4，∵AB是半径为2的圆的一条弦，∴0